Soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero

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1 Escola Básica de Santa Marinha Matemática 2009/ º Ano Síntese de conteúdos Quadriláteros Soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero Na figura seguinte encontra-se representado o quadrilátero ABC: Recorda: Um quadrilátero é um polígono com quatro lados. Se traçarmos uma diagonal, por exemplo AC, decompomos o quadrilátero em dois triângulos, o triângulo ABC e o triângulo ACD. Recorda: Uma diagonal de um polígono é um segmento de recta cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. Uma vez que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º e um quadrilátero pode sempre ser decomposto em dois triângulos então: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é igual 360º. 1

2 Quadriláteros - características Quadrilátero Ângulos Lados Diagonais Paralelogramo Ângulos opostos Ângulos consecutivos suplementares Paralelos e dois a dois Dividem-se ao meio (bissectam-se) Rectângulo Ângulos (90º) Paralelos e dois a dois Congruentes e dividemse ao meio (bissectamse) Quadrado Ângulos (90º) Paralelos e Iguais; perpendiculares e dividem-se ao meio Losango Ângulos opostos Paralelos e Perpendiculares dividem-se ao meio e Papagaio Um par de ângulos opostos Dois pares de lados Perpendiculares e só uma é dividida ao meio Trapézio isósceles Um par de ângulos consecutivos Um par de lados paralelos Um par de lados não paralelos iguais Congruentes Trapézio escaleno Todos os ângulos não Um par de lados paralelos Todos os lados não Um par de lados paralelos Trapézio rectângulo Um par de ângulos rectos consecutivos Um par de lados ou todos os lados não 2

3 Organização dos quadriláteros segundo as suas características No primeiro esquema, a separação no primeiro nível tem por base o número de lados paralelos. No segundo nível, o losango e o rectângulo diferenciam-se porque o losango tem os lados todos iguais, enquanto o rectângulo tem todos os ângulos rectos. No último nível surge o quadrado. O segundo esquema é organizado tendo em conta as características dos lados dos quadriláteros, paralelismo e comprimento. Começa-se por dividir o esquema em trapézio e papagaio. Segue-se ao papagaio, o paralelogramo, rectângulo e quadrado. 3

4 Propriedades dos paralelogramos A figura seguinte representa o paralelogramo ABCD. Propriedades do paralelogramo: (1) Lados opostos num paralelogramo têm o mesmo comprimento; Os lados opostos são segmentos de recta paralelos entre rectas paralelas, logo são iguais. (2) Ângulos opostos num paralelogramo têm a mesma amplitude; Os ângulos ACE e DBE têm a mesma amplitude porque são ângulos alternos Os ângulos ECD e EBA têm a mesma amplitude porque são ângulos alternos Logo < ACE + < ECD = < DBE + < EBA Os ângulos CAE e BDE têm a mesma amplitude porque são ângulos alternos Os ângulos BAE e CDE têm a mesma amplitude porque são ângulos alternos Logo < CAE + < BAE = < BDE + < CDE 4

5 (3) Ângulos consecutivos num paralelogramo são suplementares; < GAC = < ACD porque os ângulos são alternos O ângulo GAC é o suplementar do ângulo BAC logo, os ângulos GAC e ACD são suplementares. Aplicando o mesmo raciocínio aos restantes ângulos conclui-se que: a amplitude do ângulo suplementar de qualquer um dos ângulos do paralelogramo é igual à amplitude do ângulo consecutivo (ângulos internos alternos). Logo, a soma das amplitudes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 180 º. (4) As diagonais de um paralelogramo bissectam-se mutuamente; < CAE = < BDE porque são ângulos alternos < ACE = < DBE porque são alternos Os segmentos de recta AC e BD têm o mesmo comprimento (propriedade 2). Pelo critério ALA vemos que os triângulos ACE e DBE são. Logo, CE = BE e AE = DE e daqui concluímos que as diagonais bissectam-se, ou seja, dividem-se a meio (dividem-se em duas partes iguais). (5) As diagonais de um paralelogramo dividem-no em dois pares de triângulos. Na demonstração da propriedade anterior vimos que os triângulos ACE e DBE são < BAE = < CDE porque são ângulos alternos < ABE= < DCE porque são alternos Os segmentos de recta AB e CD têm o mesmo comprimento (propriedade 2). Pelo critério ALA vemos que os triângulos ABE e DCE são. 5

6 Quadriláteros e pontos médios A união dos pontos médios de lados consecutivos do quadrado origina um novo quadrado. Porquê? O paralelismo dos lados do novo quadrado resulta do de serem paralelos dois a dois com cada uma das diagonais do quadrado original. facto A perpendicularidade dos lados no novo quadrado resulta do facto das diagonais do quadrado original serem perpendiculares. A igualdade do comprimento dos lados resulta do facto de se unirem pontos médios de um quadrado. A união dos pontos médios de lados consecutivos do rectângulo origina um paralelogramo. Porquê? O paralelismo dos lados do paralelogramo resulta do facto destes serem paralelos dois a dois com cada uma das diagonais do rectângulo original. A união dos pontos médios de lados consecutivos do paralelogramo origina um novo paralelogramo. Porquê? O paralelismo dos lados do novo paralelogramo resulta do facto destes serem paralelos dois a dois com cada uma das diagonais do paralelogramo original. A união dos pontos médios de lados consecutivos do losango origina um rectângulo. Porquê? O paralelismo dos lados do rectângulo resulta do facto destes serem paralelos dois a dois com cada uma das diagonais do losango original. A perpendicularidade dos lados do rectângulo resulta do facto das diagonais do losango original também serem perpendiculares. A união dos pontos médios de lados consecutivos do papagaio origina um rectângulo. Porquê? O paralelismo dos lados do rectângulo resulta do facto destes serem paralelos dois a dois com cada uma das diagonais do papagaio original. 6

7 A perpendicularidade dos lados do rectângulo resulta do facto das diagonais do papagaio original também serem perpendiculares. A união dos pontos médios de lados consecutivos do que qualquer um trapézio origina um paralelogramo. Porquê? O paralelismo dos lados do paralelogramo resulta do facto de serem paralelos dois a dois com cada uma das diagonais do trapézio original. Área do paralelogramo Área do paralelogramo = b h b base h altura Exemplo: Área = b h = 22 cm 8 cm = = 176 cm 2 Maria José Carvalho Núcleo de Estágio 2009/2010 7