Eletrotécnica II Números complexos

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1 Eletrotécnica II Números complexos Prof. Danilo Z. Figueiredo Curso Superior de Tecnologia em Instalações Elétricas Faculdade de Tecnologia de São Paulo

2 Tópicos Aspectos históricos: a solução da equação cúbica Definição e operações envolvendo números complexos Interpretação geométrica

3 Tópicos Aspectos históricos: a solução da equação cúbica Definição e operações envolvendo números complexos Interpretação geométrica

4 A solução da equação cúbica Considere a equação x 3 + px + q = 0. (1) Para u e v tais que tem-se x = u + v (2) (u + v) 3 + p(u + v) + q = 0 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 + p(u + v) + q = 0 u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

5 A solução da equação cúbica Caso seja possível obter u e v tais que e então x = u + v será raiz da equação (1). Da equação (4) tem-se que u 3 + v 3 = q (3) 3uv = p, (4) u 3 v 3 = p3 27, então a soma e o produto de u 3 e v 3 são conhecidos, de modo que u 3 e v 3 podem ser obtidos a partir das soluções da seguinte equação de segundo grau em t, t 2 + qt p3 = 0. (5) 27

6 A solução da equação cúbica A solução de (5) é imediata e resulta em u 3 = q (p ) 3 ( q ) e v 3 = q 2 (p 3 ) 3 + ( q 2 ) 2. Portanto, lembrando que x = u + v, tem-se x = 3 q (p ) 3 ( q ) q (p ) 3 ( q ) (6) 3 2 A importância da expressão (6) é que ela permite identificar diretamente uma das raízes da equação cúbica (1).

7 A solução da equação cúbica Considere, por exemplo, a equação x 3 15x 4 = 0. Uma das raízes desta equação é x = 4 (verifique!). Utilizando a equação (6) obtém-se x = = = 3 (2 + 1) 3 + (2 3 1) 3 = (2 + 1) + (2 1) = 2 + j + 2 j = 4

8 Tópicos Aspectos históricos: a solução da equação cúbica Definição e operações envolvendo números complexos Interpretação geométrica

9 Definição Todo número complexo z C pode ser expresso, por definição, na forma retangular ou cartesiana dada por onde a, b R. z = a + bj, O número a é dito a parte real de z e o número b é dito a parte imaginária de z. É comum usar a notação a = Re(z) e b = Im(z). Note que todo número real x pode ser expresso por x + 0j como um número complexo. Os números complexos da forma 0 + yj = yj são chamados imaginários puros e j é chamada unidade imaginária 1. Sejam z 1, z 2 C. Então z 1 = z 2 se e somente se Re(z 1 ) = Re(z 2 ) e Im(z 1 ) = Im(z 2 ). 1 Em contextos que não envolvem a Engenharia Elétrica, a unidade imaginária costuma ser denotada por i

10 Adição e multiplicação Considere z 1, z 2 C tais que z 1 = a + bj e z 2 = c + dj. A operação de adição é definida por z 1 + z 2 = (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j e a operação de multiplicação por z 1 z 2 = (a + bj) (c + dj) = (ac bd) + (ad + bc)j.

11 Adição e multiplicação Desse modo, para z, z 1, z 2, z 3 C, vale que i) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ii) z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 iii) 0 + z = z + 0 = z iv) z + ( z) = ( z) + z = 0 v) z 1 z 2 = z 2 z 1 vi) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 vii) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 viii) (z 2 + z 3 ) z 1 = z 1 z 2 + z 1 z 3 ix) 1 z = z 1 = z x) 0 z = z 0 = 0 xi) Existe um único z 1 tal que z z 1 = z 1 z = 1, para z 0

12 Demais operações envolvendo complexos Para z 1, z 2 C define-se o oposto de um número complexo e a subtração entre complexos, respectivamente, como z 1 = ( 1) z 1 z 2 z 1 = z 2 + ( z 1 ) A operação de divisão entre números complexos é dada, para c + dj 0, por [ ] [ ] a + bj (a + bj) (c dj) ac + bd bc ad = c + dj (c + dj) (c dj) = c 2 + d 2 + c 2 + d 2 j.

13 Demais operações envolvendo complexos Da definição da multiplicação entre números complexos, vale que j 2 = (0 + 1j) (0 + 1j) = 1. De forma geral, as potências de j com expoente natural podem ser calculadas de forma análoga às de um número real, ou seja, j 0 = 1 j 1 = j j 2 = 1 j 3 = j j 4 = 1 j 5 = j.

14 Tópicos Aspectos históricos: a solução da equação cúbica Definição e operações envolvendo números complexos Interpretação geométrica

15 Representação no plano complexo Os números complexos podem ser representados num plano xy denominado plano complexo como é mostrado abaixo. Nesta figura estão representados os números complexos z = x + yj e seu conjugado z, definido como z = Re(z) Im(z) = x yj. Figura : Representação de um número complexo e de seu conjugado no plano complexo (fonte: Wikipedia).

16 Propriedades de números complexos conjugados Sejam z 1, z 2 C, então i) Re(z 1 ) = 1 2 (z 1 + z 1 ) ii) Im(z 1 ) = 1 2j (z 1 z 1 ) iii) z 1 z 1 = z 1 2 iv) 1 z 1 = z 1 z 1 z 1, com z 1 0 v) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 vi) z 1 z 2 = z 1 z 2 vii) z 1 z 2 = z 1 z 2 viii) (z 1 /z 2 ) = z 1 /z 2, com z 2 0

17 Representação na forma polar Ainda considerando a representação do número complexo z = x + yj no plano complexo, ao ângulo ( ϕ = tan 1 y ) x dá-se o nome fase ou argumento de z. Ao comprimento r dá-se o nome módulo ou valor absoluto de z, denota-se r = z e tem-se que r = z = x 2 + y 2. A fase e o módulo de um número complexo permitem representá-lo numa forma chamada polar denotada por z = r ϕ

18 Representação na forma trigonométrica Note na representação de z no plano complexo, que x = r cos(ϕ) e y = r sen(ϕ). Isso permite expressar z = x + jy como z = r (cos ϕ + j sen ϕ). Essa forma de expressar z é chamada forma trigonométrica. Da fórmula de Euler, e jϕ = cos ϕ + j sen ϕ, pode-se escrever também que z = r e jϕ.

19 Representação na forma trigonométrica Da fórmula de Euler tem-se também que cos(ϕ) = ejϕ + e jϕ 2 e sen(ϕ) = ejϕ e jϕ. 2j Além disso, para z 1 = r 1 e jϕ 1 e z 2 = r 2 e jϕ 2 tem-se que z 1 z 2 = r 1 e jϕ 1 r 2 e jϕ 2 = r 1 r 2 e j(ϕ 1+ϕ 2 ) = r 1 r 2 ϕ 1 + ϕ 2 e z 1 z 2 = r 1 e jϕ1 r 2 e jϕ 2 = r 1 r 2 e j(ϕ 1 ϕ 2 ) = r 1 r 2 ϕ 1 ϕ 2

20 Propriedades do módulo de um número complexo Sejam z, z 1, z 2 C, então i) z 0 ii) z = 0 z = 0 iii) z 1 z 2 = z 1 z 2 iv) z 1 z 2 = z 1 z 2, para z 2 0 v) z 1 + z 2 z 1 + z 2

21 Referências BOYER, C.B. (2010) História da Matemática 3. ed, Editora Blucher, 2010 LIMA, E.L. (1987) A equação do terceiro grau Matemática Universitária, N o 5, 9-23, 1987