ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II

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1 ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II Módulo III FASORES E IMPEDÂNCIA

2 Números Complexos Forma Retangular: 2

3 Números Complexos Operações com o j: 3

4 Números Complexos Forma Retangular: z = x+jy sendo j=(-1) 1/2 Para: Multiplicação: z 1 =x 1 +jy 1 e z 2 =x 2 +jy 2 Adição e Subtração: z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+j(y 1 +y 2 ) z 1 -z 2 =(x 1 -x 2 )+j(y 1 -y 2 ) 4

5 Números Complexos Divisão: Complexo conjugado: z=x+jy z*=x-jy 5

6 Números Complexos Forma Polar: 6

7 Números Complexos Formas Exponencial e Polar: Fórmulas de Euler: Corolários: 7

8 Números Complexos Sendo: Divisão nas Formas Exponencial e Polar: Multiplicação nas Formas Exponencial e Polar: Multiplicação pelo Conjugado: 8

9 Números Complexos Conversão entre formas: 9

10 Números Complexos Representação Retangular: Representação Polar: 10

11 Números Complexos Adição: Subtração: 11

12 Função de Circuito Para a entrada: A resposta forçada é: Equação diferencial relacionando entrada e saída de um circuito: Substituindo x(t) e y p (t): Resultando a Função de Circuito: 12

13 Teorema Se y p (t) for a resposta forçada à entrada complexa x(t), a resposta forçada à parte real de x(t) será a parte real de y p (t). O mesmo acontece em relação às partes imaginárias. Substituindo x(t) e y p (t) na equação seguinte: 13

14 Teorema Separando os termos das componentes real e imaginária: Comprova-se que y 1 (t) é a resposta forçada de x 1 (t) e y 2 (t) é a resposta forçada de x 2 (t). 14

15 O Fasor Considerando-se a Função: Sendo: uma função complexa; e o seu conjugado. 15

16 O Fasor Fasores Girantes em Sentidos Contrários 16

17 O Fasor A Resposta Forçada ao Fasor Girante Tem a forma Se: e Tem-se as projeções dos fasores girantes no eixo real: e 17

18 Fasor é o valor do Fasor Girante em sentido anti-horário no instante t =0. O Fasor Há uma correspondência entre o Fasor E a função senoidal A resposta forçada a é Com e Função de Circuito 18

19 O Fasor Se Sendo e De modo semelhante, a resposta forçada a é Assim, para a entrada: Por superposição, têm-se a resposta forçada: 19

20 O Fasor Adição de duas tensões senoidais: 20

21 O Fasor Adição de duas tensões senoidais: 21

22 O Fasor Adição de duas correntes senoidais: 22

23 Exemplo Determinar i(t) para v(t)=v m cos ωt. Sendo s=jω 23

24 Exemplo Como: A corrente fasorial é: E a corrente no domínio do tempo: 24

25 Impedância e Admitância Considerando-se o circuito com a notação fasorial: 25

26 Impedância e Admitância Para o Resistor: Impedância: Admitância: Condutância: 26

27 Impedância e Admitância Para o Capacitor: i = C dv/dt Impedância: Admitância: ( (Ω) Reatância Capacitiva: Susceptância Capacitiva: X C =1/(ωC) (Ω) 27

28 Impedância e Admitância Para o Indutor: v = L di/dt Impedância: Admitância: (Ω) ( Reatância Indutiva: ( Susceptância Indutiva: X L =ωl (Ω) 28

29 Impedância e Admitância 29

30 Impedância Diagrama de Impedâncias 30

31 Impedância Variação da Impedância com a Frequência Angular 31

32 Impedância e Admitância 32

33 Lei das Tensões A soma algébrica dos fasores de tensão em um circuito fechado é igual a zero. 33

34 Lei das Correntes A soma algébrica dos fasores de corrente em um nó é igual a zero. 34

35 Impedâncias em Série 35

36 Impedâncias em Paralelo Y 1 = I 1 /V Y 2 = I 2 /V Y 3 = I 3 /V Y = I/V 36

37 Exemplo Determinar i(t) para v(t)=v m cos ωt. 37

38 Diagramas Fasoriais Circuito RLC Série : 38

39 Diagramas Fasoriais Circuito RLC Paralelo : 39

40 Diagramas Fasoriais Lugar Geométrico do Fasor I variando-se R ou L de 0 a Sendo: e 40

41 Diagramas Fasoriais Resultando nos seguintes gráficos: Variação de R: Semicircunferência de raio V m /(2ωL) Variação de L: Semicircunferência de raio V m /(2R) 41

42 Variação da Impedância com a Frequência Para o circuito série RLC: Ressonância Tem-se as frequências angular e cíclica de ressonância: Que ocorrem quando X L =X C, resultando: V L =-V C 42

43 Ressonância Gráficos e diagramas das tensões no circuito série RLC em ressonância: No circuito ressonante, a corrente está em fase com a tensão. 43

44 Ressonância Com a frequência de ressonância, o circuito série RLC torna-se puramente resistivo, com impedância mínima e corrente máxima. Frequência menor que a de ressonância torna o circuito série RLC capacitivo e maior que a de ressonância torna o circuito indutivo. 44

45 Ressonância Fator de Qualidade Circuito Série RLC Variação da corrente com Q: Largura da banda de frequência: 45

46 Ressonância Com a frequência de ressonância, o circuito paralelo RLC tornase puramente resistivo, com impedância máxima e corrente mínima. Frequência menor que a de ressonância torna o circuito paralelo RLC indutivo e maior que a de ressonância torna o circuito capacitivo. 46

47 Ressonância Fator de Qualidade Circuito Paralelo RLC Variação da impedância com Q: Largura da banda de frequência: 47

48 Teorema de Thévenin Aplica-se o Teorema de Thévenin aos circuitos de corrente alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua. Circuito equivalente de Thévenin: Z th é a impedância equivalente da rede linear, a partir dos terminais A e B, com as fontes independentes desativadas. 48

49 Teorema de Norton Aplica-se o Teorema de Norton aos circuitos de corrente alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua. Circuito equivalente de Norton: 49