DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices)

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1 DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Polígonos Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) A 1, A 2,..., A n e pelos segmentos (lados) A 1 A 2, A 2 A 3, A 3 A 4,..., A n 1 A n. Definição 2. satisfeitas: É a reunião de uma poligonal e seu interior tal que as condições a seguir são i) A n = A 1 ; ii) os lados da poligonal se interceptam somente em suas extremidades; iii) cada vértice é extremidade de dois lados; iv) dois lados com mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta. Definição 3. Um polígono no qual a intersecção de quaisquer dois lados não consecutivos é vazia é dito convexo se, e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais (n 2) vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina. (DOLCE, 1993, p. 134) De outra forma, um polígono é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180. Definição 4. Um polígono convexo é regular quando tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Proposição 5. A soma dos ângulos internos de um polígono é S i = (n 2) Nomenclatura dos polígonos Os polígonos tem seus nomes em função do número de lados. Os mais comuns são: Polígonos Lados Polígonos Lados Triângulo 3 Dodecágono 12 Quadrilátero 4 Tridecágono 13 Pentágono 5 Tetradecágono 14 Hexágono 6 Pentadecágono 15 Heptágono 7 Hexadecágono 16 Octógono 8 Heptadedecágono 17 Eneágono 9 Octadecágono 18 Decágono 10 Eneadecágono 19 Undecágono 11 Icoságono 20 1

2 2 Triângulos Definição 6. Dados três pontos A, B e C não colineares, chama-se triângulo a reunião dos segmentos AB, AC e BC. São considerados elementos de um triângulo: vértices, lados e ângulos. Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo ABC. Os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os lados do triângulo. Em cada triângulo vale a desigualdade triangular, isto é, cada lado é menor que a soma dos outros dois. Os ângulos BÂC ou Â, A BC ou B e AĈB ou Ĉ são os ângulos internos do triângulo ABC. Por convenção, diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, B e Ĉ são respectivamente, opostos. 2.1 Classificação dos triângulos Quanto a medida dos lados: equiláteros, são os triângulos que tem todos os lados congruentes; isósceles, são os triângulos que tem dois, e somente dois, lados congruentes; escalenos, são os triângulos que não tem lados congruentes Quanto a medida dos ângulos: retângulos, são os triângulos que tem um ângulo reto (90 ); acutângulos, são os triângulos que tem os três ângulos agudos (< 90 ); obtusângulos, são os triângulos tem um ângulo obtuso (> 90 ). Teorema 7. Em um triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180. Teorema 8. Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo qualquer é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 2.2 Cevianas notáveis de um triângulo Definição 9. Ceviana é todo segmento que tem uma extremidade num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice. Uma das extremidades da ceviana é um vértice. Diremos, que a ceviana é relativa a esse vértice, ou relativa ao lado oposto a esse vértice. A outra extremidade da ceviana é denominada pé. Dentre as cevianas, há três que são muito importantes, por isso chamadas notáveis. Definição 10. Mediana é toda ceviana que tem uma extremidade no ponto médio de um lado. Convenções: Os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C serão denotados por M a, M b e M c, respectivamente, e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos serão denotados por m a, m b e m c. 2

3 Definição 11. Bissetriz interna de um triângulo é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes. Convenções: Os pés das bissetrizes internas relativas aos vértices A, B e C serão denotados por S a, S b e S c, respectivamente, e os comprimentos das mesmas serão denotados por s a, s b e s c. Definição 12. Altura de um triângulo relativa a um lado l é toda ceviana perpendicular a este lado ou à sua reta suporte. Em cada triângulo há três alturas distintas. Convenções: Os pés das alturas relativas aos vértices A, B e C serão denotados por H a, H b e H c, respectivamente, e os comprimentos dessas alturas serão denotados por h a, h b e h c. Observação 13. Dentre as três cevianas notáveis, a altura é a única que pode ser externa, ou mesmo coincidir com um lado. 2.3 Pontos notáveis de um triângulo Os pontos de encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominados pontos notáveis. 1. Em um triângulo qualquer as três medianas concorrem num mesmo ponto, chamado baricentro (G). 2. Em um triângulo qualquer as três bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto, chamado incentro (I). 3. Em um triângulo qualquer as retas suportes das três alturas concorrem num mesmo ponto, chamado ortocentro (H). 4. Em um triângulo qualquer as mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto, chamado circuncentro (O). Propriedade 1. O baricentro de um triângulo divide cada mediana na razão de 2 para 1, a partir do vértice. Isso é equivalente a dizer que um deles é 2 da mediana e o outro 1 dela. Os 3 3 segmentos que unem um dos vértices ao ponto G medem 2. 3 Propriedade 2. O incentro é o centro da circunferência inscrita num triângulo. Propriedade 3. O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo. O circuncentro pode ser interno (no triângulo acutângulo), externo (no triângulo obtusângulo) ou pertencer a um lado (no triângulo retângulo). 2.4 Construção de triângulos Construir um triângulo equivale a determinar três pontos, isto é, os vértices. Um triângulo fica determinado em forma e tamanho quando dele são conhecidos três elementos, sendo pelo menos um deles linear, isto é, um lado ou uma altura ou uma mediana, etc. 3

4 2.4.1 Normas gerais para a construção de um triângulo: i) Imagina-se o problema já resolvido e faz-se uma figura rascunho onde estão presentes, além do contorno do triângulo propriamente dito, todos os elementos dados (alturas, mediana, ângulo, etc); ii) Destacam-se os elementos dados com uma tonalidade mais acentuada. iii) Estuda-se a figura rascunho em busca de propriedades que permitam obter os vértices. iv) Determinando tais propriedades, passa-se à construção. Exercício 1. Construa um triângulo ABC, dados a = 45mm, Ĉ = 60 e B = 50. Encontre as alturas relativas aos lados a, b e c. Exercício 2. Construa um triângulo ABC, dados dois lados a = 5cm, b = 4cm e o ângulo formado entre eles Ĉ = 100. Encontre o ortocentro. Exercício 3. Construa um triângulo ABC, dados a = 6cm, b = 5cm e c = 4cm. Encontre o baricentro e o circuncentro. Problema 1. Há três cidades situadas em pontos que não estão alinhados. Será construído um aterro sanitário que se localizará a igual distância das três cidades. Construa uma figura de tal forma que possa descobrir o local do aterro sanitário. Observação 14. Para traçar a circunferência inscrita, basta traçar as bissetrizes de dois ângulos internos. A intersecção dará o incentro, que será o centro da circunferência. Para determinar o raio da circunferência, trace a perpendicular a um dos lados do triângulo passando pelo incentro. Fazer os exercícios de E16.1 até E16.8 da página 148 a 151 do Jota volume Construir um triângulo qualquer conhecendo os seus três lados Sejam AB, BC e AC, lados do triângulo. Trace o segmento de reta AB. Com centro em B e raio igual ao segundo lado BC, descrevese o arco. Em seguida com centro em A e com raio igual ao terceiro lado AC, descreve-se outro arco, gerando o ponto C. Ligando C e B por dois segmentos de retas, teremos o triângulo pedido. 2.6 Construir um triângulo conhecendo dois de seus lados e o ângulo formado por eles Sejam dados os lados AB e AC e o ângulo Â formado por eles. Uma vez traçado o segmento de reta AC, transporta-se para uma das extremidades (no caso extremidade A) o ângulo Â. Determina-se uma semirreta, de origem em A, basta marcar o lado AB conhecido, e unir os pontos B e C. 2.7 Construir um triângulo conhecendo seus lados e a altura Trace o segmento AB. Construa uma perpendicular a este segmento e marque a altura OP fornecida. Trace uma reta paralela a AB, passando por P. Com centro em A e raio AC dado, descreva um arco que corta a paralela ao segmento AB, determinando o ponto C. Unindo os pontos A, B e C temos o triângulo. Exemplo: Construir um triângulo com AB = 3, 7cm, h c = 2, 7cm e AC = 3cm. 4

5 2.8 Construir um triângulo conhecendo dois de seus lados e a mediana Dados dois lados AC e AB e a mediana m b, trace o segmento AC dado. Determine o seu ponto médio M b. Com centro em M b e raio igual a medida da mediana dada, descreva o arco. Agora com centro em A e raio igual a medida do seu lado c descreva outro arco que cortará o arco anterior determinando o ponto B. A união dos pontos A, B e C determina o triângulo. Exemplo: Construir o triângulo dados b = 26mm, c = 37mm e m b = 38mm. 2.9 Construir um triângulo conhecendo a medida da sua altura Oh seu lado AB e o ângulo adjacente a este lado Sejam dados as medidas do lado AB, a altura Oh e o ângulo adjacente Â. Trace o segmento AB dado. Construa uma perpendicular a qualquer ponto deste segmento. Nesta perpendicular marque a altura Oh. Trace por h uma paralela r ao segmento AB. Marque em uma das extremidades do lado AB (neste caso A) o ângulo adjacente Â. Prolongue o lado deste ângulo até encontrar a paralela r, encontrando o ponto C. A união dos pontos A, B e C determinam o triângulo. Exemplo: Construir o triângulo conhecendo a = 40mm, h a = 30mm e B = 60. Determine o perímetro do triângulo Construir um triângulo conhecendo dois de seus ângulos e o lado oposto a um deles Sejam dados as medidas do lado AB e dos ângulos Â e B. Trace um segmento de reta AB, horizontal. Em uma de suas extremidades (neste caso A) construa um dos ângulos dados (no caso Â). Agora prolongue o outro lado desse ângulo, no sentido oposto ao anterior. Marque um ponto X neste prolongamento e neste ponto construa o outro ângulo conhecido B. Prolongue o outro lado deste ângulo obtendo a reta d. Trace uma paralela a reta d passando pelo ponto B, que cortará a semirreta S XA em C. Os ângulos X e Ĉ são alternos internos. Ficando determinado os vértices A, B e C do triângulo procurado. Una os vértices. Exemplo: Construir o triângulo conhecendo: c = 4cm, Â = 30 e Ĉ = Construir um triângulo conhecendo os dois ângulos da base e a sua altura Sejam dados os ângulos da base Â e B e a medida da altura OH. Em primeiro lugar trace uma reta horizontal r e sobre esta a perpendicular OH. Pela extremidade H trace uma paralela a reta horizontal r. Marque em torno do vértice H, os ângulos da base do triângulo, um de cada lado e de cima para baixo. Os lados dos ângulos prolongados cortarão a reta r nos pontos A e B do triângulo. A união dos vértices A, B e H determinam o triângulo procurado. Exemplo: Construir o triângulo conhecendo: h c = 5cm, Â = 40 e B = Construir um triângulo equilátero sendo dada a sua altura Seja h a a medida da altura de um triângulo equilátero. Marque sobre uma reta r um ponto A qualquer. Com o compasso centrado em A com uma abertura qualquer descreva um arco, que intercepta a reta r num ponto X. Com o compasso centrado em X e com a mesma abertura anterior descreva um arco que cortará o anterior no ponto O. Prolongue o segmento AO, que é 5

6 lado do ângulo OÂX. Encontre a bissetriz de OÂX. Marque a altura h a nessa bissetriz. Trace uma perpendicular a h a, passando por H a. Esta reta vai determinar os ponto B e C, interseções com os lados do ângulo BÂC, do triângulo procurado. Exemplo: Construir um triângulo equilátero com h a = 4, 2cm Construir um triângulo isósceles conhecendo a base e o ângulo oposto Dados: base AB e o ângulo oposto Ĉ. Trace uma reta horizontal, na qual marcará a medida da base AB. Em seguida marque em uma de suas extremidades, para baixo, (no caso extremidade B) o ângulo Â. Determine o lado do ângulo A BX. Construa uma perpendicular ao lado BX passando pelo ponto B. Essa perpendicular corta a mediatriz do segmento AB em um ponto O. Com centro em O e raio igual a medida OB, trace a circunferência que determinará o ponto C, intersecção da mediatriz com a circunferência. Unindo os vértices A, B e C tem-se o triângulo procurado. Este método usa o lugar geométrico arco capaz. Outra forma: Sejam dados a base AB e o ângulo oposto Ĉ. Em uma construção auxiliar, trace a bissetriz do ângulo dado Ĉ. Após construa uma reta r qualquer e marque sobre ela o segmento AB dado. Levante uma perpendicular OP no ponto médio desse segmento. Em qualquer ponto da reta que contém OP contrua o ângulo Ĉ de maneira que a sua bissetriz fique coincidindo com OP. Trace duas paralelas que passem pelos pontos A e B da base. Estas reta se encontram sobre OP no ponto C, deteminando os vértices A, B e C do triângulo procurado. Exemplo: Construir um triângulo isósceles: c = 3, 5cm (base) e Ĉ = Construir um triângulo isósceles conhecendo a base e sua altura relativa a base Dados a base AB e a altura relativa a base h c. Trace um segmento AB cuja medida coincida com o comprimento da base do triângulo. Levante uma perpendicular no ponto médio deste segmento e marque a medida h c, encontrando o ponto C. Unindo os pontos A, B e C tem-se o triângulo procurado. Exemplo: Construir um triângulo isósceles: a = 3, 2cm (base) e h a = 2, 5cm Construir um triângulo retângulo sendo dados a hipotenusa e a soma dos catetos Sejam h a medida da hipotenusa e c a medida da soma dos catetos do triângulo retângulo. Trace uma reta e marque a medida c nessa reta, denote esse segmento por AB. Em uma das extemidades (nesse caso B) contrua um ângulo de 45 cujos lados são AB e BX. Com o centro em A raio igual a medida h da hipotenusa descreva um arco que intercepta o lado BX em dois pontos, P e Q. Por esses pontos construa perpendiculares a AB, onde o pé de cada perpendicular será denotada por C e D. Os triângulos AQC e AP D são soluções do problema. Exemplo: Construir um triângulo retângulo usando: h = 5cm (hipotenusa) e c = 7cm (soma dos catetos). Exemplo 15. Exercício E16.10, pág Construir um triângulo ABC, dados: a = 30mm, h b = 27mm e m a = 23mm, no qual h b é o comprimento da altura relativa ao vértice B e m a é o comprimento da mediana relativa ao vértice A. 6

7 Resolver os exercícios de E16.11 à E16.16 das páginas 153 e 154 do Jota volume 1. Propriedade 4. Uma reta que intercepta dois lados de um triângulo e é paralela ao terceiro lado divide esses dois lados e todas as cevianas relativas ao terceiro lado em segmentos proporcionais. Propriedade 5. O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida do terceiro lado. Obs: i) Este segmento é denominado base média do triângulo. ii) Os pontos médios dos lados de um triângulo ABC formam um triângulo denominado mediano do triângulo ABC. Exemplo 16. Construa o triângulo ABC usando as seguintes informações: h a = 2, 3 cm e m b = 2, 8 cm. a = 3, 3 cm, Artifício: Quando um problema envolve pontos médios de lados, diretamente ou indiretamente como pés de medianas, podem-se traçar retas passando por esses pontos quando estudamos a figura rascunho. Nesse caso, devemos lembrar que essas retas são sempre paralelas a um dos lados e que suas distâncias a esse lado ou vértice oposto são metades de alturas. Fazer os exercícios de E16.17 a E16.20 das páginas 156 e 157 do Jota volume 1. Exercício 4. Construa um triângulo ABC conhecendo: a = 5, 5cm, m b relativa ao lado b) e m c = 7, 5cm (mediana relativa ao lado c). = 6cm (mediana Exercício 5. Construa um triângulo equilátero ABC cuja mediana tem comprimento igual a 6 cm. 3 Quadriláteros Definição 17. Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos AB, BC, CD, e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. Teorema 18. Num quadrilátero qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a

8 3.1 Quadriláteros Notáveis Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados Trapézio Definição 19. Trapézio é todo quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são denominados bases, enquanto que os outros dois lados são chamados laterais do trapézio. A distância entre as bases é denominada altura do trapézio. Propriedade 6. Os ângulo internos formados por uma das laterais com as bases são suplementares (colaterais internos). Os trapézios são classificados em: Trapézio isósceles: quando os lados não paralelos são congruentes; Trapézio escaleno: quando os lados não paralelos não são congruentes; e Trapézio retângulo: quando um dos lados não paralelos é perpendicular às bases. Observação 20. Num trapézio isósceles os ângulos de uma mesma bases são congruentes e as diagonais também são congruentes. Resolver os exercícios E17.1 a E17.3, Jota, volume Paralelogramo Definição 21. Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os pares de lados opostos respectivamente paralelos. Propriedade 7. São válidas para todos os paralelogramos as seguintes propriedades: i) Os ângulos opostos são congruentes; ii) Quaisquer dois ângulo internos não opostos são suplementares; iii) Os lados opostos são congruentes; iv) As diagonais interceptam-se em seus pontos médios; Propriedade 8. Um quadrilátero é um paralelogramo quando: i) os pares de lados opostos são respectivamente congruentes. 8

9 ii) um pares de lados opostos são paralelos e congruentes; iii) quando as diagonais se interceptam em seus pontos médios. Os paralelogramos são classificados em: Retângulo: quando possui todos os ângulo retos. Losango: quando possui os quatro lados congruentes. Quadrado: quando possui todos os ângulo retos e os quatro lados congruentes.. Observação 22. O retângulo, o losango e o quadrado possuem todas as propriedades já mencionadas para os paralelogramos. E ainda possuem propriedades importantes com relação às suas diagonais. Propriedade 9. Em todo retângulo as diagonais são congruentes. Propriedade 10. Em todo losango as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos. Propriedade 11. Todo polígono regular é inscritível numa circunferência. regular é circunscritível numa circunferência. Todo polígono Definição 23. O centro de um polígono regular é o centro comum das circunferências circunscrita e inscrita. Definição 24. O apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio de um lado. O apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita. Resolver os exercícios de E17.4 à E17.11 das páginas 167 e 168 do Jota volume 1. Resolver os exercícios de E17.18 à E17.26 das páginas 170 e 171 do Jota volume Construção de Quadriláteros 3.3 Construir um quadrado conhecendo a medida do seu lado Seja dada a medida do lado do quadrado, AB. Trace uma reta r e marque a distância AB sobre r. Levante duas perpendiculares a reta r passando pelos pontos A e B. Com centro em A e raio AB descreva o arco que intercepta a perpendicular que passa por A no ponto D. Agora com centro em B e mesmo raio AB descreva o arco que intercepta a perpendicular que passa por B no ponto C. Unindo os pontos A,B,C e D tem-se o quadrado. 3.4 Construir um quadrado conhecendo a medida da sua diagonal Seja dada a medida da diagonal do quadrado AC. Trace uma reta r e marque a distância AC sobre r. Trace a mediatriz desse segmento e denote o ponto médio por M. Marque na mediatriz para cima o ponto B, de tal forma que MB seja congruente a AM. Marque na mediatriz para baixo o ponto D, de tal forma que MD seja congruente a AM. Unindo os pontos A,B,C e D tem-se o quadrado. 9

10 3.5 Construir um quadrado conhecendo a medida do seu apótema Seja dada a medida do apótema AB. Trace uma reta r. Marque OX igual a duas vezes AB sobre a reta r. Este segmento OX é o lado do quadrado pedido. Construa o quadrado, conforme a primeira construção descrita. 3.6 Construir um quadrado conhecendo a medida da soma da sua diagonal com um lado Dada a soma da medida da diagonal com um lado, denotada pelo segmento XY. Vamos determinar a medida do lado do quadrado. Construa um quadrado qualquer HIJK cujo lado é menor que a medida XY dada. Prolongue a diagonal KI desse quadrado e marque nela a medida de XY dada, considerando X = K. Com centro em I e raio igual a medida do lado do quadrado construído inicialmente, descreva um arco que intercepta o prolongamento XY da diagonal KI no ponto L. Una L a J. Trace uma paralela a LJ passando pelo ponto Y. Essa paralela corta o prolongamento do lado do quadrado KJ no ponto P. A distância XP é o lado do quadrado pedido. Construa o quadrado, conforme a primeira construção descrita. 3.7 Construir um quadrado conhecendo a medida da diferença entre sua diagonal e o lado Seja dada a medida da diferença entre a diagonal e o lado de um quadrado, denotada pela medida do segmento XY. Vamos determinar a medida do lado do quadrado. Construa um quadrado qualquer ABDE. Trace a diagonal AD desse quadrado e marque nela a medida de XY dada, considerando X = A e Y contido na diagonal. Com centro em D e raio igual a medida do lado do quadrado construído inicialmente, descreva um arco que intercepta a diagonal em K. Una K a E. Trace pelo ponto Y uma paralela a KE. Essa paralela corta o prolongamento do lado do quadrado AE no ponto P. A distância AP é o lado do quadrado pedido. Construa o quadrado, conforme a primeira construção descrita. 3.8 Construir um losango conhecendo a medida do seu lado e da sua diagonal Seja dada a medida da diagonal do losango AB e a medida AC do lado do losango. Trace uma horizontal r e marque a distância AB sobre r. Com centro em A e raio igual a distância AC descreva um arco. Com centro em B e mesmo raio AC descreva um arco que corta o arco anterior nos pontos C e D. Unindo os ponto A, B, C e D terá o losango procurado. Exercícios 1. Construa um trapézio ABCD conhecendo: AB = 62 mm (base maior), BC = 44 mm (uma transversal), a altura h = 35 mm e Â = Construa um trapézio ABCD sabendo que: AB = 70 mm, Â = 75, B = 60, AC = 65 mm e BD = 75 mm. 10

11 3. Construa um retângulo ABCD sendo dados o lado AB = 5 cm, e a diagonal do retângulo d = 6 cm. 4. Construa um losango ABCD de diagonais 7 e 5 cm. 5. Construa um losango ABCD sendo dados a medida de um lado AB = 5 cm e o ângulo de B = É possível construir um quadrilátero com as medidas: AB = 55 mm, BC = 34 mm, B = 120, CD = 31 mm e Â = 90? 11