& ( $ + & ( U V $ QUESTÃO 01.

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1 Resolução da prova de Matemática do º Vestibular Simulado de 004 _ Colégio Anchieta-BA Elaboração; prof. Octamar Marques. Resolução e comentário: profa. Maria Antônia Gouveia. QUESTÃO 0. & ( 0 4 U V $ % ' Na figura, as retas r e s são paralelas, o triângulo ABC é retângulo em C, o triângulo BDE é isósceles de base BD. Sabe-se que AB = 0cm, BD = 8cm, AC = 6cm, CN = 4cm e que a altura do triângulo BDE relativa á base BD é igual a cm. Pode-se afirmar que: (0) MN = 5cm. (0) A altura do triângulo ABC relativa à hipotenusa AB é igual a,6cm. (04) A distância entre as retas paralelas r e s é igual a,4cm. (08) PQ =,6cm. (6) EB = 6cm. () 7 cosê = -. 5 & 0 ( * ) 4 U $ + %, ' V (0) VERDAFEIRO.

2 O triângulo ABC é retângulo, então: AB² = AC ²+BC² BC² =00-6 BC = 8. Sendo CN = 4 N é o ponto médio do lado BC e como MN r // s AB 0 MN = = = 5. (0) FALSO. No triângulo retângulo ABC, 0CH = 8 6 CH = 4,8. (04) VERDADEIRO. Como MN liga os pontos médios dos lados CH 4,8 = =,4. BC e AC GH = (08) VERDADEIRO. Sendo PEQ ~ BED PQ EF PQ,4 PQ 0,6 = = = PQ =,6. BD EI 8 8 (6) FALSO. No EIB, retângulo em Î temos: BE² = EI²+BI² BE² = 9+6 BE = 5. () VERDADEIRO. No BED temos pela lei dos cossenos: BD² = BE²+ED² - BE ED cosê 7 64 = cosê 50 cosê = -4 cosê =. 5 QUESTÃO =45 Considere a função em R definida por f() = a + b. É verdade que: 0) Se o simétrico do gráfico da f em relação ao eio dos coincide com o gráfico de y = - +, então a = e b = -. (0) Se o gráfico de f passa na origem e no ponto (-,4), então a = 4. (04) R, f(+) = + b = -. (08) Se a -, a interseção do gráfico da função f com o gráfico de sua inversa f b é o ponto de abscissa = a. f () + f ( ) (6) A função F() = é ímpar. + () Se a composta da f com a função g() = é a função h() = 4+, então f() = 4.

3 (0) VERDADEIRO. Se (,y) pertence ao gráfico de f() = a + b, então (,-y) pertence ao gráfico a ele simétrico em relação ao eio O, assim: - y = a + b y = -a b = - + -a = - e b= a = e b = -. (0) FALSO. Se o gráfico de f() = a + b passa pela origem, b = 0 f() = a e se possui o ponto (-,4) 4 = -a a = -. (04) VERDADEIRO. Se f(+) = + a(+) + b = + a + a + b = + a =. a + b = 4 + b = b = - (08) VERDADEIRO. Se f() = a + b f - b () = -. a a A abscissa da interseção dos seus gráficos é dada pela equação f() = f - () b a + b = -, com a b = a² + ab - a² = ab + b a a (-a²) = b(+a) = + a = - a. - a (6) FALSO. f () + f (-) Se F() = F() = + b Vemos que F() = F(-) = + a + b - a + b F() = + que F() é par. b +. () VERDADEIRO. f(g() ) = h() a + b = 4 + a = 4 e b = a = e b = f() = + f() = 4. QUESTÃO = 45 Considere o polinômio f() = ³ + e g() = 4. É verdade que: (0) O grau de [f()]²[ g()]³ é. (0) R, f(). g() = a 4 + b + c + d a + b + c + d = -6 (04) O quociente da divisão de ³ + por + é o polinômio ² + +.

4 + - 8 (08) A equação = não tem solução. + - (6) Se uma das raízes da equação ³ - + b = 0 é 4, então essa equação possui uma raiz dupla. - a b () Se = + é uma identidade, então a+b = (0) FALSO. [f()]² é uma função do 6 o grau e [ g()]³ é uma função do o grau, então o produto [f()]²[ g()]³ é do 9 o grau. (0) VERDADEIRO f(). g() = ( ³+)(-4) f(). g() = 4 4³ + 4 = a 4 + b + c + d f(). g() = a+b+c+d = = -6 (04) FALSO. Efetuando a divisão (³ + ) ( + ) pelo método de Ruffini: Logo o quociente procurado é: ² - +. (08) VERDADEIRO Para a equação = ter solução é necessário que - ou. + - ( + )( - + ) ( - )( + + 4) Decompondo os numeradores: = ² = ² = - = -. Logo a equação não tem solução. (6) VERDADEIRO. Se 4 é raiz da equação ³ - + b = 0, então: b = 0 b = - 6. Logo a equação ³ - + b = 0 pode ser escrita ³ = 0. Aplicando Ruffini: ³ = 0 (-4)(²+4+4)= 0 (-4)(+)² = 0 - é uma raiz dupla. () VERDADEIRO - a b = a+b =. - = a + a + b b - = (a+b) + a-b = 58 4

5 QUESTÃO 04. Sobre números reais pode-se afirmar que: (0) a < 0, < y ay < a. (0) < - e y < 6 y < -8. (04) < < 4 e < y < 6-7 < y <. (08) R; <. + (6) R; = -. () = y = y. (0) VERDADEIRO Se todos os termos de uma desigualdade forem multiplicados por um mesmo número negativo, a desigualdade muda de sentido. Logo é verdade que se a < 0, < y ay < a. (0) FALSO. Se fizermos = - e y = 4, vemos que -y = --4 = -7 > -8. Logo esses valores são contra eemplos para a afirmação < - e y < 6 y < -8. (04) VERDADEIRO < < 4 e < y < 6 desigualdades: -7 < y <. (08) VERDADEIRO < < 4 6 < y < somando membro a membro as Fazendo o gráfico da função y = + vemos que é verdadeira a proposição R; < + (6) FALSO Em R a raiz quadrada de um número é sempre um número não negativo, logo é falsa a proposição R; = -. 5

6 () FALSO = y = y ( verdadeiro). = y = y ( falso, pois podemos ter = - y). Logo é falso que = y = y. QUESTÃO 05. Sobre equações e inequações é verdade que: = (0) O conjunto solução de -6 é o intervalo ] -, 4] (0) A equação ²+ + - = ² não tem solução. (04) A equação (-)² + ( y )² = 0 possui a única solução (a,b) tal que a + b =. (08) a < + < a (6) ( )( ) O conjunto solução da equação = é o vazio. () é raiz dupla da equação = 0.] (0) FALSO Logo a solução da inequação -6 é [,4]. (0) VERDADEIRO. Como ² + > 0 ²+ = ² +. Então a equação ²+ + - = ² é equivalente à equação ²+ + - = ² + - = 0 - = - ( falso). (04) VERDADEIRO. No conjunto dos números reais o número a² 0. Então a equação (-)² + ( y )² = 0 só tem solução para (-)² = 0 e ( y )² = 0 - = 0 e y = 0 = e y =. Logo a+b =. (08) FALSO. A proposição a < + < a é verdadeira quando a. (6) VERDADEIRO ( )( ) O conjunto universo da equação = é { R; }. Resolvendo esta equação temos: = = =. ( )( ) Logo a equação = não tem solução. () VERDADEIRO 6

7 = 0. Como a soma dos coeficientes do polinômio do primeiro membro é 0, é raiz da equação = 0 (-)²(-) = 0 é raiz dupla da equação = 54 QUESTÃO 06. Considere os pontos A = (0,0), B = (4,) e C = (-,). È verdade que: (0) A área do triângulo ABC é igual a 9u.a. (0) A distância entre os pontos B e C é 5 u.c. (04) A distância do ponto A à reta BC é igual a 9 6 u.c. (08) Se o ponto (,y) eqüidista dos pontos B e C, então 5-y = 6. (6) A reta y = 5+6 possui o ponto médio do segmento BC e intercepta o eio dos no ponto (-,0). () Se o ponto B = (4,) é o simétrico do ponto (-,y+) em relação à reta y =, então +y =4. % \ [ U & ( 0 % $ (0) FALSO Podemos calcular a área do triângulo ABC da seguinte forma: 7

8 0 4 0 S = = 8 + = 4,5 0 0 (0) FALSO. BC = ( 4 + ) + ( ) = 6. (0) VERDADEIRO. 4-4 A reta BC: = y + - 4y - + = 0 y BC é dada por : + 5y - 9 = 0. A distância do ponto A = (0,0) à reta BC é: AE = = u.c (08) VERDADEIRO. Os pontos (,y) eqüidistantes dos pontos B e C pertence à mediatriz r do segmento BC. (-4)²+(y-)² = (+)²+(y-)² ² y² - y + = ² y² - 4y y = 5 y = 6. (6) FALSO. Pelo item anterior o ponto médio M do segmento BC pertencem à reta r :y = 5 6. () VERDADEIRO. O simétrico do ponto B = (4,) em relação à reta y = é o ponto B = (,4), logo (-,y+) = (,4) - = e y + = 4 = e y = +y = = 44 QUESTÃO 07. Sobre Lógica podemos afirmar que: (0) p q ~p ~q. (0) ~(p q) p ~q. (04) p q ~p q. (08) (p ~q) p q é uma contradição. (6) ~( R; = a ou b) R, a e = b. () A proposição Todo homem mau é infeliz equivale à proposição Se um homem é feliz então não é mau. 8

9 (0) (0) (04) (08) p q p q ~p ~q ~( p q) p ~q p q ~p q p ~q p q F F V V F F V V F F F V V F F F V V F V V F F V V V F F V V V V V V F F V V F V Analisando a tabela acima vemos que: (0) FALSO. (0) VERDADEIRO. (04) VERDADEIRO. (08) FALSO. Analisando as proposições (6) e (), concluímos que: (6) VERDADEIRO. () VERDADEIRO. QUESTÃO = 54 Considere a função f : [-,4] [-,] tal que f() = Pode-se afirmar que: -, se - < -, se 4 (0) f é injetora. (0 f é sobrejetora. (04) f não possui inversa. (08) f é crescente. (6) (f o f o f )() = -. () A equação f () = não tem solução. 9

10 ,5 -,5 4 - Observando o gráfico vemos que: (0) VERDADEIRO. (0) FALSO. (04) VERDADEIRO. Não é bijetora. (08) VERDADEIRO. (6) VERDADEIRO. f() = ; f() = e f() = -. () FALSO. f = 5 =,5 QUESTÃO 09. A razão entre o volume de álcool e o de gasolina em um recipiente é /. Se o volume de álcool aumenta 0% e o de gasolina aumenta 60%, o percentual de álcool na nova mistura passa a ser de %. Qual o valor de? Como a razão entre o volume de álcool e o de gasolina contidos no recipiente é / considerando como a o volume do álcool, o volume de gasolina contido no mesmo recipiente é a. Se a quantidade de álcool for aumentada em 0%, o novo volume de álcool será de,a. 0

11 RESPOSTA: 0%. Se a quantidade de gasolina for aumentada em 60%, o novo volume de gasolina será de,6 a = 4,8a. O recipiente estará então com uma nova mistura, cujo volume total é de,a + 4,8a = 6a.,a Então a razão de álcool na nova mistura será de: = = = 0% 6a 60 5 QUESTÃO 0. Contraí uma dívida de R$ 8.000,00 a ser paga em três prestações mensais e sucessivas, sendo de 0% ao mês a taa de juros acertada para os dois primeiros meses. Ao fim do primeiro mês reduzi a dívida pagando R$.800,00. Ao fim do segundo mês paguei R$.500,00. No terceiro mês, ao pagar R$.0,00 nada fiquei devendo. Sendo de % ao mês a taa de juros no terceiro mês, qual o valor de? Dívida 8000, 8000=8800, 5000= Mês 0 Pagamento Dívida restante Analisando a tabela acima concluímos que: Ao fim do primeiro mês a dívida era de R$8.800,00. Após o pagamento de R$.800,00 ela foi reduzida a R$5.000,00. No final do segundo mês a dívida era de R$ 5.500,00.Após o pagamento de R$.500,00 ela se reduziu a R$.000,00, No final do terceiro mês a dívida era de R$.000,00. Após o pagamento de R$.0,00 ela se reduziu a 0. Logo: 000 = 0 = 0 =, RESPOSTA: A taa do terceiro mês foi de 6%.