C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O. matemática. Calculando áreas de figuras geométricas planas

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1 C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O 05 matemática Calculando áreas de figuras geométricas planas Elizabete Alves de Freitas

2 Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfico Secretaria de Educação a Distância SEDIS EQUIPE SEDIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN Coordenadora da Produção dos Materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Coordenadora de Revisão Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfico Ivana Lima Diagramação Ivana Lima José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de Brito Vitor Gomes Pimentel Arte e ilustração Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Revisão Tipográfica Adriana Rodrigues Gomes Design Instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias Revisão de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho Revisão Técnica Rosilene Alves de Paiva

3 Você verá por aqui como realizar o cálculo de áreas de quadriláteros, de áreas de triângulos e de áreas de círculos, ou seja, como calcular a área de figuras geométricas que estão ao nosso redor, em objetos que estão em contato contínuo conosco. Dentro do estudo de área dos quadriláteros, você verá como calcular a área das seguintes figuras geométricas: quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos. No estudo de áreas dos triângulos, você verá como determinar esse cálculo de diversas maneiras: (I) com as medidas da base e altura do triângulo; (II) com as medidas dos catetos de um triângulo retângulo; (III) com as medidas dos lados de um triângulo equilátero e (IV) com as medidas dos lados de um triângulo qualquer. No estudo de área do círculo, você verá uma demonstração da fórmula da área dessa figura e como calcular a área dessa figura a partir da medida do seu raio. Conhecer medidas necessárias para realização de cálculos geométricos. Objetivo Calcular área de figuras geométricas planas, quando necessário ou solicitado.

4 Para começo de conversa... Deserto pode afetar 16% da área do país A terra vermelha e quase sem cobertura vegetal de Gilbués, no sul do Piauí, parece se desmanchar ao abrir crateras e ondulações que avançam a cada dia sobre a cidade. É o efeito mais visível de um processo de desertificação, que consome a área e amplia a miséria da população mais carente. [...] Esse é um problema que preocupa o mundo inteiro e que, no Brasil, pode afetar km (16% do total) e 31,6 milhões de pessoas, o que representa 18% da população no país, caso nada seja feito. Folha de São Paulo, 1 dez Fonte: < Acesso em: jul Em decorrência de uma gestão descontrolada dos recursos naturais, áreas cada vez maiores são envolvidas em desastres ecológicos. Até em temas de atualidade como os problemas ambientais vemos a Matemática envolvida. Nesse caso, falamos de áreas cada vez maiores que estão sendo desertificadas. Mas como podemos calcular uma área? Se a área de quilômetros quadrados fosse correspondente à área de um triângulo equilátero qual seria a medida dos lados desse triângulo? E se essa área fosse de um quadrado, qual seria a medida de seus lados? Vamos aos estudos e, certamente, você poderá responder a essas perguntas ao final desta aula.

5 Estudando áreas O que é medir a área de uma superfície? Medir a área da superfície de uma figura plana é comparar a área da superfície dessa figura plana com a área da superfície de uma figura tomada como medida padrão. Calcular a área da superfície de uma figura plana é descobrir o quanto ela ocupa no plano, contando quantas unidades padrão de área cabem na figura. Unidade padrão de área 1 1 Figura 1 Comumente, um quadrado com lados de medida igual a 1 (veja a Figura 1) é utilizado como unidade de área padrão. A área de um quadrado é obtida pela expressão A = a ; a é a medida de seus lados. Essa medida a pode corresponder a 1 metro, 1 centímetro, 1 quilômetro, 1 hectômetro... ou mesmo corresponder a qualquer medida de comprimento que se tome como padrão. A área do quadrado unitário, ou seja, do quadrado com lados de medidas unitárias (1 unidade de comprimento) é, então, igual a A = a = (1) = 1 unidade de área (1 u.a.), como você pode observar na Figura.

6 Área de quadrados 1 a =1 1 Figura Área o quadrado unitário Calcular a área de um quadrado é obter o produto da medida da base por si mesma, ou seja, é obter o quadrado da medida de um de seus lados. Assim: A = a. Exemplo 1 Para determinar a área do quadrado cujos lados medem 0 cm, podemos calcular o quadrado de 0 cm. Assim: A = (0 cm) = 400 cm. Caso seja necessário representar essa medida em metros quadrados, podemos fazer a conversão de medidas de superfície que aprendemos na aula anterior, obtendo 0,4 m. Se tiver alguma dúvida de como fazer essa conversão, releia a seção conversão de medidas de superfície, na aula 4.

7 Praticando.... Calcule a área do quadrado cujo lado mede 1,5 cm.. Calcule a área do quadrado cujo perímetro é 1 dm.. Calcule a medida dos lados de um quadrado cuja área é igual a 1,769m.. Calcule a área do quadrado cujas diagonais medem 1 cm. Responda aqui área de outros quadriláteros Quadrilátero é toda figura geométrica plana que possui quatro lados. Em um quadrilátero, dois lados não-consecutivos ou dois ângulos não-consecutivos são chamados de opostos. Um quadrilátero ABCD, como o da Figura 3, apresenta: o lado AB oposto ao lado CD e o lado BC oposto ao lado AD; o ângulo A oposto ao ângulo C e o ângulo B oposto ao ângulo D. Matemática a05 5

8 C D A B Figura 3 Quadrilátero ABCD Em um quadrilátero ABCD, como o da Figura 4, temos os seguintes elementos comuns: Vértices: nome dado aos pontos A, B, C, e D (pontos de interseção entre os lados). Lados: os segmentos de reta AB, BC, CD e DA. Diagonais: são duas. Os segmentos de retas AC e BD. Ângulos internos: são quatro. Os ângulos Â, B^, C^ e D^. D Vértices C Diagonais A Vértices B Figura 4 Quadrilátero ABCD Além dos quadrados, que estudamos no item anterior, dentro do grupo dos quadriláteros, vamos estudar como calcular a área dos retângulos, dos paralelogramos e dos trapézios.

9 Área de Retângulos b 1 u.a a Figura 5 Retângulo de área a b O retângulo ABCD, apresentado na Figura 5, tem altura medindo a unidades e comprimento medindo b unidades. Os segmentos horizontais e os segmentos verticais que passam pelo interior do retângulo dividem o retângulo em a b quadrados, tendo 1 unidade de área, cada um. 3 u 6 u Figura 6 Retângulo

10 Exemplo Na Figura 6, vemos um retângulo ABCD, que mede 6 unidades de comprimento e 3 unidades de altura. Os segmentos horizontais que passam no meio do retângulo e os segmentos verticais dividem o retângulo em dezoito quadrados, tendo 1 unidade de área, cada um. A área do retângulo ABCD é a soma das áreas desses dezoito quadrados. O número de unidades de área do retângulo é o mesmo com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base pelo número de unidades da altura. A área do retângulo pode ser representada pela expressão: A = b h. Exemplo 3 Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 5 unidades de comprimento (5 u.c.) e o comprimento da altura é 7 unidades de comprimento (7 u.c.). Considerando que a área do retângulo é dada pela expressão A = b h, temos: A = b h = (5 u.c.) (7 u.c.) = 35 u.a. Em situações do dia a dia, no cálculo de áreas em situações práticas, usamos medidas de comprimento em unidades conhecidas como: metro, decímetro, centímetro, etc.

11 Exemplo 4 Para calcular a área de um retângulo com 3 m de altura e 10 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área. Para representar a área em metros quadrados, devemos apresentar as medidas em metros, assim h = 3 m e b = 10 cm = 0,10 m, a área obtida será: A = b h A = (3 m) (0,10 m) A = 0,30 m. Para representar a área em centímetros quadrados, devemos apresentar as medidas em centímetros Como h = 3 m = 300 cm e b = 10 cm, a área do retângulo será dada por: A = b h = (300 cm) (10 cm) A = cm. Praticando Calcule a área do retângulo cujas dimensões medem, respectivamente, 1,5 dm e 1, dm.. Calcule a área do retângulo cujo perímetro é 1 dm e cuja altura está para seu comprimento, assim como 1 está para A área de um retângulo é igual a 13,5 m. Calcule a medida de sua altura sabendo que essa medida está para o comprimento dessa mesma figura assim como está para 3.

12 Área de Paralelogramos Paralelogramo é o quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos. No quadrilátero da Figura 7, temos D C AB // CD e AD // BC. Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base (cuja medida será chamada de b). Nesse caso, tomamos como base o segmento AB. A altura do paralelogramo corresponde à medida h do segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde este segmento de reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. Nesse caso, o segmento de reta perpendicular à base é o segmento DE. A E B Figura 7 Paralelogramo D h C Para compreender como calcular a área do paralelogramo, imagine o recorte da figura em duas partes, obtendo um triângulo retângulo e um quadrilátero, como na Figura 8.a. A E Figura 8. a B Transfira o triângulo retângulo (Figura 8.b) para o outro extremo da figura. A figura resultante, como você pode ver na Figura 8.b, é um novo quadrilátero: o retângulo de vértices E, E, D e D. A D E b B E C h A figura obtida é um retângulo cuja base mede b unidades de comprimento e cuja altura mede h unidades de comprimento. Lembre-se que h coincide com a medida da altura do paralelogramo. Portanto, a área do paralelogramo ABCD pode ser obtida da mesma expressão de área do retângulo E EDD que é igual a A = b h. D Figura 8. b b C=D h A E A=B E Figura 8. c 10

13 Nos paralelogramos podemos observar as seguintes propriedades: os lados opostos são congruentes; cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais interceptam-se em seu ponto médio. Exemplo 5 Determine a área do terreno em forma de paralelogramo, representado na Figura 9. D b = 30m C h = 1m A E B Figura 9 Nesse caso, a medida b da base do paralelogramo pode ser a medida da frente do terreno e h a medida de sua profundidade. Substituindo os valores das medidas de base e da altura do paralelogramo na expressão da área do paralelogramo ABCD, temos: A = b h A = 30 m 1 m A = 360 m. A área do terreno é igual a 360 m. 11

14 exemplo Determine a altura do paralelogramo que tem 30 mm de base, para que ele tenha área igual a 3,9 cm. A área do paralelogramo é dada pela expressão A = b h. Observe que: b = 30 mm = 3 cm e que A = 3,9 cm. A = b h 3,9 cm = 3 cm h 3 cm h = 3,9 cm h = 3, 9 cm 3 cm h = 1, 3 cm Praticando.... Determine a área do paralelogramo, cuja altura é igual a 48 mm e cujas bases medem 1 cm.. Calcule a área do paralelogramo cujas bases medem 0 cm e cuja altura tem o mesmo comprimento igual ao da diagonal de um quadrado cujos lados medem 8 cm. Responda aqui Matemática a05

15 Área de Losangos D O losango é uma figura geométrica que apresenta as seguintes características: possui duas diagonais que podem ter medidas diferentes, na Figura 10, representadas por d 1 (diagonal menor segmento AC ) e por d (diagonal maior segmento BD ); A d 1 d C suas diagonais se cruzam formando ângulos de 90º no centro do losango e dividindo-o em 4 triângulos retângulos. B Figura 10 Losango A área do losango é o semiproduto da soma das medidas das diagonais, ou seja, A = (d 1 d ). Veja, na demonstração a seguir, como essa fórmula foi encontrada. Demonstração: Tome dois losangos, como os da Figura 11.a, dividindo um desses losangos sobre as diagonais, ou seja, em 4 partes iguais, que são triângulos retângulos (Figura 11.b). Encaixe as quatro partes do primeiro losango no segundo losango (o inteiro) para formar uma figura já conhecida. Uma das figuras conhecidas que pode ser formada é um retângulo de altura, que tem a mesma medida da diagonal maior e cuja base tem a mesma medida da diagonal menor (Figura 11.c). Ou seja, a área do retângulo é dada por: A = b h A = d 1 d. Como essa expressão é referente à área de dois losangos, podemos afirmar que: A = d 1 d A = (d 1 d ). Figura 11 13

16 Exemplo 7 Qual é a área do canteiro em forma de losango cujas diagonais medem,5 m e 1,8 m? Para calcular a fórmula do losango, temos a expressão A = (d 1 d ). Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos: A = (d 1 d ) A = (, 5 m) (1, 8 m) A = 4, 5 m A =, 5 m Praticando Calcule a área do losango cujas diagonais medem,0 m e 1,8 m.. A medida da diagonal maior de um losango é igual a 18 cm e a diagonal menor mede dois terços dessa medida. Determine a área desse losango. D h b 1 C Área de Trapézios Trapézio é qualquer quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos e que chamamos de bases. A E B O menor desses lados paralelos é chamado de base menor, de medida b 1. b O maior desses lados paralelos é a base maior, de medida b. Figura 1 Trapézio 14

17 A menor distância entre as bases é a altura do trapézio, que representaremos pela medida h. Na Figura 1, destacamos a altura como segmento DE. Existem vários tipos de trapézios, vejamos quais são e as características que os diferenciam. Tipos de trapézios D C A B Figura 13 Trapézio Retângulo Trapézio retângulo: é aquele que apresenta dois ângulos retos. Observe, na Figura 13, que (I) os lados AD e BC são paralelos, (II) os ângulos A e D são ângulos retos e (III) a medida do segmento AB é altura do trapézio. Trapézio isóscele (ou isósceles): é aquele em que os lados não-paralelos são congruentes (de mesma medida). Observe que no trapézio da Figura 14: D C A B Figura 14 Trapézio Isóscele 15

18 os lados AB e CD são congruentes (m(ab) = m(cd)); as diagonais AC e BD são congruentes (m(ac) = m(bd)); há dois pares de ângulos internos congruentes: os ângulos  e B^ e os ângulos C^ e D^. Trapézio escaleno: É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes. Na Figura 15, vemos um trapézio escaleno, pois os lados não-paralelos não têm a mesma medida (AD e BC não são congruentes). D C A B Figura 15 Trapézio Escaleno Cálculo de área do trapézio A área do trapézio é a média aritmética das medidas das bases multiplicada pela medida da altura, isto é, A = (b 1 + b ) h, ou seja A = (b 1 + b ) h. Para entender como foi obtida essa fórmula, podemos construir dois trapézios idênticos e encaixando-o lado a lado, para encontrar um paralelogramo cujas bases tem medida b 1 + b e altura de medida h. A área da figura obtida pela união dos dois trapézios é igual a (b 1 + b ) h, que é o dobro da área de cada trapézio (veja Figura 16). b 1 b h E b b 1 Figura 16 Área de dois trapézios idênticos 16

19 Assim, temos que dividir por para obter a área do trapézio e obter: A = (b 1 + b ) h. Exemplo 8 Determine a área do trapézio cuja altura h é igual a 80 cm e cujas bases medem 1,5 m e 1, m. Os dados do enunciado são: h = 80 cm = 0,80 m; b 1 = 1, m; e b = 1,5 m Substituindo-os na expressão da área do trapézio, temos: A = (b 1 + b ) h A = (1, m + 1, 5 m) 0, 80 m A =, 7 m 0, 80 m A = 1, 08 m. A área do trapézio é de 1,08 m. Exemplo 9 Determine a área do trapézio isóscele apresentado na Figura 17.a, cujas medidas são as seguintes: m(ad) = m(bc) = 5 cm, m(ab) = 13 cm e m(cd) = 7 cm. D C A B Figura 17a 17

20 Antes de calcular a área desse trapézio, temos que calcular a altura da figura. Para isso, vamos traçar segmentos perpendiculares às duas bases (Figura 17.b) e com isso, dividir o trapézio em dois triângulos retângulos idênticos e um retângulo. D 7 cm C 5 cm h h 5 cm A 13 cm B Figura 17b Cada um dos triângulos retângulos idênticos, da Figura 17.c, tem dois lados com medidas conhecidas: a hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. O cateto coincide com a altura do trapézio, cuja medida é h, e é o que precisamos determinar. D 7 cm C 5 cm h h 5 cm A 3 cm 3 cm 13 cm B Figura 17c Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que: (medida do cateto 1 ) + (medida do cateto ) = (medida da hipotenusa) h + (3cm) = (5cm) h + 9cm = 5cm h = (5-9)cm h = 16cm h = 4cm 18

21 Agora que sabemos a altura do trapézio podemos calcular sua área, utilizando a fórmula: A = (b 1 + b ) h A = (7 cm + 13 cm) 4 cm = 0 cm 4 cm A = 40 cm. A área do trapézio isóscele é igual a 40 cm. Praticando Calcule a área do trapézio que apresentam bases que medem 15 m, 0 m e altura que mede 1,8 dam.. Calcule a área do trapézio cuja medida da base menor é igual a 1 cm, a medida da base maior é o dobro da medida da base menor, e a medida da altura é 15 cm. Área de outras figuras geométricas Seria impossível, aqui, estudarmos o cálculo de área de todas as figuras planas existentes, por isso estudaremos somente as mais comuns. Além das áreas dos quadriláteros, que vimos no início desta aula, vamos também estudar sobre as áreas dos triângulos e dos círculos. Área de triângulos Triângulo é a figura geométrica que apresenta três lados e três ângulos internos, como o apresentado na Figura

22 C h A E B Figura 18 Triângulo ABC Área de um triângulo conhecendo-se as medidas da base e da altura A área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de sua altura, isto é, A = b h. Exemplo 10 Calcule a área do triângulo cujas medidas de base e altura são, respectivamente, iguais a 0 cm e 18 cm. Para calcular a área desse triângulo temos que substituir os valores de b e h na fórmula A = b h. Assim: A = 0 cm 18 cm A = 360 cm A = 180 cm. A área do triângulo é igual a 180 cm. Área do triângulo equilátero Para calcular a área de um triângulo equilátero basta conhecer a medida de seus lados. Observe o exemplo a seguir: 0

23 Exemplo 11 Determine a área do triângulo equilátero cujo lado está sendo representado por a. Triângulo Equilátero Triângulo que apresenta três lados congruentes. Para calcular a área do triângulo equilátero pela fórmula A = b h, é preciso calcular, primeiramente, o valor de h. Veja, na Figura 19, que a altura do triângulo equilátero dividiu-o em dois triângulos idênticos. Como esses triângulos são retângulos, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular a medida de h. C a h a A a/ a/ B Figura 19 Triângulo Lembre-se de que se a = 5 m a = 5 m =, 5 m. a Vejamos: h + = (a) h + a h = 4a 4 a 4 h = 3a 3a 4 h = 4 = a h = a a 4 4 h = a 3 m. Agora podemos calcular a área do triângulo equilátero: a a 3 a 3 A = A = = a 3 1 A = a 3, 4 em que a é a medida do lado do triângulo equilátero. 1

24 Exemplo 1 Calcule a área do triângulo equilátero que tem perímetro igual a 1 cm. Para calcular a área do triângulo, devemos lembrar que o perímetro de um triângulo equilátero é dado pela expressão 3a. Como 3a = 1 cm a = 1 cm 3 a = 4 cm. Assim a área do triângulo equilátero é: A = a 3 A = (4 cm) 3 A = 16 cm A = 4 3 cm Como o valor de 3 é aproximadamente 1,73, a área do triângulo mede, aproximadamente, 4 (1,73) cm, ou seja, cerca de 6,9 cm. Área de um triângulo retângulo Para calcular a área de um triângulo retângulo, basta conhecer as medidas de seus catetos. Exemplo 13 Calcule a área do triângulo retângulo cujos lados menores medem 1,5 m e,0 m. C Altura A Base B Figura 0 Triângulo Retângulo

25 Em um triângulo retângulo, os lados menores são chamados de catetos. Quando consideramos um dos catetos como a base do triângulo, como na Figura 0, o outro cateto passa a coincidir com a altura da figura. Para calcular a fórmula do triângulo retângulo, temos a fórmula A = b h e, nesse caso, o produto b h é o produto dos catetos. Assim: A = b h A = (1, 5 m) (, 0 m) = 3, 0 m A = 1, 5 m. Cálculo da área de um triângulo pela fórmula de Heron Considere o perímetro de um triângulo de lados a, b e c, ou seja, p = a + b + c. O valor do semiperímetro dessa figura é p = a + b + c. A área do triângulo citado pode ser expressa pela fórmula A = p (p a) (p b) (p c), que é chamada fórmula de Heron. Exemplo 14 Para obter a área de uma região triangular cujos lados medem 1 cm, 8 cm e 45 cm, basta substituir a por 1 cm, b por 8 cm,c por 45 cm, para obter: p = ( ) cm p = 94 cm p = 47 cm. Assim: A = p (p a) (p b) (p c) A = 47 (47 1) (47 8) (47 45) A = 47 (6) (19) () A = A = 15, A 15,5 cm A área do triângulo é de, aproximadamente, 15,5 cm. 3

26 Praticando Calcule a área de um triângulo cuja base mede 8 cm e cuja altura é de 16 cm.. Em um triângulo retângulo, os lados menores medem 6 cm e 8 cm. Calcule a área do triângulo. 3. Em um triângulo equilátero, cada lado mede 5 cm. Calcule a área desse triângulo. 4. As medidas dos lados de um triângulo são 3 mm, 54 mm e 48 mm. Calcule a área da figura. 5. Calcule a área do triângulo escaleno cujos lados apresentam as seguintes medidas: 8 dm, 30 dm e 4 dm. Área do círculo Um círculo é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Também chamamos círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (a que chamamos raio). A área A de um círculo pode ser expressa matematicamente por A = π r, onde r é o raio da circunferência e π (Pi) uma constante, cujo valor conhecemos na aula 4. Demonstração: Considere dois círculos de raios iguais a r, divididos em fatias extremamente finas que se assemelhem a triângulos. Fonte: < Acesso em: 13 out

27 Abra-os para que possam ser encaixados um no outro. Fonte: < Acesso em: 13 out Dessa forma, você obterá um paralelogramo cujas bases têm medida igual a π r e cuja altura tem medida igual a r. C = π r r Fonte: < Acesso em: 13 out O paralelogramo obtido tem área igual a A = b h = ( π r) r = π r Lembre-se de que essa medida é obtida a partir da área de dois círculos, então para encontrar a área de um círculo de raio igual a r, temos: A C = ( π r ) A C = π r, onde π = 3, π 3,14 Recordando: Na aula 4, você viu que π (Pi) é o valor constante resultante do quociente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. C D = π = 3, 14 D = r 5

28 exemplo 5 Determine a área de um círculo cujo raio mede 15 cm. Para calcular a área do círculo, vamos substituir essa medida (r = 15 cm) e substituir π por 3,14 na fórmula A C = π r. Logo, obteremos: A C = π r A C = (3,14) (15 cm), A C = (3,14) 5 cm A C = 706 cm. Praticando.... Calcule a área do círculo cujo raio mede 10 cm.. Calcule a área do círculo cujo diâmetro mede 10 cm. Responda aqui Matemática a05

29 . Sabendo que a área de um quadrado é 49 cm, podemos afi rmar que seu perímetro é igual a a) 14 cm. b) 1 cm. c) 8 cm. d) 35 cm.. As medidas de área e do perímetro do retângulo com altura de 5 dam e base de 1 dam, são, respectivamente, a) m e 7,4 m. b) m e 74 m. c) m e 740 m. d) m e m.. A área de 0 mm é equivalente à área de um paralelogramo de altura e bases, respectivamente, iguais a exercícios a), dm e 10 mm. b) 1,1 cm e 0 mm. c) 1,1 dm e 1,0 cm. d), cm e 1,0 mm.. Um terreno em forma de trapézio tem a base menor igual a 8 m, a base maior igual a 3 m e a altura igual a 30. A área desse terreno é a) 900 m. b) 70 m. c) 630 m. d) 540 m. 5. Considere um triângulo equilátero de lado 8 cm. A área desse triângulo mede, aproximadamente, a) 7,7 cm. b),7 cm. c) 0,7 cm. d) 0, cm.. A expressão mais adequada para calcular a área de um triângulo escaleno, cujas medidas dos lados são conhecidas, é a) A = (b + h) - (a c) b) A = (a + b + c) h c) A = (a + b + c) h d) A = p (p a) (p b) (p c). Um triângulo tem lados que medem 1 cm, 10 cm e 8 cm. A área desse triângulo é de, aproximadamente, a) 39,7 cm. b) 11,8 cm. c) 83,7 cm. d) 487,4 cm.. Para confeccionar um tipo de almofada, é necessário um pedaço de tecido em forma de triângulo retângulo cujos catetos medem m e 1,8 m. A área do tecido utilizado para confeccionar a almofada é igual a a) 1,8 m. b),0 m. c),4 m. d) 3,6 m.. A área de um círculo com raio de 5 cm mede, aproximadamente, a) 58,7 cm. b) 75,8 cm. c) 78,5 cm. d) 87,5 cm. Matemática a05

30 Resposta Matemática a05

31 Nesta aula, você viu como calcular a área de quadriláteros (quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos), de triângulos (conhecendo-se as medidas da base e da altura dessa figura; conhecendo-se a medida do lado de um triângulo equilátero; conhecendo-se os catetos de um triângulo retângulo; ou conhecendose as medidas dos lados de um triângulo qualquer) e de círculos (utilizando a medida do raio da figura). Auto-avaliação 1. Quais as características de um quadrado unitário?. O que significa calcular a área de uma superfície? 3. Como calculamos a área de um quadrado qualquer? 4. Quais são as medidas necessárias para calcular a área de um retângulo? 5. Qual é a expressão algébrica que representa a área de um paralelogramo que tem base com medida igual a m cm e altura igual a y cm? 6. Considere as seguintes medidas de um trapézio: altura igual a b, base maior medindo 3c e base menor medindo c. Qual a expressa algébrica que representa a área desse trapézio? 7. As medidas dos lados de um triângulo são m, n e s. Qual á a expressão algébrica do semiperímetro dessa figura? 8. Considere o triângulo da questão 7 e a = cm, b = 3m e c = 4 cm. Calcule a área do triângulo utilizando essas medidas. 9. Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 16 cm e 1 cm, calcule a medida da área. 10. Em um triângulo, a base mede m e a altura, 180 cm. Calcule a medida da área dessa figura em decímetros quadrados. 11. Um triângulo equilátero tem lados medindo 16 cm. Determine a área dessa figura. 1. Se um círculo tem raio igual a m, determine a medida de sua área. 9

32 Para Consulta Área de figuras planas Área do quadrado unitário: A = a = (1) = 1 u. a Área do quadrado: A = a, na qual a é a medida do lado do quadrado. Área do retângulo: A = a h, na qual b é a medida da base e h, a medida da altura da figura. Área do paralelogramo: A = b h, na qual b é a medida da base e h, a medida da altura. Área do losango: A = (d 1 d ), na qual d 1 e d são as medidas das diagonais. Área do trapézio: A = (b 1 + b ) h, na qual b 1 e b são as medidas das bases e h, a medida da altura. Área do triângulo: (I) b h A =, em que b é a medida da base e h, a medida da altura; (II) a 3 A =, em que a é a medida do lado de um triângulo equilátero; 4 (III) b c A =, em que b e c são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo; (IV) A = p (p a) (p b) (p c), em que e a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo qualquer e p é a medida do semiperímetro da figura, ou seja, a + b + c p =. Área do círculo: A = π r, onde r é o raio da circunferência e π 3,14. 30

33 Referências IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática e realidade: 8ª série. 5. ed. São Paulo: Atual, 005. INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO. Círculo, perímetro, área e abordagem experimental de Pi (p ). Disponível em: < vnm-/documentos/tarefas_circulo_perimetro_area_pi.pdf>. Acesso em jul Anotações 31

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