Revisão números Complexos

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1 ELETRICIDADE Revisão números Complexos Prof. Marcio Kimpara Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

2 Números complexos No passado, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau... Por exemplo: x 2 2. x 5 0 Aplicando báskara: x Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler.

3 Conjuntos Numéricos Q N R C I O conjunto dos números Reais é um subconjunto dos Complexos

4 Números Complexos Número Complexo: C : z a bi, a e br e i -1 Unidade imaginária Voltando ao problema... x Como, ( 1) i 4i x 1 2i 1 x 1 2i 2

5 Números Complexos z = a + bi (forma retangular) Parte real Parte imaginária Um número complexo na Forma Retangular (ou algébrica ou cartesiana) é composto por uma parte real e uma parte imaginária Se a parte real de um número complexo é NULA, ele é um número imaginário puro. Analogamente, se a parte imaginária de um número complexo é NULA, ele é um número real puro. Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais. Prof. Marcio Kimpara

6 Números Complexos Q N R im C I Im Imaginário puro

7 Anote i = unidade imaginária i = corrente elétrica Mas, em circuitos elétricos Logo, para não confundir: j unidade imaginária -1 Doravante, utilizaremos a letra j para representar a unidade imaginária z = a + bi z = a + bj

8 Forma geométrica Plano de Argand Gauss (Plano Complexo) = a + jb Im b P P = (a,b) θ a Re FORMA POLAR Um número complexo na Forma Polar é um número composto por um vetor e um ângulo.

9 Transformação a jb a b.cos. sen θ b a 2 b arctan b a 2 a

10 Exemplos Representar os números complexos no plano cartesiano e converter para a forma polar: a) C = 60 + j80 b) C = 5 j5 c) C = -3 j4 * Resolvidos no quadro

11 Operações com números complexos CONJUGADO COMPLEXO O conjugado de um número complexo, representado por * (ou ), pode ser determinado simplesmente pela mudança do sinal da parte imaginária na forma retangular ou do sinal do ângulo na forma polar. Seja: = x + jy = z θ Então o conjugado * é dado por: * = x jy = z θ

12 Operações com números complexos ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO A adição (soma) ou subtração algébrica de números complexos deve ser feita sempre na forma retangular. Não se somam ou se subtraem números complexos na forma polar. Soma e Subtração algébrica de números complexos são feitas na forma retangular. A regra para soma ou subtração de números complexos na forma retangular é: Somam-se ou subtraem-se algebricamente as partes reais e as partes imaginárias, separadamente. Assim:

13 Operações com números complexos MULTIPLICAÇÃO A multiplicação dos números complexos deve ser feita na forma polar. Não é recomendável a multiplicação na forma retangular, embora possa ser feita. Multiplicação de números complexos é feita na forma polar. Portanto, a regra para multiplicação de números complexos na forma polar é: Multiplicam-se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos Assim:

14 Operações com números complexos DIVISÃO A multiplicação dos números complexos deve ser feita na forma polar. Pode-se realizar a divisão na forma retangular, porém o processo é muito mais trabalhoso. Divisão de números complexos é feita na forma polar. A regra para a divisão de números complexos na forma polar é: Dividem-se os módulos e subtraem-se algebricamente os ângulos Assim:

15 Exemplos 1) Efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 3 + j4 e C2 = 5 + j6. a) C3 = C1 + C2 b) C3 = C1 - C2 c) C3 = C1 + C2* 2) Efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = e C2 = a) C3 = C1/C2 b) C3 = C2/C1 c) C3 = C1 x C2 * Resolvidos no quadro