Paralelismo. MA13 - Unidade 3. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.

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1 Paralelismo M13 - Unidade 3 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

2 Nomes tradicionais reta t corta as retas r e s. Dizemos que a reta t é uma transversal de r e s. b d t c r a s Os ângulos a e b chamam-se alternos internos. Os ângulos a e c chamam-se correspondentes. Os ângulos a e d chamam-se colaterais internos. Paralelismo slide 2/7

3 Teorema das paralelas Recordação (teorema do ângulo externo) Em um triângulo, um ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes. Teorema Se a transversal t determina nas retas r e s ângulos alternos internos iguais (congruentes) então r e s são paralelas. Paralelismo slide 3/7

4 Demonstração Sejam e os pontos de interseção de t com r e s, respectivamente. Se as retas r e s não fossem paralelas então teriam um ponto comum. Seja C esse ponto. O triângulo C possui um ângulo externo igual a um ângulo interno não adjacente, o que não pode acontecer pelo teorema do ângulo externo. t r s C Logo, o triângulo C não existe e as retas r e s são paralelas. Paralelismo slide 4/7

5 Outros teoremas a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, dois ângulos alternos internos são iguais. b) Se em duas retas cortadas por uma transversal dois ângulos correspondentes são iguais, essas retas são paralelas. c) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, dois ângulos correspondentes são iguais. d) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, dois ângulos colaterais internos são suplementares (somam 180 o ). Paralelismo slide 5/7

6 Teorema de Tales soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 o. α Y β θ α β C X Considere o triângulo C, o prolongamento CX de C e trace por C uma paralela CY a. + + C = 180 o Consequência: Um ângulo externo de um triângulo é a soma dos ângulos internos não adjacentes. Na figura: CX = +. Paralelismo slide 6/7

7 Problema No quadrilátero convexo OC os segmentos O, O e OC possuem mesmo comprimento. Mostre que o ângulo O é o dobro do ângulo C. O C Paralelismo slide 7/7

8 Triângulos M13 - Unidade 3 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

9 Teorema Em um triângulo, se dois lados são desiguais, os ângulos opostos são desiguais e o maior lado está oposto ao maior ângulo. Demonstração: Considere o triângulo C com C >. Vamos provar que > C. D Seja D um ponto do lado C tal que D =. O triângulo D é isósceles e, portanto, D = D. Então, = C > D = D > C = C. Observação: recíproca desse teorema é verdadeira. Triângulos slide 2/8 C

10 Problema 1 Na figura a seguir, colocar os cinco segmentos em ordem crescente. 55 d c b e a Triângulos slide 3/8

11 Problema 2 - Problemas de construção Construir o triângulo C conhecendo o lado = c, o lado C = a e o segmento h, que é a altura relativa ao vértice. a c h Triângulos slide 4/8

12 Solução: Siga os passos na ordem apresentada. Veja depois a figura para conferir. 1. Desenha uma reta r. 2. ssinale um ponto sobre r. 3. Com o compasso desenhe um arco de circunferência de centro e raio a. Esse arco corta a reta r no ponto C. 4. ssinale um ponto P qualquer sobre r. 5. Trace a reta s passando por P e perpendicular a r. 6. Com o compasso trace um arco de circunferência de centro P e raio h. Esse arco corta a reta s no ponto Q. 7. Trace por Q uma reta t paralela a r. 8. Trace a circunferência de centro e raio c. Como h < c essa circunferência cortou a reta t nos pontos e. Os triângulos C e C são as soluções do problema Triângulos slide 5/8

13 a c h Q s C P r Triângulos slide 6/8

14 Problema 3 Construir o triângulo C conhecendo os ângulos e C e o perímetro. Dados: Perímetro = 12cm = 70 C = 40 Triângulos slide 7/8

15 Solução: Siga os passos na ordem apresentada. Veja depois a figura para conferir. 1. Desenhe um segmento PQ igual ao perímetro dado. 2. Desenhe acima da reta PQ o ângulo QPX = Desenhe acima da reta PQ o ângulo PQY = C interseção das semirretas PX e QY é o ponto. 5. interseção da mediatriz de P com o segmento PQ é o ponto. 6. interseção da mediatriz de Q com o segmento PQ é o ponto C. O triângulo foi construído. P C Q Triângulos slide 8/8

16 Desigualdade triangular I M13 - Unidade 3 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

17 Três pontos colineares Se, e C estão nessa ordem sobre uma reta temos, por definição, + C = C. C Desigualdade triangular I slide 2/7

18 Desigualdade triangular Sejam, e C três pontos não colineares. Consideremos = c, C = b e C = a. Prolongue de um comprimento D igual a C. ssim, D = b + c. b D c b No triângulo isósceles CD, temos C = D = b e CD = DC. Temos então CD > CD = DC. a No triângulo DC isso significa que D > C, ou seja, b + c > a. De a < b + c conclui-se que b < a + c e c < a + b. Portanto: Em um triângulo qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. C Desigualdade triangular I slide 3/7

19 Problema 1 Se P é um ponto interior ao triângulo C então P + PC < + C. Desigualdade triangular I slide 4/7

20 Solução Q P C Seja Q o ponto de interseção da reta P com o lado C. No triângulo Q temos P + PQ < + Q. No triângulo PQC temos PC < PQ + QC. Somando membro a membro e cancelando o termo PQ temos P + PC < + Q + QC = + C Desigualdade triangular I slide 5/7

21 Problema 2 No triângulo C tem-se = 9, C = x e C = 15 2x. Quais são os valores possíveis de x? Solução: Vamos aplicar a desigualdade triangular para cada lado do triângulo. < C + C 9 < x x x < 6 C < + C x < x x < 8 C < + C 15 2x < 9 + x x > 2 Para que as três desigualdades sejam verdadeiras devemos ter 2 < x < 6. Desigualdade triangular I slide 6/7

22 Pergunta No Problema 2 o triângulo pode ser isósceles? Desigualdade triangular I slide 7/7

23 Desigualdade triangular II M13 - Unidade 3 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

24 Problema 1 No triângulo C o ponto M é médio de C. O segmento M é a mediana relativa ao vértice (também se diz que M é a mediana relativa ao lado C). São dados = c, C = b e M = m. a) Mostre que m < b + c. 2 b) Construa o triângulo C com os elementos dados. Procure resolver sem ver logo a solução que vem a seguir. Desigualdade triangular II slide 2/10

25 Solução a) Prolongue o segmento M de um comprimento MD igual a M. c m b M C c Os triângulos M e MCD são congruentes pelo caso LL. Logo, CD = = c. ssim, no triângulo CD temos D < C + CD, ou seja, 2m < b + c, como queríamos demonstrar. D Desigualdade triangular II slide 3/10

26 b) proveitando o item anterior a construção pode ser feita da seguinte forma. Desenhe o segmento M e a semirreta M. Desenhe a circunferência de centro M que passa por. Sobre a reta M fica determinado o ponto D tal que M = MD. m M D Desigualdade triangular II slide 4/10

27 c) Trace a circunferência de centro e raio b e a circunferência de centro D e raio c. b m M C c D Seja C um dos pontos de interseção dessas circunferências. Desigualdade triangular II slide 5/10

28 d) Trace a reta CM e a circunferência de centro M passando por C. Essa circunferência determina na reta CM o ponto e o triângulo está construído. c m b M C D Desigualdade triangular II slide 6/10

29 O caminho mínimo Considere dois pontos e de um mesmo lado da reta r. Um problema famoso é o de determinar a posição do ponto P sobre a reta r de forma que a soma das distâncias de P aos pontos e seja mínima. ( P + P deve ser mínima) P r Para resolver, desenhe o simétrico de um dos pontos dados em relação à reta r. Desigualdade triangular II slide 7/10

30 Na figura a seguir, o ponto C é o simétrico de em relação a r. Q r C Como a reta r é a mediatriz do segmento C temos que, para qualquer ponto Q de r, Q = QC. ssim, Q + Q é sempre igual a Q + QC. Desigualdade triangular II slide 8/10

31 Seja P o ponto de interseção do segmento C com a reta r. Pela desigualdade triangular, P + PC < Q + QC para todo ponto Q diferente de P. Q P r C O ponto P está determinado. Desigualdade triangular II slide 9/10

32 Importante Observe que, quando P + P é mínima, os segmentos P e P fazem ângulos iguais com a reta r. P r C Desigualdade triangular II slide 10/10

33 Quadriláteros notáveis I M13 - Unidade 4 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

34 Paralelogramo Paralelogramo é o quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos. C D Quadriláteros notáveis I slide 2/11

35 Propriedades do paralelogramo P1 Os lados opostos são iguais (congruentes). = DC e D = C C D Quadriláteros notáveis I slide 3/11

36 P2 Os ângulos internos opostos são iguais. Â = Ĉ e ˆ = ˆD C D Quadriláteros notáveis I slide 4/11

37 P3 Dois ângulos internos vizinhos quaisquer são suplementares. Â + ˆ = 180 C D Quadriláteros notáveis I slide 5/11

38 P4 s diagonais cortam-se ao meio. M = MC e M = MD C D M Quadriláteros notáveis I slide 6/11

39 Teoremas T1) Se um quadrilátero convexo possui dois pares de lados opostos iguais ele é um paralelogramo. T2) Se um quadrilátero possui os ângulos internos opostos iguais ele é um paralelogramo. T3) Se em um quadrilátero dois ângulos internos quaisquer suplementares, ele é um paralelogramo. T4) Se as diagonais de um quadrilátero se cortam nos respectivos pontos médios ele é um paralelogramo. Quadriláteros notáveis I slide 7/11

40 Retângulo Retângulo é o quadrilátero que possui todos os ângulos iguais. D C O retângulo é um paralelogramo. Logo, possui as propriedades P1 a P4 anteriores. Propriedade exclusiva do retângulo: P5 s diagonais são iguais. Quadriláteros notáveis I slide 8/11

41 Losango Losango é o quadrilátero que possui todos os lados iguais. D M C O losango é um paralelogramo. Logo, possui as propriedades P1 a P4 anteriores. Propriedade exclusiva do retângulo: P6 s diagonais são perpendiculares. Quadriláteros notáveis I slide 9/11

42 Quadrado D C Quadriláteros notáveis I slide 10/11

43 Teorema Se um quadrilátero possui dois lados iguais e paralelos ele é um paralelogramo. C D M Perguntando ao leitor Se, na figura acima, as retas e CD são paralelas e, os segmentos e CD têm mesmo comprimento, por que CD é um paralelogramo? Quadriláteros notáveis I slide 11/11

44 Quadriláteros notáveis II M13 - Unidade 4 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

45 ase média do triângulo Teoremas: a) Em um triângulo C o ponto M é médio do lado. paralela traçada por M ao lado C intersecta esse lado no seu ponto médio. M N C Quadriláteros notáveis II slide 2/9

46 b) No triângulo C o ponto M é médio do lado e N é o ponto médio do lado C. Então, a reta MN é paralela à reta C e o segmento MN é a metade do segmento C. M a N 2a C Quadriláteros notáveis II slide 3/9

47 Trapézio Trapézio é o quadrilátero convexo que possui apenas um par de lados paralelos. D C ase média do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados opostos não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à semissoma das bases. D C M N Quadriláteros notáveis II slide 4/9

48 Teoremas Considere o trapézio CD de bases e CD. a) paralela às bases traçada pelo ponto médio do lado D encontra o lado C no seu ponto médio. b) O segmento que une os pontos médios dos lados D e C do trapézio é paralelo às bases. c) base média do trapézio é igual a semissoma das bases. D C M N P Quadriláteros notáveis II slide 5/9

49 aricentro de um triângulo Definição aricentro de um triângulo é o ponto de interseção das medianas. Há um problema nessa tradicional definição. Qual é? Quadriláteros notáveis II slide 6/9

50 Teorema O ponto de interseção de duas medianas de um triângulo divide cada uma delas na razão 2:1. Quadriláteros notáveis II slide 7/9

51 Demonstração: No triângulo C seja G o ponto de interseção das medianas M e CN. Seja P o ponto médio de G e seja Q o ponto médio de CG. Considere MN = a. O segmento MN é base média no triângulo C. Logo, MN//C e C = 2a. O segmento PQ é base média no triângulo GC. Logo, PQ//C e PQ = a. M N O quadrilátero MNPQ tem dois lados opostos iguais e paralelos. Logo é um paralelogramo. ssim, PG = GM (diagonais cortam-se ao meio). Como já tínhamos P = PG (P é médio de G), então P = PG = GM e, consequentemente, G 2 = GM 1. P G Q C nalogamente, CG 2 = GN 1. Quadriláteros notáveis II slide 8/9

52 Teorema s três medianas de um triângulo cortam-se em um único ponto. Como você faria essa demonstração? Quadriláteros notáveis II slide 9/9