SIMULADO 3 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA VESTIBULAR 2018 GABARITO

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1 SIMULADO 3 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA VESTIBULAR 018 GABARITO Física Inglês Português Matemática 1 C 1 * 1 D 1 B B B E C 3 B 3 B 3 D 3 D 4 E 4 C 4 A 4 E 5 A 5 B 5 C 5 C 6 C 6 E 6 E 6 A 7 E 7 A 7 E 7 C 8 D 8 B 8 E 8 C 9 C 9 D 9 B 9 B 10 A 10 A 10 D 10 C 11 E 11 D 11 A 11 C 1 A 1 D 1 D 1 B 13 C 13 D 13 A 13 B 14 A 14 C 14 C 14 C 15 B 15 C 15 C 15 C 16 D 16 D 16 E 16 A 17 D 17 A 17 E 17 E 18 C 18 D 18 D 18 A 19 B 19 E 19 A 19 C 0 C 0 E 0 A 0 D RESOLUÇÕES Questão 01. Solução: Como não sabemos se os números dados são positivos, a única operação que podemos garantir entre as desigualdades dadas é a soma. Logo, a afirmação I é verdadeira e as outras são falsas. Questão 0. Solução: Os elementos de B são x e {A}. Logo, só podemos afirmar que x B e {A} B. o item I é verdadeiro, porém II e III são falsos. Para que IV fosse verdadeiro, todo elemento de B deveria ser elemento de A, ou seja, deveríamos ter x A e {A} A. Porém, esta última inclusão é falsa. Logo, IV é falsa. O item V é falso, porque A B. Questão 03. Solução: Vamos denotar por R = ]100, 10[, P = ]105, 130[ e I = ]10, 140[ os intervalos ditos por Regina, Paulo e Iracema, respectivamente. Se o número de bolas estiver no intervalo P, temos dois casos: ou este número é menor que 10 (o que tornaria a afirmação de Regina verdadeira) ou é maior que 10 (o que tornaria a afirmação de Iracema também verdadeira). Dessa forma, se a afirmação de Paulo for verdadeira, sempre teremos duas afirmações verdadeiras, o que contradiz o enunciado. Logo, a afirmação de Paulo é falsa, de modo que o número de bolas só pode assumir as seguintes possibilidades: {101, 10, 103, 104} {131, 13,..., 139}. O total de possibilidades é, portanto, = 13. Questão 04. Solução: I. Verdadeiro. Usando o fato de que (A B) C = A C B C e que X X C =, podemos escrever: (A B) (A C B C ) =(A B) (A B) C =. II. Verdadeiro. Usando o fato de que A \ B = A B C e que (B C) C = B C C C, temos: (A \ B) \ C = (A B C ) C C = A (B C C C ) = A (B C) C.

2 III. Verdadeiro. Como B B (C \ A), então A B A (B (C \ A)). Basta, então, provarmos a inclusão contrária. Tome x A (B (C \ A)). Então, x A e x B (C \ A). Mas, dessa forma, segue que x B, pois se fosse x C \ A, teríamos x A, o que é uma contradição. Assim, x A, x B e, portanto, x A B, como queríamos provar. Portanto, A B A (B (C \ A)), A (B (C \ A)) A B A (B (C \ A)) = (A B). Questão 05. Solução: Temos A = {1,, 3} e B = {, 3, 5}. Queremos calcular o número de funções f tais que f() e f(3) 3. Assim, temos 3 possibilidades para o elemento 1, possibilidades para o e possibilidades para o 3. O total de funções é, portanto, 3xx = 1. Questão 06. Solução: Usando que, podemos escrever ( ) ( ) ( ) ( ) Logo, como a função seno percorre o intervalo [-1, 1], então f(x) percorre o intervalo [-, ]. Questão 07. Solução: A equação dada reduz-se a: Fazendo tg x = t, obtemos a equação: As raízes desta equação serão tg x 1, tg x, tg x 3 e tg x 4. Logo, queremos calcular a soma dos inversos das raízes, ou seja, Questão 08. Solução: O maior lado do triângulo é cossenos, obtemos: De onde obtemos cos = -1/, ou seja, = 10.. Seja o ângulo oposto a esse lado. Então, pela lei dos Questão 09. [I] Verdadeira. Somando as equações acima temos: 3 i (1i) w iw 3 i w (1i) 3 i w w 1i 1i (1i) Logo, z 1 i. Fazendo z w, temos: z w 1 4i 4 a i 1 3 6i [II] Verdadeira. Se z é raiz da equação, podemos mostrar que z ( z) z (z) 4 i Portanto, a soma de todas as suas raízes é zero. [III] Falsa, pois z também é raiz. (1 i) (1 i) (1 i) ( i) (1 i) ( i) (1 i) ( i 1) Questão 10. z 6z 10 0 z 3 1 z 3 i ou z 3 i Verificando se z 3 i pertence ao conjunto A. 3 i 3i 1 i ( 1) ( ) 5 19 Portanto, 3 i A. Verificando se z 3 i pertence ao conjunto B. 3 i i 3 i ( 3) () 13 7 / Portanto, 3 i B.

3 Verificando se z 3 i pertence ao conjunto A. 3 i 3i 1 4i ( 1) ( 4) Portanto, 3 i A. Verificando se z 3 i pertence ao conjunto B. 3 i i 3 ( 3) 9 7 / Portanto, 3 i B. Então, (A \ B) C { 3 i}. Questão 11. Seja Z x yi, com i 1, x 1 e y 1. Assim, vem 1 1 Z x yi 1 x yi x yi x yi x y i. x y x y Portanto, como x 0 1 x y y e 0 1, x y tem-se que a imagem de 1 Z pode ser III. Questão 1. Tem-se que 1ai 1ai a i a i a i a z i. a i a i a i a 1 Portanto, o valor de 016 z é i i 1. Questão 13. O número complexo representado no plano é igual a z 1 i. Assim, tem-se: z 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i i i 1 i i 1 i i i i 1 i 1 1 i i (x yi i) x yi i 6 Questão 14. x (y 1) i (y 1) i x (1 y) 6 Lembrando que i 1 e desenvolvendo os quadrados, temos: x 4y y i 6 Considerando a igualdade de complexos, temos: y 0 y y 1 Fazendo y 1, temos: x 4 ( 1) 6 x x 1 x 1 (não convém) ou x 1. Portanto, w 1 i.

4 x ( i) 1 (x ) (y )i 1 (x ) y 1 (x ) (y ) 1 Questão 15. Logo, o centro da circunferência será o ponto (,) e a reta que passa pela origem e pelo centro da circunferência terá equação y = x. Resolvendo o sistema abaixo determinaremos os pontos Z 1 e Z : (x ) (y 1) 1 y x Temos: 4 4 x 8x 7 0 x ou x. Portanto, a parte real pedida é 4 x. Questão 16. Fatorando (x + y 6)(x + y + 7) = 0 x + y = 6 ou x + y = Questão Questão x+11 Questão 19. = æ ö 1 ç - è 100ø = x+11 9 => x = {-0,-14,-1,-10,-8,- } x+11 x 4 + y 4 + z 4 = (x+ y+ z)(x 3 + y 3 + z 3 ) -(xy+ xz+ yz)(x + y + z )+ xyz(x+ y+ z) Questão 0. Questão 0 terá solução inserida posteriormente. Resoluções das questões dissertativas das 1 a 30. Questão 1. 1ª. Solução: Para cada k = 0, 1,,...n, se A tem k elementos, para escolhermos os elementos de B, basta decidirmos sobre os n k elementos restantes de. Assim, teremos todas as possibilidades para A B. Temos ( ) modos de escolhermos o conjunto A e B é dado por modos de escolhermos B. Portanto, o número de pares (A, B) com A ( ) ( )

5 Em seguida, devemos subtrair os casos em que A = B. Há tais pares. Então, o total de pares em que A B e A B é igual a Questão. Solução: A resposta é. Veja que. Assim, para cada k = 1,,..., 9, faremos: ( ) ( ) Calculando o produto e, ao final, observando que sen(90 x) = cos x, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) Questão 3. Solução: Usaremos a lei dos senos e uma lei dos cossenos: e. Multiplicando ambos os membros da equação dada por 4R, ficamos com:. Daí, podemos escrever Logo, a = R, o que significa que o triângulo ABC é retângulo em A. Questão 4. Solução: Fazendo a = cos x, b = cos 3x e c = cos 5x, a equação dada reduz-se a O que ocorre quando a + b + c = 0 ou a = b = c. i) a + b + c = 0. Neste caso, temos cos x + cos 3x + cos 5x = 0, ou ainda, cos 3x +.cos 3x. cos x = 0, ou seja, cos 3x = 0 ou cos x = -1/. No intervalo [0, ], o conjunto solução é dado por { } { }. ii) a = b = c. Neste caso, cos x = cos 3x = cos 5x 0 Neste caso, a solução é {0,, }. A soma de todas as soluções é 13. Questão 5. Solução: Inicialmente, para que os ângulos de um triângulo estejam em PA, eles devem ser da forma (60, 60, 60 + ). Logo, um dos ângulo será igual a 60. Agora, pela lei dos senos, podemos escrever: Como sen(b + C) = sen A e cos (A + C) = cos B, a equação dada resulta em: Combinando esta equação com a lei dos senos escrita, obtemos sen B = cos B, ou seja, B = 45. Logo, os ângulos do triângulo serão 45, 60 e 75. Questão 6. z 0 1 i i i (1i)(1 i) i.i 1 i i a) z0 1 1 i 1 z0 z0 1.i Parte real = 1 e parte imaginária = 1.i b) Se 1 i é raiz, então seu conjugado 1 i também será. Calculando a soma das raízes S = 1 i + 1 i = 1

6 1 Calculando o produto de raízes: P = i. 1 i = 5 4 Utilizando a equação x S.x + P = 0, temos: x x + 5 = 0 (multiplicando por 4) 4 4x 4x + 5 = 0 c) z o.w = 5.( ) 5(1 i) W = 6 i 1 i Ou z o.w = 5. W = 5( 1 i) 6 i 1 i d) Resposta: Z 1 = i Questão 7. Sendo z = x + iy um número complexo com (x,y) IR e i = 1. a) Substituindo z por x + iy, temos (z+i)/(z-) = (x+iy+i)/(x+iy-) com z = [x+(+y)i/(x-)+iy] Efetuando-se a divisão, temos que [(z+i)/(z-)] = (x -x+y +y)/(x +y -4x+4) = ½ Logo, x +y +4y-4 = 0 (z ). A condição z exclui o ponto (,0) da circunferência de equação x +y +4y-4=0, que tem centro (0,-) e raio. Portanto, se acrescentarmos o ponto (,0) a esse conjunto de pontos, obteremos a circunferência de centro (0,-) e raio. b) x - y + = 0 Questão 8. a) Desde que z 1, com z x yi e x, y, vem

7 z 1 x yi 1 (x ) y 1 (x ) y 1, ou seja, os números complexos z que satisfazem z 1, pertencem à circunferência de centro em (, 0) e raio 1. Lembrando que z i denota a distância do complexo z x yi ao complexo w i, considere a figura. Queremos calcular a medida do segmento AB. Como AB AC CB e CB 1, falta calcular AC. Daí, AC ( 0) (0 ( 1)) 5 e, portanto, AB 5 1. b) Os triângulos CBD e CAO são semelhantes por AA. Logo, CD CB CD OC AC 5 e BD CB 1 BD. OA AC 5 Portanto, z0 i i Questão 9. Fatorando temos 3(x-3) (x-3) +144 = -(x-3) +15 x = 3 Questão 30. Fatorando (k + n 11) (k n + 11) = 131

8 k n º Caso : n 38 k n11 1 º Caso: k n11 1 n 7 k n11 131