Geometria Euclidiana Plana Parte I

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Geometria Euclidiana Plana Parte I Eleilton Junior - Engenharia Civil

2 O que veremos na aula de hoje? Ângulos opostos pelo vértice Propriedades dos polígonos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos

3 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Ângulos opostos pelo vértice Eleilton Junior - Engenharia Civil

4 Apresentação Na geometria plana vamos nos atentar ao método de cálculo da área das figuras geométricas planas. Sendo elas os polígonos, ou seja, figura com muitos ângulos.

5 Ângulos opostos pelo vértice Observe o desenho abaixo, de dois ângulos opostos pelo vértice (opv): a b a e b são ângulos opv (opostos pelo vértice). Vamos comprovar se são ângulos opv.

6 Ângulos opostos pelo vértice Demonstração: Queremos demonstrar que a = b, em que a é a medida de a e b é a medida de b. x a b Vemos que a + x = 180 e b + x = 180. Assim: a + x = b + x a + x x = b + x x a = b Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

7 Informações adicionais a x b y Ângulos Suplementares São definidos como os ângulos cuja Soma resulta em um ângulo raso, cujo valor é igual a 180. Ângulos Complementares São aqueles que quando somados resultam em um ângulo reto, ou seja, sua soma é igual a 90º.

8 Retas paralelas cortadas por uma reta transversal As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano e não têm ponto comum (r // s). r s a t d A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4 ângulos com s. b e c h f g

9 Retas paralelas cortadas por uma reta transversal Analisando a imagem abaixo, vemos que: o a e e b e f c e g r s a Ângulos correspondentes a = e; b = f; c = g; d = h t d b e c h f g d e h

10 Retas paralelas cortadas por uma reta transversal Analisando a imagem, vemos que: o c e e d e f o a e g b e h o a e h b e g Ângulos alternos internos c = e; d = f Ângulos alternos externos a = g; b = h Ângulos colaterais externos a + h = 180 ; b + g = 180 r s t a b c d e f h g o c e f d e e Ângulos colaterais internos c + f = 180 ; d + e = 180

11 Exercício 1 Considere m e n retas paralelas (m // n), calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado. m n 2x + 10 x + 30

12 Exercício 1 (Resolução) Analisaremos assim: m x + 30 n 2x + 10 y Como x + 30 é o ângulo opv de y, então y = x + 30 e o ângulo correspondente de y é 2x + 10, assim x + 30 = 2x + 10 x + 30 = 2x + 10 x 2x = x = x = m n

13 Exercício 2 Na figura a seguir, a e b são retas paralelas cortadas pela transversal r. Calcule as medidas de x e y sabendo que a diferença entre elas é 64. a b r y x

14 Exercício 2 (Resolução) Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, x + y = 180, e pelo enunciado x y = 64, teremos um sistema: x y = 64 x = 64 + y x + y = 180 x + y = y + y = y = y = 116 y = 58 Agora é só utilizar o valor de y em qualquer das equações, para obter x. x + 58 = 180 x = x = 122

15 Propriedade dos polígonos Polígono é uma figura fechada formada por segmentos de retas, que constituem os lados da figura. O encontro dos segmentos formam os vértices, os ângulos internos e os ângulos externos. O polígono possui lados, vértices, diagonais, ângulos internos e ângulos externos. A nomenclatura de um polígono depende do número de lados da figura.

16 Nomenclatura do polígonos A tabela abaixo contém a nomenclatura de alguns polígonos. Lados Nome Lados Nome Lados Nome 1 11 undecágono 2 12 dodecágono triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono 4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono 5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono 6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono 7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono 8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono 9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono 10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

17 Polígonos regulares Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares

18 Polígono Convexo Um polígono é convexo se os ângulos do polígono forem menores que 180, assim ele será convexo. Ângulos menores que 180 Caso tenha um ângulo com medida maior que 180 ele será classificado como não convexo ou côncavo. Ângulo maior que 180

19 Ângulos internos de um polígono Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângulos internos(s i ) é igual a (n - 2) Assim, teremos a fórmula: S i = (n - 2). 180

20 Exercício 3 Qual o valor de x nesta figura? y x

21 Exercício 3 (Resolução) Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados, utilizaremos desse valor na fórmula para obter a soma dos ângulos internos desse polígono. S i = (5-2). 180 S i = S i = 540 Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x de y y = y = y = y = 105 y x

22 Exercício 3 (Resolução) Como y + x = 180, temos: x = 180 x = x = x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Ângulos internos de polígonos regulares Para sabermos qual a medida de cada ângulo interno de um polígono regular basta saber a soma dos ângulos internos (S i ) e o número de lados (n). Em seguida, fazer o quociente entre eles. S i n

24 Ângulos externos de um polígono convexo Um ângulo externo de um polígono convexo é formado pelo prolongamento de um dos lados do polígono. O ângulo indicado pela sua medida d é um ângulo externo do triângulo ABC. A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo(s e ) é igual a 360.

25 Ângulos externos de um polígono regular Para sabermos a medida de cada ângulo externo de um polígono regular basta fazer o quociente entre a soma dos ângulos externos (S e ) e o número de lados (n). S e n = 360 n

26 Diagonais Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula: d = n. (n 3) 2

27 Quadriláteros Trapézio Paralelogramo Retângulo Losango Quadrado

28 Triângulo Equilátero Isósceles Escaleno Acutângulo Obtsângulo Retângulo

29 Triângulo AG GD = BG GF = CG GE = 2 Baricentro Ortocentro Incentro Circuncentro

30 Exercício 5 (UNESP) Considere as seguintes proposições: - todo quadrado é um losango; - todo quadrado é um retângulo; - todo retângulo é um paralelogramo; - todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas.

31 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Congruência de Triângulos Eleilton Junior- Engenharia Civil

32 Congruência de Triângulos Imagine duas figuras tal que seja possível transportar uma sobre a outra de modo que coincidam. Dizemos que essas figuras são congruentes. Ou seja, duas figuras planas são chamadas congruentes quando possuem forma, dimensões, e ângulos iguais. Nesta aula veremos o caso da congruência de triângulos.

33 Exemplo 1 Pela definição citada anteriormente, observamos que os triângulos ABC e DEF, abaixo, são congruentes.

34 Congruência de Triângulos Para indicar que dois triângulos são congruentes, como no Exemplo 1, utilizamos a seguinte notação: ΔABC ΔDEF Onde, A, B e C são os vértices correspondentes aos vértices D, E e F, respectivamente. Lados AB DE AC DF CB FE Ângulos  Dˆ Bˆ Ê Ĉ Fˆ

35 Congruência de Triângulos Notamos que a congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência entre dois triângulos. Esta congruência também pode ser indicada da seguinte forma: A D B C E F UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Casos de Congruência Para identificar se dois triângulos são congruentes, não é necessário verificar a congruência dos seis elementos. Veremos 5 casos em que a congruência de três elementos garante a congruência destes triângulos.

37 Casos de Congruência 1º caso - LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e o ângulo formado por esses lados também congruente.

38 Casos de Congruência 2º caso - LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

39 Casos de Congruência 3º caso - ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos iguais e o lado entre os ângulos congruente. X Y V T

40 Casos de Congruência 4º caso - LAA (lado, ângulo, ângulo): um lado congruente, e as congruências do ângulo adjacente e do ângulo oposto a esse lado. S Q Z L

41 Casos de Congruência 5º caso: Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então eles são congruentes.,, U H S V

42 Congruência de triângulos Portanto, através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. Chamamos esse método de raciocínio de demonstração.

43 Exercício 6 Indique os pares de triângulos congruentes. Escreva, em cada congruência, o caso que a justifica.

44 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Semelhança de Triângulos Eleilton Junior- Engenharia Civil

45 Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao mesmo tempo às duas condições: os lados correspondentes têm medidas proporcionais; os ângulos correspondentes são congruentes.

46 Semelhança de triângulos Propriedade fundamental da semelhança de triângulos Se traçamos um segmento paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado um outro triângulo, este será semelhante ao primeiro. O próximo exemplo mostra os triângulos ABC e ADE, que atendem a propriedade citada acima. Note que seus lados são correspondentes.

47 Exemplo 2

48 Critérios de semelhança 1 Critério - AAA (ângulo/ ângulo/ ângulo): Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

49 Critérios de semelhança 2 Critério - LAL (lado/ângulo/lado): Se as medidas de dois dos lados de dois triângulos são respectivamente proporcionais, e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

50 Critérios de semelhança 3 Critério - AA (ângulo/ângulo): Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.

51 Critérios de semelhança 4 Critério - LLL (lado/lado/lado): Se as medidas dos lados de dois triângulos são respectivamente proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

52 Exercício 7 Um edifício iluminado pelos raios solares projeta uma sombra de comprimento 72m. Simultaneamente, uma estaca vertical de 2,5m de altura, colocada ao lado do edifício, projeta uma sombra de comprimento 3m. Qual a Altura do edifício?

53 Exercício 7 (Resolução) SITUAÇÃO

54 Exercício 7 (Resolução)

55 Exercício 8 Qual é a medida do segmento AB? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

56 Exercício 8 (Resolução) Passo 1: Observar se os triângulos são semelhantes Passo 2: Cálculo da hipotenusa do triângulo menor BC = BC = BC = 40 BC = 40 8 BC = 5

57 Exercício 8 (Resolução) Passo 3: Usar o teorema de pitágoras para encontrar o comprimento do segmento BA BC 2 = AB = AB = AB AB 2 = AB 2 = 9 AB 2 = 9 AB = 9 AB = 3

58 Obrigado pela atenção!