Teoria de Eletricidade Aplicada

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1 1/24 Teoria de Eletricidade Aplicada Representação Vetorial de Ondas Senoidais Prof. Jorge Cormane Engenharia de Energia

2 2/24 SUMÁRIO 1. Introdução 2. Números Complexos 3. Funções Exponenciais Complexas

3 3/24 INTRODUÇÃO Associar um número complexo a uma senoide é um artificio conveniente, que permite analisar a resposta estacionária de circuitos lineares em corrente alternada

4 4/24 NÚMEROS COMPLEXOS Definição: Um número complexo (z) é definido como a soma de um número real e um número imaginário, da forma z = x +jy, onde x e y são número reais e j = 1.

5 5/24 NÚMEROS COMPLEXOS Representação dos números complexos: Coordenadas Retangulares z = }{{} x +j y }{{} Re Im Coordenadas Polares x = z cos(θ) z = x 2 +y 2 z = z θ = z e jθ y = z sin(θ) θ = tan 1 ( y ) x e jθ = cos(θ) +j sin(θ)

6 6/24 NÚMEROS COMPLEXOS O Plano Complexo é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos: Im y= z sin(θ) θ z x= z cos(θ) (x,y) O plano complexo associa o número complexo x +jy do plano ao ponto (x, y) e a distância euclidiana "segmento de reta"do ponto até a origem do sistema de coordenadas z. Re

7 7/24 NÚMEROS COMPLEXOS Operações (Soma e Subtração) z 1 = x 1 +jy 1 z 2 = x 2 +jy 2 z 1 ±z 2 = (x 1 +jy 1 ) ± (x 2 +jy 2 ) = (x 1 +x 2 ) ±j(y 1 +y 2 ) Dica: executar as operações de SOMA e SUBTRAÇÃO de números complexos em Coordenadas Retangulares

8 8/24 NÚMEROS COMPLEXOS Operações (Multiplicação) z 1 = z 1 θ 1 z 2 = z 2 θ 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 θ 1 + θ 2 A MULTIPLICAÇÃO é mais fácil de ser realizada na forma polar

9 9/24 NÚMEROS COMPLEXOS Operações (Divisão) z 1 = z 1 θ 1 z 2 = z 2 θ 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 θ 1 θ 2 A DIVISÃO é mais fácil de ser realizada na forma polar

10 10/24 NÚMEROS COMPLEXOS Operações (Potenciação) z n = z n nθ j 1 = j = 1 90 j 0 = 1 = 1 0 j 1 = j = 1 90 j 2 = 1 = j 3 = j j 2 = j. j n+4 = j n

11 11/24 NÚMEROS COMPLEXOS Operações (Conjugado) z = x jy = z θ z +z = 2Re{z} z z = j2im{z} (z 1 +z 2 ) = z 1 +z 2 zz = z 2 (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 O conjugado de um número complexo é seu simétrico no plano complexo em relação ao eixo real.

12 12/24 NÚMEROS COMPLEXOS Inverso multiplicativo (para z 0) 1 z = 1 z θ = 1 z θ 1 z = 1 x+jy = (x jy) (x+jy)(x jy) = x jy = z x 2 +y 2 z 2

13 NÚMEROS COMPLEXOS Exercícios Aula Considerando os números complexos mostrados a seguir, interprete geometricamente as operações: i. z = z 1 +z 2, ii. z = z 1 z 2 e iii. z 1. z 1 = z 1 θ 1 e z 2 = z 2 π 2 + θ 1 Exercícios Aula Calcular os valores de x e y. 15 x +jy = 20ej π 4 13/24

14 NÚMEROS COMPLEXOS Exercícios Aula Calcular os valores de r e θ. (r θ)( 3 +j5) = j25 Exercícios Aula Calcular os valores de x e y na equação 15 x +jy = 20ej π 4 14/24

15 15/24 NÚMEROS COMPLEXOS Exercícios Aula Resolver as operações e j π 3 (40 50 ) + (3 j4) (2 +j4)(3 j5) [ 10 +j6 ] 1 2 j j Exercícios Aula Resolver o sistema de equações lineares [ 10 +j6 2 j j ][ ] x1 x 2 [ e j π] = 2 0

16 16/24 FUNÇÕES FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS Uma senoide é um sinal na forma de uma seno ou cosseno: x (t) = Ae jωt ω = 2πf = 2π T f - frequência [Hz] T - Período [s] A - amplitude ω - frequência angular [rad/s] φ - ângulo de fase [rad ou º]

17 17/24 FUNÇÕES FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS As fórmulas de Euler e seus corolários permitem transitar entre as funções senoidais e exponenciais complexas Formulas de Euler e jθ = cosθ +j sinθ e jθ = cosθ j sinθ Corolários cosθ = ejθ +e jθ 2 sinθ = ejθ e jθ 2j

18 18/24 FUNÇÕES FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS As funções senoidais podem ser expressas como a soma de dos termos exponenciais complexas f (t) = A cos ( ωt + φ ) = 1 [Ae j(ωt+φ) +Ae j(ωt+φ)] }{{} 2 e jθ +e jθ 2 = 1 Ae jφ 2 }{{} e jωt +Ae }{{ jφ } e jωt = 1 [Fe ] jωt +F e jωt 2 F F onde, F = Ae jθ e F = Ae jθ são números complexos ou Constantes Complexas

19 19/24 FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS As exponenciais complexas são representadas graficamente no plano complexo da forma a seguir: Para um valor dado de t Im A A j j t Fe Ae t Re ( t ) * j j t F e Ae À medida que t aumenta j Fe t 2 Fe * j t 2 Im Fe j * j F e t 4 j Fe t 0 Re t * j Fe 4 t 0 Os dois segmentos giram em sentidos opostos e são chamados de "Fasores girantes"

20 20/24 FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS Observa-se que para todo t, a função f (t) é uma função REAL representada como: a metade da soma dos dois fasores girantes Im 1 2 j * j Fe Fe f t Re a projeção de quaisquer dos fasores no eixo real Im j ReFe f t Re

21 21/24 FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS F t 2 Im Ft 4 F t 0 Re Por convenção, mostra-se unicamente o fasor girante no sentido anti-horário. Adicionalmente, omite-se a parte e jω de F por causa de que eles sempre giram com a mesma frequência

22 22/24 FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS O termo FASOR, a menos que seguido de um adjetivo que modifique, é entendido como sendo "o valor do fasor girante em sentido anti-horário no instante t = 0" O termo fasor é usado em vez de vetor porque o ângulo indica uma fase temporal e não uma orientação espacial.

23 FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS Exercícios Aula Calcular a soma do sinal resultante x 1 (t) = 2cos(6t +60 ) x 2 (t) = 4sin(6t 60 ) Exercícios Aula Uma fonte de tensão senoidal v(t) possui uma amplitude de 100V e um período de T = 1 ms. O valor de v(t) em t = 0 é 10V. Determine uma expressão para v(t). 23/24

24 24/24 DÚVIDAS?