Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula

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1 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Superposição de Movimentos Periódicos Há muitas situações em física que envolvem a ocorrência simultânea de duas ou mais vibrações harmônicas. Nesses casos essas diferentes vibrações harmônicas se superpõem, gerando movimentos vibratórios complicados. Imaginem, por exemplo, dois diapasões que produzem tons musicais puros vibrando simultaneamente. Quando as vibrações desses dois diapasões atingem nosso ouvido, percebemos um som que não é, nem um, nem o outro tom puro, mas uma combinação dos dois. Nesta aula, iremos considerar que a vibração resultante da superposição de duas ou mais vibrações harmônicas é dada pela soma das vibrações individuais. Esta hipótese, conhecida como princípio da superposição linear, simplifica enormemente o tratamento matemático. Do ponto de vista físico, ela é uma suposição que funciona muito bem para descrever certos sistemas os quais são, portanto, chamados de lineares, mas não tão bem para descrever outros sistemas os quais são chamados de não-lineares.

2 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Vamos começar nossa análise estudando superposições de oscilações harmônicas em uma dimensão, que será tomada como x sem perda de generalidade. Duas vibrações com frequências iguais Sejam dois MHS de mesma frequência angular ω, mas amplitudes diferentes (A e A ). Eles são descritos pelas equações x ( t ) x ( t ) Acos ( ωt + ϕ) A cos ( ωt + ϕ ). () A superposição linear desses dois MHS é então: x( t ) x( t ) + x ( t ) Acos ( ω t + ϕ) + Acos ( ωt + ϕ ). () Pode-se mostrar que a expressão acima pode ser escrita como um único MHS da forma x ( t ) Acos ( ω t + ϕ ). Isto pode ser feito algebricamente (tentem fazê-lo como exercício), mas é mais fácil usando a representação em termos do vetor girante. Observem as figuras abaixo. Na figura A o vetor OP é um vetor de comprimento A girando com um ângulo em relação ao eixo x que varia no tempo como (ωt + φ ). Ele representa o MHS x (t).

3 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Já o vetor OP é um vetor de comprimento A girando com um ângulo em relação ao eixo x que varia no tempo como (ωt + φ ). Ele representa o MHS x (t). A soma vetorial de OP e OP é o vetor OP (em vermelho na figura A e em preto na figura B). Ele representa o movimento resultante da superposição de x (t) e x (t). Como OP e OP giram com a mesma velocidade angular ω, todo o paralelogramo OP PP gira rigidamente com a mesma velocidade angular ω. O vetor resultante tem módulo A e faz um ângulo em relação ao eixo x que varia no tempo como (ωt + φ + β) (veja a figura B). Vamos chamar (φ + β) de φ. Logo, a projeção de OP sobre o eixo x é x ( t ) Acos ( ω t + ϕ ). (3) Os valores do módulo A e da constante de fase φ (φ + β) também podem ser encontrados geometricamente. 3

4 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Observe que como o ângulo entre o eixo x e OP é (ωt + φ ) e como o ângulo entre o eixo x e OP é (ωt + φ ), o ângulo entre o prolongamento de OP e P P é (φ φ ) (veja as figuras A e B). Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo OP P (figura B), temos que A ( π ( ϕ )) A + A A A cos ϕ ( ϕ ) A A + A + A A cos ϕ. (4) Esta equação permite determinar o valor do módulo A. Aplicando a lei dos senos ao mesmo triângulo (OP P), temos que A senβ sen A senβ sen senβ A ( π ( ϕ ϕ )) A ( ϕ ϕ ) A sen A ( ϕ ϕ ). (5) Esta equação permite determinar β, que somado a φ nos dá φ. Os mesmos resultados acima também podem ser obtidos usando-se a representação em termos de exponenciais de números complexos. 4

5 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 As rotações dos dois vetores, OP e OP, são descritas pelas seguintes equações: z ( t) A e i ( ω t+ϕ ) ( ω t +ϕ ) i z ( t A e. ) Portanto, a resultante é dada por: ( ω t+ ϕ ) i( ωt+ ϕ ) i z ( t) z ( t) + z ( t A e + A e. ) Podemos colocar em evidência o termo ( ωt+ ϕ ) i( ϕ ϕ ) i( ω t+ϕ ) e, obtendo: [ A + A e ] i z ( t) e. (6) Vamos interpretar o que a equação acima nos diz. Primeiro, observem o termo entre colchetes. Ele nos diz que um número complexo de módulo A e argumento zero (sobre o eixo real, portanto) é somado vetorialmente (pois é assim que se somam números complexos) ao número complexo de módulo A e argumento (φ φ ) (que, portanto, forma um ângulo (φ φ ) com o eixo real). O resultado (façam o desenho em um gráfico) é um número complexo de módulo A e argumento β, isto é, ele forma um ângulo β com o eixo real. Logo, i z( t) e ( ωt+ ϕ ) iβ Ae. 5

6 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Lembrando que um termo do tipo e iθ é um fator de fase cujo efeito sobre um número complexo como Ae iβ é apenas girá-lo no sentido anti-horário por um ângulo θ, temos que o resultado final é: ( ω t + ϕ + β ) i z ( t) Ae. (7) Esta é a solução complexa. Para obtermos a solução física, real, basta tomarmos a parte real dela: ( ω + ϕ + β ) x ( t) Re z( t) Acos t. (8) Este exemplo começa a nos mostrar as vantagens de se usar a forma exponencial para resolver problemas sobre oscilações. Um caso particular deste problema ocorre quando as amplitudes das duas oscilações são iguais: A A A. Neste caso, inspecionando a figura B acima temos que (mostre como exercício): A ϕ ϕ β A + A cos( β ) ϕ ϕ A A cosβ A cos. 6

7 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Faça, como exercício, um gráfico da amplitude A da oscilação resultante em função da diferença de fase (φ φ ) das duas oscilações. Tente interpretar o resultado. Duas vibrações com frequências diferentes Sejam agora dois MHS de frequências angulares e amplitudes diferentes, ω e ω e A e A. Eles são descritos pelas equações x ( t ) x ( t) A cos ( ω t A cos ( ω t + ϕ ) + ϕ ). (9) Neste caso, a diferença de fase entre as duas vibrações varia com o tempo de forma contínua: θ ( ω ω ) + ( ϕ ) t. θ ϕ Em um caso assim, especificar uma diferença de fase inicial (constante) (φ φ ) não irá alterar a análise feita do ponto de vista físico; ela apenas iria complicar mais a matemática. Portanto, vamos, sem perda significativa de generalidade, simplificar o problema em questão para o caso em que as duas vibrações harmônicas têm fases iniciais zero: φ φ 0. Neste caso, as equações para as duas vibrações são: 7

8 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 x ( t) x ( t ) A cos ω t A cos ω t. (0) Em um instante arbitrário, o resultado da superposição entre as duas vibrações será como mostrado na figura abaixo. Vemos que o comprimento do vetor resultante OP deve ficar entre a soma e a diferença de A e A. Portanto, o módulo de OP deve ser um número entre zero e A + A. De maneira geral, a superposição entre x (t) e x (t) será uma função complicada de t, podendo inclusive nem ser um movimento periódico. Veja, por exemplo, as figuras abaixo feitas no programa Excel. 8

9 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 A figura A mostra duas oscilações harmônicas com frequências e amplitudes diferentes e a figura B mostra a superposição dessas duas oscilações. Observe que a oscilação resultante é periódica, mas tem uma forma bem mais complicada que a das duas oscilações que a originam. Como exercício, implemente em um programa como o Excel a soma de duas funções harmônicas x (t) e x (t) com valores arbitrários de ω, ω, A e A e observe o resultado para diferentes valores dessas grandezas. Como dito acima, a figura no topo desta página mostra um exemplo onde a oscilação resultante, embora complicada, é periódica. Qual a condição para que isto aconteça? Vamos chamar o período da oscilação resultante de T. Para que este período exista, é necessário que as duas oscilações x (t) e x (t) voltem simultaneamente ao mesmo valor após o período T. 9

10 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Como as funções x (t) e x (t) são cossenos, a condição para que elas tenham o mesmo valor a cada intervalo de tempo T é a seguinte: ω T ω T Esta condição implica que ω ω n π n π n n (n e n inteiros). () (n e n inteiros). () Por sua vez, cada uma das duas oscilações, x (t) e x (t), tem seu próprio período, o que implica que: T T ω ω π ω π, ω T T. (3) Combinando () com (3), obtemos que a condição para que a oscilação resultante seja periódica é: T n (n e n inteiros), (4) T n ou seja, os períodos de x (t) e de x (t) tem que ser comensuráveis (a razão entre eles tem que ser um número racional). O período T da oscilação resultante corresponde à solução de (4) com os menores valores inteiros possíveis para n e n. 0

11 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Se, por exemplo, a razão entre os dois períodos (ou entre as duas frequências) for um número irracional (, por exemplo), não haverá qualquer tempo, por mais longo que seja, depois do qual a forma oscilatória anterior a ele se repita. No caso dos gráficos da página 9, os períodos das duas oscilações são T /450 s e T /00 s. Um caso especial importante ocorre quando os dois MHS têm frequências muitos próximas uma da outra. Neste caso ocorre um fenômeno conhecido como batimento. Este fenômeno é mais facilmente estudado quando as oscilações têm a mesma amplitude: x ( t) x ( t ) A superposição das duas nos dá então: Acos ωt Acos ω t. [ cos ω t + t] x( t ) A cos ω. (5) Considerando, sem perda de generalidade, que ω > ω e definindo: ω ( ω + ω ) ω ω ω, (6)

12 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 podemos escrever Substituindo em (6): ω ω ω + ω ω. ω x( t ) ω ω A cos ω t + t + cos ω t t, ou, usando a identidade trigonométrica, ( α β ) + cos( α β ) cosα cosβ cos +, ω x( t) A cos t cos ω t. (7) Este resultado é geral, valendo para quaisquer ω e ω. O caso fisicamente interessante, no entanto, ocorre para, ω << ω + ω ou seja, quando as duas frequências forem muito próximas. Nesta condição, o termo cos ω t oscila muito mais rapidamente que o termo ω A cos t. Podemos então considerar que x(t) dado por (7) é uma oscilação de freqüência angular ω com amplitude que varia lentamente no tempo.

13 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Essa amplitude lenta é a( t) ω A cos t. (8) A figura abaixo mostra o fenômeno de batimento para as mesmas funções usadas no gráfico da página 9, só que agora com T /450 s e T /400 s. Isto implica que ω 87,4 s - e ω 53,3 s -, de maneira que ω 670,3 s - e ω 34, s -. Observe que o período de a(t) neste caso é 0,0 s e que o período das oscilações de x(t) é ~ 0,00 s. 3

14 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Apêndice: a lei dos cossenos e a lei dos senos A lei dos cossenos é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários. Seja o triângulo da figura abaixo. Pela lei dos cossenos, o lado c está relacionado aos outros dois lados, a e b, e ao ângulo oposto a ele, β, pela relação abaixo: c a + b abcos β. Relações similares valem para os outros dois lados: e a b b + c bccosθ a + c accosα. A lei dos senos aplica-se a qualquer triângulo arbitrário de lados a, b, c e ângulos internos α, β e θ como mostrados abaixo. 4

15 59070 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 6 00 Pela lei dos senos temos: a sen b θ senα c senβ 5