NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA

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1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados o polígono é nomeado: Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um vértice à reta que contém o lado oposto a esse vértice. Nº de lados Nome Polígonos Nº de lados Nome 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 undecágono 1 dodecágono Triângulo retângulo Em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras (hip) = (cat) + (cat). 13 tridecágono 14 tetradecágono Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas maneiras: quanto as medidas dos lados: equilátero - 3 lados de mesmo comprimento, isósceles - lados de mesmo comprimento, escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes; quanto às medidas dos ângulos: acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90 graus), retângulos - 1 ângulo reto (90 graus), obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90 graus). Ex.: Determinar o valor de x. 1

2 Razões trigonométricas cat. oposto sen α = hipotenusa Exercícios: 1) Encontre o perímetro em cada caso: a) b) c) Ex. X 3 cat. adjacente cos α = hipotenusa cat. oposto tg α = cat. adjacente PERÍMETRO DE POLÍGONOS E CIRCULO Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. O perímetro no círculo é chamado de comprimento da circunferência. A razão entre o comprimento e o diâmetro é a mesma para quaisquer circunferências e é representada pela letra grega (pi). C Assim: 3, D O número 3, corresponde em matemática à letra grega (pi), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considerar = 3,14. C C D. C r C r D Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. ) A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado. Calcule quantos metros de corda deverá ser gasto para cercar a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado, deseja-se dar 4 voltas com a corda. 3) O perímetro de um triângulo equilátero corresponde a 5/6 do perímetro de um quadrado que tem 9 cm de lado. Qual é a medida, em metros, do lado desse triângulo equilátero? 4) Numa sala quadrada, foram gastos 4,80 m de rodapé de madeira. Essa sala tem apenas uma porta de 1,0 m de largura. Considerando que não foi colocado rodapé na largura da porta, calcule a medida de cada lado dessa sala. 5) O raio de uma circunferência mede 4 cm. Quanto mede o seu comprimento? 6) O comprimento de uma circunferência mede 18,84 cm. Quanto mede o raio? 7) Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas? 8) Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros. 9) Calcule o perímetro de um triângulo isósceles com 4cm de altura e 36cm de base. 10) Uma roda tem 40 cm de raio. Quantas voltas completas dará esta roda após percorrer 7.536m de percurso? 11) Vou murar um quintal retangular de 1,50 m por 6,70 m. Quanto gastarei se o metro de muro custa R$ 15,00? 1) Uma bordadeira fez crochê em volta de uma toalha retangular de,10 m por 1,50, cobrando R$ 9,50 pelo metro. Quanto cobrou ao todo? 13) Qual o perímetro de um terreno retangular de 0 m de comprimento, se a largura é a quarta parte de dessa medida? 3 4

3 14) Uma piscina tem a forma indicada na figura. Calcule a medida do contorno da piscina. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS Retângulo Quadrado Paralelogramo 14) Fábio precisa comprar arame para cercar um terreno no formato a seguir, retângulo em B e C. Considerando que ele dará duas voltas com o arame no terreno e que não terá perdas, quantos metros ele irá gastar? A= b.h A = l A= b.h 15) A figura mostra o trajeto percorrido por um ciclista para ir do ponto A ao ponto D. Sabendo que AB = BC = CD = 9km, determine quantos quilômetros esse ciclista percorreu ao realizar o trajeto. Triângulo Trapézio Losango A= b.h B b A.h D.d A 16) A medida do raio de uma circunferência correspondente a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 9 cm e 1cm. Determine o comprimento da circunferência. 17) Para construir um condomínio de casas, uma construtora comprou um terreno plano, com a forma de um trapézio retângulo e com frentes para quatro avenidas, conforme mostrado no esquema. Considerando que a unidade das medidas indicadas é o metro, calcule o comprimento da frente do terreno localizada na Avenida Pardal. Triângulo Equilátero Hexágono Círculo l A l A 4 3 A π r 5 6

4 Exercícios: 1) calcule a área de cada figura: a) b) c) 1) Um telhado de quatro águas é formado por dois triângulos iguais e dois trapézios iguais. Para cobrir 1 m de telhado gastam-se 0 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado da casa? d) e) f) g) h) 13) Uma lajota retangular tem 30 cm por 0 cm. Qual é a área da lajota? Quantas lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de dimensões 1 m por 8 m? 14) É necessário um certo número de pisos de 5 cm x 5 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 0 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha? 15) Calcule a área aproximada da parte colorida das figuras. (Use π= 3,14.) ) A diagonal de um retângulo mede 0 cm Se sua base é o triplo da altura, calcule sua área. 3) A área de um quadrado é 18 cm.calcule a medida da diagonal desse quadrado. 4) O perímetro de um losango é igual a 4 3 cm. Sabendo que sua diagonal menor mede 4 cm, calcule sua área. 5) As bases de um trapézio isósceles medem 10 cm e 6 cm. Se a medida do lado oblíquo mede 4 cm, calcule sua área. 6) Calcule a área do triângulo equilátero cuja altura mede 3 3 cm. 7) Calcule a medida do lado de um triângulo equilátero de área igual a 54 3 cm. 8) Um trapézio ABCD, a base maior AB mede 0 cm e a base menor CD mede 16 cm. A área deste trapézio é de 16 cm. Com estas informações, calcule a altura. 9) (PUC-RIO 008) Um festival foi realizado num campo de 40 m por 45 m. Sabendo que por cada m² havia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival? 10) Um terreno retangular tem 7m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule sua área. 11) Em um trapézio, a base maior mede 4 cm e sua altura, 16,5 cm. Qual será sua área, se a base menor for 3/4 da base maior? a) b) c) 16) (UFRN) Para se pintar uma parede com o formato e as dimensões de acordo com a figura abaixo, gasta-se 1litro de tinta para cada 9 m de área. Sabendo-se que cada lata contém litros de tinta, a menor quantidade de latas que deve ser comprada para se pintar toda a parede é: 17) (Mack-SP) Um jardineiro, trabalhando sempre no mesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteiro circular de 3 m de raio. Se o raio fosse igual a 6 m, quanto tempo ele 7 demoraria? 8

5 18) (PUC- MG) Em uma casa de massas, o preço da pizza é proporcional à sua área. Se uma pizza cujo seu diâmetro é 10 cm é vendida a R$3,00, então, qual o preço de uma pizza de 30 cm de diâmetro? 19) Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os dados indicados na figura Ao lado. Nessas condições, qual é a área do terreno? 0) Uma pessoa tinha uma mesa de granito cuja superfície era um quadrado de 1,0 m de lado. Ela contratou os serviços de uma marmoraria para alterar a forma do tampo da mesa, transformando-o num octógono, conforme a figura. Sabendo que as superfícies das partes retalhadas da pedra original são todas equivalentes, determine: a) o perímetro da mesa octavada; b) a área da superfície octavada. POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA Polígonos regulares são polígonos em que todos os lados e os ângulos internos são congruentes. ELEMENTOS DE UM POLIGONO REGULAR INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA O: centro da circunferência (e do polígono) r : raio da circunferência l : lado do polígono ap : apótema ( distância entre o centro e o ponto médio do lado do polígono) RELAÇÕES MÉTRICAS DE POLÍGONOS INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas QUADRADO INSCRITO 1) Na campanha eleitoral para as recentes eleições realizadas, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 100 m de raio. Supondo que, em média, havia 5 pessoas por m², qual o número de pessoas presentes a esse comício? (use = 3,14) ) Qual a área da figura representada abaixo? HEXÁGONO INSCRITO 9 10

6 TRIÂNGULO INSCRITO 11) Achar o lado do hexágono regular, inscrito num círculo, onde a diagonal do quadrado circunscrito mede 8cm. 1) Em um círculo está inscrito, um quadrado e um hexágono regular. Se o apótema do hexágono mede 1cm, quanto mede o lado do quadrado? 13) Calcule o apótema de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência de raio 8 cm. 14) O apótema de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 3 cm. Quanto mede o seu lado? EXERCÍCIOS: 1) Calcule o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 7 cm. ) O lado de um quadrado inscrito numa circunferência mede 10 cm. Calcule o raio da circunferência. 3) Um quadrado tem o apótema medindo 5cm. Calcule o perímetro desse quadrado inscrito na circunferência. 4) A diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 5cm. Calcule o lado do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência. 5) O lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 10 cm. Calcule a medida do lado do triângulo eqüilátero inscrito na mesma circunferência. 6) Em um círculo, estão inscritos um quadrado e um triângulo equilátero. Se o lado do triângulo mede 1cm, quanto mede o lado do quadrado? 7) Determine o perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência de 5cm de raio. 8) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 15cm. Quanto mede o seu lado? 9) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 7 3 cm. Determine o perímetro do hexágono. 10) O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 6cm. Quanto mede o seu apótema? 11 1

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