Polígonos. Disciplina: Matemática Aplicada Prof. Filipe Arantes Fernandes
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1 Polígonos Disciplina: Matemática Aplicada Prof. Filipe Arantes Fernandes
2 Polígonos Polígonos é uma linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano.
3 Tipos de Polígonos Convexo Não-convexo
4 Tipos de Polígonos Convexo: No polígono A, se tomarmos dois pontos quaisquer P e Q na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une estará inteiramente contido nesta região.
5 Tipos de Polígonos Não-convexo: É possível encontramos dois pontos (R e S) de modo que o segmento de reta RS não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono.
6 Elementos de um polígono A B C F E D
7 Elementos de um polígono A B VÉRTICES São os pontos A, B, C, D, E e F. C F E D
8 Elementos de um polígono LADOS São os segmentos de reta:
9 Elementos de um polígono A B LADOS São os segmentos de reta: AB
10 Elementos de um polígono A B LADOS São os segmentos de reta: AB BC C
11 Elementos de um polígono A B LADOS C D São os segmentos de reta: AB BC CD
12 Elementos de um polígono A B LADOS C E D São os segmentos de reta: AB BC CD DE
13 Elementos de um polígono A B LADOS C F E D São os segmentos de reta: AB BC CD DE EF
14 Elementos de um polígono A B LADOS C F E D São os segmentos de reta: AB BC CD DE EF FA
15 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: C F E D
16 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC
17 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD
18 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE
19 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD
20 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE
21 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF
22 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF CE
23 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF CE CF
24 Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF CE CF DF
25 Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: C F E D
26 Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F E D São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC
27 Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E D ou C BCD
28 Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC D E D ou C BCD ou D CDE
29 Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E E D D ou C BCD ou D CDE ou E DEF
30 Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B F F C C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E E D D ou C BCD ou D CDE ou E DEF ou F EFA
31 Elementos de um polígono A B A F ÂNGULOS INTERNOS B F C C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E E D D ou C BCD ou D CDE ou E DEF ou F EFA ou A FAB
32 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este:
33 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ
34 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC
35 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD
36 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD ou d SDE
37 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD ou d SDE ou e TEF
38 Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD ou d SDE ou e TEF ou F UFA
39 Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e de ângulos externos é o mesmo.
40 Nome dos polígonos quanto ao número de lados Número de lados Nome do polígono 3 (tri) Triângulos 4 (quadri) Quadrilátero 5 (penta) Pentágono 6 (hexa) Hexágono 7 (hepta) Heptágono 8 (octo) Octógono 9 (enea) Eneágono 10 (deca) Decágono 11 (um a mais do que dez) Undecágono 12 (dois a mais do que dez) Dodecágono 15 (cinco a mais do que dez) Pentadecágono 20 (icos) Icoságono
41 Polígonos Regulares Um polígono convexo é denominado regular quanto todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos são congruentes.
42 Triângulos
43 Triângulo Triângulo é um polígono que tem três lados (consequentemente tem três vértices e três ângulos internos).
44 Ângulo externo de um triângulo É cada ângulo adjacente e suplementar a um ângulo interno do triângulo; São três os ângulos externos em um triângulo.
45 Ângulo externo de um triângulo É cada ângulo adjacente e suplementar a um ângulo interno do triângulo; São três os ângulos externos em um triângulo.
46 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo
47 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos
48 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo
49 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto
50 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto Obtusângulo
51 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto Obtusângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo obtuso
52 Classificação dos triângulos Quanto aos lados Equilátero 3 lados iguais
53 Classificação dos triângulos Quanto aos lados Equilátero 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais
54 Classificação dos triângulos Quanto aos lados Equilátero Isósceles 3 lados iguais 2 lados iguais Escaleno 0 lados iguais
55 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo Quanto aos lados 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto Obtusângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo obtuso Equilátero Isósceles 3 lados iguais 2 lados iguais Escaleno 0 lados iguais
56 Propriedades dos triângulos Quanto aos lados Os 3 ângulos internos possuem 60º. Equilátero 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais
57 Propriedades dos triângulos Quanto aos lados Equilátero Os ângulos da base têm a mesma medida. 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais
58 Propriedades dos triângulos Triângulo Retângulo AB Teorema de Pitágoras: AB² = BC² + AC² BC AC
59 Exercícios Fonte:
60 (Exercício 1) Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa e AB e AC os catetos, sabemos BC² = AB² + AC², pelo teorema de Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar à anterior, no caso de o triângulo ser acutângulo. Faça o mesmo para o triângulo obtusângulo.
61 (Exercício 1) Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa e AB e AC os catetos, sabemos BC² = AB² + AC², pelo teorema de Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar à anterior, no caso de o triângulo ser acutângulo. Faça o mesmo para o triângulo obtusângulo. Gabarito: Triângulo Acutângulo: BC² < AB² + AC² Triângulo Obtusângulo: BC² > AB² + AC²
62 (Exercício 2) Aplique as relações encontradas no exercícios anterior para classificar os seguintes triângulos, quanto aos ângulos: a)abc, de lados 20, 15 e 9. b)def, de lados 28, 35, 21. c) GHI, de lados, d)jkl, de lados 9, 5 e 5. e)mno, de lados 4, 4 e 4. e.
63 (Exercício 2) Aplique as relações encontradas no exercícios anterior para classificar os seguintes triângulos, quanto aos ângulos: Gabarito: a)abc, de lados 20, 15 e 9. a) Triângulo Obtusângulo b)def, de lados 28, 35, 21. b) Triângulo Retângulo c) GHI, de lados, e. c) Triângulo Acutângulo d)jkl, de lados 9, 5 e 5. d) Triângulo Obtusângulo e)mno, de lados 4, 4 e 4. e) Triângulo Acutângulo
64 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180ª.
65 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
66 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
67 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
68 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
69 Referência Dante, Luiz Roberto. "Matemática: contexto e aplicações." São Paulo: Ática 3 (2010).
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