Semi-Reta: é uma parte da reta limitada por apenas um ponto. É representada como mostra a figura acima.

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1 01. Conceitos Primitivos: Ponto: é representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Reta: é representado por uma letra minúscula do nosso alfabeto. Plano: é representado por uma letra grega. 0. Conceitos Importantes: Semi-Reta: é uma parte da reta limitada por apenas um ponto. É representada como mostra a figura acima. Segmento de Reta: é uma parte da reta limitada por dois pontos. É representado como mostra a figura acima. Ponto Médio: é um ponto que divide um segmento de reta em duas partes de mesmo comprimento. O conceito de ponto médio é muito importante em várias partes da Geometria. Mediatriz: é uma reta que passa pelo ponto médio de um segmento formando um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90. 1

2 03. Ângulo: é a região limitada por duas semi retas de mesma origem. O ângulo interior às semi retas é chamado de convexo, e o exterior de côncavo. Bissetriz de um ângulo: é uma semi-reta com origem no vértice de um ângulo que divide o mesmo em dois ângulos de medidas iguais. 1) Os ângulos podem ser classificados de acordo com a sua medida em: Ângulo Agudo: ângulo que possui medida 0 90 ; Ângulo Reto: ângulo que possui medida 90 ; Ângulo Obtuso: ângulo que possui medida ; ) Dois ângulos podem ser: Complementares: quando a soma das suas medidas for igual a 90 ; Suplementares: quando a soma de suas medidas for igual a ) Para a resolução de questões é preciso ter em mente o seguinte raciocínio: Considere um ângulo x, então a partir das definições de complemento e suplemento podemos fazer as seguintes notações: complemento de x : 90 ângulo x suplemento de x : 180 o x o x

3 4) Dois ângulos podem, ainda, ser classificados de acordo com as suas posições em: Adjacentes: quando dois ou mais ângulos, de mesmo vértice (origem) e mesmo plano, possuem um lado em comum, sem que haja pontos internos em comum, como mostra o exemplo abaixo. Consecutivos: quando dois ou mais ângulos possuem o mesmo vértice (origem) e mesmo plano, podendo possuir ou não algum ponto em comum. Em virtude disso, podemos concluir facilmente que ângulos adjacentes são sempre consecutivos. 3

4 04. Posições relativas entre duas retas: De acordo com a posição, duas ou mais retas podem ser classificadas em: Paralelas: são retas que estão num mesmo plano e não possuem pontos em comum; Concorrentes: são retas que possuem um ponto em comum; Coincidentes: são retas que estão sobrepostas no plano; Perpendiculares: são retas concorrentes que formam um ângulo reto entre si; Reversas: são retas que estão em planos distintos e não possuem pontos em comum. 4

5 05. Ângulos formados por retas paralelas: Duas retas paralelas cortadas por uma terceira reta chamada transversal determinam ângulos os quais estudaremos a seguir. Ângulos Correspondentes: são os ângulos que se sobrepõem (ao imaginarmos que pegamos os ângulos e colocamos em cima do outro), são eles: a e e; b e f; c e g; d e h. Pares de ângulos correspondentes possuem a mesma medida. Ângulos Alternos Internos: são os ângulos internos às retas paralelas que estão em lados opostos da transversal, são eles: f e d; e e c. Pares de ângulos alternos internos possuem a mesma medida. Ângulos Alternos Externos: são ângulos externos às retas paralelas que estão em lados opostos da transversal, são eles: a e g; b e h. Pares de ângulos alternos externos possuem a mesma medida. Ângulos Opostos pelo Vértice: são os ângulos formados a partir de retas concorrentes, são eles: a e c; b e d; e e g; f e h. Pares de ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida. Ângulos Colaterais Internos: são ângulos internos às retas paralelas que estão num mesmo lado da transversal, são eles: c e f; d e e. Pares de ângulos colaterais internos são suplementares. Ângulos Colaterais Externos: são ângulos externos às retas paralelas que estão num mesmo lado da transversal, são eles: b e g; a e h. Pares de ângulos colaterais externos são suplementares. 06. Triângulo: é uma figura plana fechada construída a partir de três pontos não colineares. 5

6 1) É importante conhecer as seguintes propriedades dos triângulos: Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a 180. Teorema do ângulo externo: um ângulo externo qualquer de um triângulo é sempre igual à soma dos dois ângulos do triângulo não adjacentes a ele. Condição de existência: qualquer lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros dois lados e maior que o módulo da diferença deles. ) Os triângulos podem ser classificados: a) De acordo com os ângulos: Triângulo Acutângulo: possui os ângulos internos menores que 90, ou seja, todos seus ângulos internos são agudos; Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo com medida igual a 90 ; Triângulo Obtusângulo: possui um ângulo maior que 90, ou seja, um dos ângulos é obtuso. 6

7 b) De acordo com os lados: Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida, e todos os ângulos internos valem 60 ; Triângulo Isósceles: apresenta pelo menos dois lados com mesma medida, em consequência os ângulos da base possuem também a mesma medida. Perceba que TODO triângulo equilátero é isósceles; Triângulo Escaleno: apresenta os lados com medidas distintas duas a duas. 3) Natureza dos triângulos: Considere um triângulo de lados a, b e c, sendo a o maior lado do triângulo, então podemos classificar um triângulo em acutângulo, retângulo ou obtusângulo através dos valores de a e b c como se segue: Se a b c : o triângulo é acutângulo; Se a b c : o triângulo é retângulo; Se a b c : o triângulo é obtusângulo. 4) Linhas notáveis num triângulo qualquer: 7

8 Ceviana: é um segmento de reta que une um vértice de um triângulo a um ponto do lado oposto a esse vértice ou ao prolongamento deste lado. Mediana: é uma ceviana que divide o lado oposto em duas partes iguais, ou seja, liga o vértice ao ponto médio do lado oposto. Altura: é uma ceviana perpendicular ao lado oposto. Bissetriz Interna: é uma ceviana que divide o ângulo interno do qual parte em dois ângulos iguais. Bissetriz Externa: é uma ceviana que divide o ângulo externo do qual parte em duas partes iguais. Mediatriz: é uma reta perpendicular a um dos lados do triângulo no ponto médio. 5) Pontos Notáveis num triângulo: Existem quatro pontos num triângulo qualquer que merecem uma atenção especial, são eles: Baricentro(G), Ortocentro (H), Incentro (I) e Circuncentro (C). Baricentro (G): o encontro das três medianas de um triângulo qualquer acontece exatamente em um ponto chamado de baricentro. Uma importante propriedade do baricentro é que, na mediana, o comprimento do baricentro até o vértice é dobro do comprimento do baricentro até o lado, como mostra a figura a seguir. Ortocentro (H): o encontro das três alturas de um triângulo qualquer acontece exatamente em um ponto chamado de ortocentro. Quando ligamos os três pés das alturas, formamos um triângulo chamado óritico. As alturas do triângulo original dividem cada ângulo interno do triângulo órtico em duas partes iguais. 8

9 Incentro (I): o encontro das três bissetrizes internas de um triângulo qualquer acontece exatamente em um ponto chamado de incentro. O incentro coincide com o centro do círculo inscrito ao triângulo, por isso podemos afirmar que o incentro é equidistante dos lados do triângulo. Circuncentro (C): o encontro das três mediatrizes de um triângulo qualquer acontece exatamente em um ponto chamado de circuncentro. O circuncentro coincide com o centro do círculo circunscrito ao triângulo, por isso podemos afirmar que o circuncentro é equidistante dos vértices do triângulo. 9

10 6) Congruência de Triângulos: Existem condições mínimas que nos permitem dizer se dois triângulos são congruentes, ou seja, dois triângulos que possuem as mesmas medidas de lados e ângulos. Essas condições serão estudadas a seguir. Caso: LLL (Lado Lado Lado) Se dois triângulos possuem os três lados respectivamente iguais, então podemos dizer que os dois triângulos são congruentes. Caso: LAL (Lado Ângulo Lado) Se dois triângulos possuem respectivamente iguais dois lados e o ângulo entre eles, então podemos dizer que os dois triângulos são congruentes. Caso: ALA (Ângulo Lado Ângulo) Se dois triângulos possuem respectivamente iguais um lado e os ângulos adjacentes a ele, então podemos dizer que os dois triângulos são congruentes. 10

11 7) Base Média de um Triângulo: Quando ligamos os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer, obtemos um segmento chamado de base média, que é paralela à base do triângulo e possui a metade da medida dessa base. 8) Mediana de um Triângulo Retângulo: A mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa tem medida igual à metade da medida da hipotenusa. 9) Semelhança de Triângulos: Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos internos possuem as mesmas medidas. Quando dois triângulos são semelhantes, as razões entre os lados correspondentes (homólogos) são constantes. Lados homólogos são lados que estão opostos aos ângulos de mesma medida. 11

12 Existem três condições mínimas que nos permitem dizer se dois triângulos são semelhantes. Dois triângulos são semelhantes se possuem pelo menos dois ângulos com medidas iguais. Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo com a mesma medida e os dois lados que os formam forem respectivamente proporcionais. Dois triângulos são semelhantes se possuem os três lados respectivamente proporcionais. Quando dois triângulos são semelhantes, a razão entre duas cevianas homólogas é constante e igual à constante de proporcionalidade. Então temos: 1

13 10) Teorema das Bissetrizes: Em todo triângulo uma bissetriz determina sobre o lado à qual é relativa, segmentos proporcionais aos lados adjacentes à bissetriz. Teorema da Bissetriz Interna: Teorema da Bissetriz Externa: 11) Relações Métricas num Triângulo Retângulo: Considere o triângulo ABC: Em um triângulo retângulo qualquer podemos aplicar as seguintes relações métricas: Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotensa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a b c 13

14 O quadrado de um dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção. b c a m a n O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das duas projeções. h m n O produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto dos catetos. a h b c O inverso do quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual à soma dos inversos dos quadrados dos catetos h b c 1) Relações Trigonométricas num triângulo Retângulo: Em um triângulo retângulo qualquer podemos aplicar as seguintes relações trigonométricas: SENO (sen): razão entre cateto oposto e hipotenusa. c sen e sen a b a COSSENO (cos): razão entre cateto adjacente e hipotenusa. b c cos e cos a a TANGENTE (tg): razão entre cateto oposto e cateto adjacente. c b tg e tg b c 14

15 Existem três ângulos agudos notáveis os quais devemos ter conhecimento dos valores de seus senos, cossenos e tangentes conforme a tabela a seguir. sen cos tg ) Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer: Lei dos Cossenos: a b c bc cos b a c ac cos c a b ab cos Lei dos Senos: a b c sen sen sen R 15

16 07. Quadrilátero: é uma figura plana fechada que possuiu quatro lados. Considere apenas como uma letra grega. 1) Quadriláteros Notáveis: a) Trapézio: quadrilátero que apresenta exatamente dois lados paralelos. AC / / BD trapézio MN h :altura Base Média Os trapézios podem ser classificados em: Trapézio Escaleno: apresenta as medidas dos lados não paralelos diferentes. 16

17 Trapézio Isósceles: apresenta os lados não paralelos com medidas iguais, consequentemente os ângulos das bases são iguais. Trapézio Retângulo: apresenta dois de seus ângulos medindo Base Média de um Trapézio: x a b - Segmento Euler: segmento que uni os pontos médios das duas diagonais. PQ segmento euler b a x 17

18 b) Paralelogramo: quadrilátero que apresenta dois pares de lados paralelos. Propriedades: Os lados opostos paralelos apresentam as mesmas medidas. AD BC e AB DC ; Os ângulos opostos apresentam as mesmas medidas; As diagonais se contam no ponto médio. c) Retângulo: paralelogramo que apresenta os quatro ângulos internos retos. Propriedades: Possui as mesmas propriedades de qualquer paralelogramo; Possui as diagonais com medidas iguais. d) Losango (ou Rombo): paralelogramo que apresenta os lados com a mesma medida. Propriedades: Possui as mesmas propriedades de qualquer paralelogramo; Possui diagonais perpendiculares que são bissetrizes dos seus ângulos internos. 18

19 e) Quadrado: paralelogramo que apresenta os quatro lados e os quatro ângulos com as mesmas medidas. Propriedades: Possui as mesmas propriedades de qualquer paralelogramo; Apresenta ângulos e lados com medidas iguais, logo um quadrado é retângulo e losango. 08. Circunferência: É o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão à igual distância de um ponto fixo chamado centro. Essa tal distância é denominada raio. ˆ AB : diametro OA : raio 1) Posições entre Reta e Circunferência: CD : corda MH: flecha AB R BD :arco 19

20 Reta secante (s): intercepta a circunferência em dois pontos distintos; Reta tangente (t) : intercepta a circunferência em um único ponto; Reta Exterior (r): não intercepta a circunferência em nenhum ponto. Observação: T é chamado de ponto de tangência entre a circunferência e a reta t. ) Posições entre Circunferências: Secantes: circunferências que possuem dois pontos em comum; Tangentes Exteriores: circunferências que possuem apenas um ponto em comum e não possuem pontos internos em comum; Tangentes Interiores: circunferências que possuem apenas um ponto em comum e possuem pontos internos em comum; Interiores: circunferências que não possuem ponto em comum, porém possuem pontos internos em comum; Exteriores: circunferências que não possuem ponto em comum e nem pontos internos em comum. 0

21 3) Propriedades: O raio de uma circunferência é SEMPRE perpendicular à reta tangente no seu ponto de tangência. O raio que intercepta uma corda da circunferência em seu ponto médio é SEMPRE perpendicular à corda. Duas retas tangentes se interceptando, SEMPRE formam dois segmentos tangentes (com extremidades no ponto de tangência e no ponto de interseção) de mesmo comprimento. 4) Ângulos na Circunferência: Ângulo Central: ângulo que possui vértice no centro da circunferência. Seu valor, em unidades angulares, é o mesmo de seu arco correspondente. Ângulo Inscrito: ângulo que possui vértice na circunferência. O arco correspondente ao ângulo inscrito possui o dobro do ângulo. 1

22 Ângulo Interior: ângulo que possui vértice em algum ponto interno à circunferência. Seu valor é igual à metade da soma dos arcos correspondente a esse ângulo. Ângulo Exterior: ângulo que possui vértice em um ponto externo à circunferência. Seu valor é igual à metade da diferença entre os arcos correspondentes à circunferência. Ângulo Segmento: ângulo formado por uma tangente e uma secante com vértice no ponto de tangência. O arco correspondente ao ângulo segmento é igual ao dobro do ângulo.

23 5) Quadriláteros na Circunferência: Quadrilátero Inscritível: é aquele que tem os vértices numa circunferência. Nesses quadriláteros a soma de seus ângulos opostos é igual a 180. Quadrilátero Circunscritível: é aquele que tem os lados tangentes a uma circunferência. Nesses quadriláteros as somas dos lados opostos são iguais. 6) Relações Métricas na Circunferência: Teorema das Cordas: ao traçar em uma circunferência duas cordas que se interceptam em um ponto interno, os produtos dos comprimentos dos segmentos formados em cada corda são iguais. 3

24 Teorema das Secantes: Ao traçar em uma circunferência dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. 09. Fórmulas Complementares: 1) Teorema de Thales: ) Relação de Stewart: 4

25 3) Teorema de Ptolomeu: válido em qualquer quadrilátero inscritível. 4) Teorema de Hiparco: válido em qualquer quadrilátero inscritível. 10. Polígonos: É a figura geométrica formada pela ligação de três ou mais pontos de um mesmo plano. Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados de acordo com a tabela abaixo: Polígono Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono Gênero 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 1 lados 15 lados 0 lados 5

26 De acordo com o número n de lados, podemos calcular os seguintes elementos: 1) Soma dos ângulos internos: S 180 n i ) Soma dos ângulos externos: S e o 360 3) Número de Diagonais: 3 D n n 4) Número de Diagonais que partem de cada vértice: N n Polígonos Regulares: É todo polígono convexo que apresenta todos os lados e ângulos internos e externos com as mesmas medidas. 1) Ângulo Interno: a i 180 n n ) Ângulo Externo: a e 360 o n 3) Diagonais que passam pelo centro: Um polígono Regular só possui diagonais passando pelo centro se o número de lados for par. Se o número de lados for ímpar, o polígono não possui diagonais passando pelo centro. n d centro 4) Relação entre lado, apótema e raio do círculo circunscrito Essa relação pode ser encontrada através das relações trigonométricas no triângulo retângulo formado entre o apótema, o raio da circunscrita e a metade do lado. Veja o exemplo a seguir: 6

27 Calcule a apótema e o raio da circunferência circunscrita a um triângulo equilátero de lado 4. Esquema do problema: Para calculara apótema e o raio basta identificá-los na figura e fazer relações trignométricas. 1- Cálculo do apótema: a 3 tg30 a tg30 a 3 - Cálculo do Raio da circunferência circunscrita: 4 3 cos 30 R R R cos 30 3 Como treinamento calcule o apótema e o raio da circunferência circunscrita de um quadrado e de um hexágono regular de lado L. 7

28 1. Área das Figuras Planas I) Área dos Quadriláteros a) Retângulo: S bh. b) Quadrado: S c) Losango: S Dd. 8

29 d) Trapézio S ( ). B b h e) Paralelogramo: S bh f) Quadriláteros Quaisquer 1 S pq sen 9

30 II) Área dos Triângulos Os triângulos têm grande importância em geometria plana, por isso é interessante que conheçamos inúmeras informações sobre eles. Podemos calcular a área de um triângulo: a) Conhecendo-se a base e a altura: a. h b. h c. h S a b c b) Conhecendo-se dois lados e o ângulo entre eles: b. c.sen(a) a. c.sen(b) a. b.sen(c) S 30

31 c) Conhecendo-se os três lados: S p( p a)( p b)( p c) a b c Onde: p d) Sabendo que é equilátero: S ²

32 e) Em função do raio do círculo inscrito: S pr a b c onde:p f) Em função do raio do círculo circunscrito abc S 4R 3

33 III) Área dos Círculos a) Círculo b) Setor Circular: S R S setor R com em radianos c) Segmento Circular: S S S seg setor triângulo 33

34 d) Coroa Circular: área compreendida entre dois círculos concêntricos (mesmo centro). IV) Área de Polígonos Regulares S R r S pa p semi perímetro 34

35 QUESTÕES DE GEOMETRIA PLANA DO PROCESSO SELETIVO DA ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE (EFOMM) 1. (EFOMM) Considere um triângulo ABC retângulo em A. Se sua hipotenusa mede 50 cm e a tangente de um dos ângulos agudos vale 4/3, a soma das medidas dos catetos vale: A) 70 cm B) 40 cm C) 60 cm D) 50 3 cm E) 100 cm. (EFOMM) Uma escada foi colocada em cima de um caminhão formando um ângulo agudo com o topo de um prédio de 7m de altura. Sabendo-se que a altura do caminhão é 1,0 m e que a menor distância da base da escada para o prédio é igual à metade do comprimento da escada, logo a medida da escada em metros é: A) B) 14 3 C) 3 D) E) (EFOMM) Em um triângulo isósceles ABC de altura 16 cm relativa à base BC, inscreve-se um círculo de raio igual a 6 cm. Então podemos afirmar que a medida da base BC vale: A) 16 B) 17 C) 18 D) 4 E) 8 4. (EFOMM) A trajetória reta de um barco forma com o segmento que liga o barco e um farol um ângulo de 30. Após percorrer 100 metros, a sua trajetória forma, dessa vez, um ângulo de 60 com o segmento que liga o barco e o farol. Sabendo que o barco neste percurso de 100 metros não ficou a menor distância do farol e considerando 3 1,73, a menor distância entre a trajetória do barco e o farol vale: A) 56,0 m B) 76,0 m C) 86,6 m D) 90,0 m E) 96,8 m 35

36 5. (EFOMM) Uma escada cujos degraus têm a mesma extensão, além da mesma altura, está representada na figura abaixo, vista de perfil. Se AB = m e BCA = 30, a medida da extensão do degrau é: A) 3 m 3 B) C) D) E) m 3 3 m 6 3 m 3 m 3 6. (EFOMM) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo uma distância AB = 100 metros. Antes de iniciar a caminhada, estando no ponto A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60, e quando chega em B, verifica que o ângulo NBA é de 45. Calcule a distância em que se encontra o navio da praia. Considere que o pé da perpendicular do navio à praia encontra-se entre os pontos A e B e que 3 1,73. A) 945, metros B) 846,45 metros C) 830,33 metros D) 760,77 metros E) 700,45 metros 36

37 7. (EFOMM) O triângulo ABC, representado na figura abaixo é isósceles de base BC. Se EC = CF e x = 40, a medida y, do ângulo assinalado, é: A) 160 B) 150 C) 140 D) 130 E) (EFOMM) Dois barcos navegam em direções perpendiculares. A trajetória de um deles forma um ângulo de 18 4 com a direção indicada pela agulha da bússola, indicando o norte. Qual é a medida do ângulo agudo formado pela trajetória do outro barco e pela direção indicada pela agulha da bússola? A) B) C) D) E) (EFOMM) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 37

38 10. (EFOMM) Determine a medida do ângulo interno A no triângulo ABC da figura abaixo, sabendo-se que BD é a bissetriz do ângulo interno B e CD a bissetriz do externo C. A) 60 B) 80 C) 100 D) 110 E) (EFOMM) Tangenciando a reta r encontramos três circunferências tangentes entre si. Determine a medida do raio da circunferência menor, sabendo que as outras duas têm raios de medida igual a 5 cm. A) 1,5 B) 1,50 C) 1,75 D) 1,85 E) 1. (EFOMM) Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando a distância entre as pessoas como PP 1 sendo 63 m, o ângulo BPP ˆ 1, BPˆ P 1, tg e tg 4, a distância da lancha até a praia vale: A) 83 m B) 84 m C) 85 m D) 86 m E) 87 m 38

39 13. (EFOMM) No hexágono ABCDEF, abaixo, a medida do ângulo ABC é quatro vezes a medida do ângulo EFA. Determine a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. A) 70 B) 80 C) 85 D) 100 E) (EFOMM) A região pintada R da figura é limitada por arcos de circunferência centrados nos vértices do quadrado de lado L. A área R é: A) B) C) D) E) L L 4 L 3 4 L L 39

40 15. (EFOMM) Em uma determinada OM (Organização Militar) de terra, está localizado no ponto P de um plano, conforme representado no desenho acima, o mastro da bandeira. O topo do mastro é avistado do ponto A sob um ângulo de 30 e do plano B sob um ângulo de 45. Sabendo-se que a medida do ângulo APB é 90 e a distância entre os pontos A e B é 100 metros, calcule, em metros, a altura do mastro. Em seguida, assinale a alternativa correta. A) 0 B) 50 C) 60 D) 90 E) (EFOMM) Um triângulo isósceles ABC, com lados AB = AC e base BC, possui a medida da altura relativa à base igual à medida da base acrescida de dois metros. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 36 metros, pode-se afirmar que sua base mede: A) 8 metros B) 9 metros C) 10 metros D) 11 metros E) 1 metros 17. (EFOMM) Dois observadores que estão em posições coincidentes com os ponto A e B, afastados 3km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 30º e 75º, respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é: A) 1/3 B) 5/ C) /5 D) /3 E) 3/ 40

41 18. (EFOMM) Nas embarcações é comum utilizar os cabeços para amarrar as espias. Ao olhar de cima, visualizam-se duas circunferências. Ao dispor meia circunferência no quadrado ABCD de lado a, onde DB é a espia, obtém-se o ponto de tangência F e como centro da circunferência o ponto E. O valor do raio do cabeço, em função de a, é: A) a 1 B) a C) a 1 D) a E) a 19. (EFOMM) Um navio, ao navegar em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e calcula o ângulo LAC = 30. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75. De acordo com a representação abaixo, a distância do farol ao ponto B é: A) 8 11 milhas B) milhas C) 3 3 milhas D) 6 5 milhas E) 7 3 milhas 41

42 0. (EFOMM) Observe a figura, o raio da circunferência menor tem cm, o raio da maior tem 4 cm e o lado AB do retângulo mede 9cm. De acordo com as afirmativas abaixo, pode-se afirmar que: Dado: 3 1,73; 1,41 e 3,14 I- O lado AD é um número que está entre 11 e 1; II- A área do setor circunferência maior quando ângulo central for 60 é um número real maior que 8; III- A área do retângulo não ocupada pelos círculos é aproximadamente 38 cm². A) Apenas a afirmativa III é verdadeira B) Apenas a afirmativa II é falsa C) As afirmativas I e II são verdadeiras D) As afirmativas II e III são falsas E) Apenas a afirmativa I é verdadeira 1. (EFOMM) Um muro será construído para isolar a área de uma escola que está situada a km de distância da estação do metrô. Esse muro será erguido ao longo de todos os pontos P, tais que a razão entre a distância de P à estação e a distância de P à escola é constante e igual a. Em razão disso, dois postes, com uma câmera cada, serão fixados nos pontos do muro que estão sobre a reta que passa pela escola e é perpendicular à reta que passa pelo metrô e pela escola. Então, a distância entre os postes, em km, será: A) B) C) 3 D) 4 E) 5 4

43 . (EFOMM) Considere um triângulo retângulo de catetos 9 cm e 1 cm. A bissetriz interna relativa à hipotenusa desse triângulo mede: A) 36 7 B) 5 7 C) 4 15 D) 7 5 E) (EFOMM) João construiu um círculo de papel com centro O e raio 4 cm (Figura 1). Traçou dois diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida, dobrou o papel fazendo coincidir A, O e C, conforme sugere a figura. A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na figura é igual a: 1 A) cm 3 1 B) cm 3 1 C) cm 3 1 D) 16 3 cm 3 1 E) cm 3 43

44 4. (EFOMM) Analise a figura a seguir. Seja o círculo C de raio R, onde estão dispostos n círculos tangentes a C, todos com raios 1 1 iguais a R 3, como mostra a figura acima. Assinale a opção que apresenta o valor máximo de n. Dado: A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 arccos 1 0,41rad 5. 44