SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM VARETAS

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1 SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM VARETAS Em todas as atividades é usado o Material: Varetas. Nos casos específicos onde o trabalho é realizado com varetas congruentes será especificado como Material: varetas do mesmo comprimento. Neste caso, cada vareta representa um segmento de uma unidade de comprimento. Notação: uma unidade, 1u. Observação. Em casos onde é utilizado o Material: varetas do mesmo comprimento, chamamos, respectivamente, de triângulo equilátero de ordem n e quadrado de ordem n a esses polígonos se eles têm todos os lados formados por n varetas congruentes, isto é, se cada um dos lados desses polígonos mede n unidades, nu. 1. Representação de retas paralelas e de retas concorrentes. i. Retas paralelas ii. Retas concorrentes 2. Representação de planos mediante retângulos e das regiões do plano determinadas por conjuntos formados por 1 reta (I), por 2 retas (II) e por 3 retas (III). As regiões do plano têm identificação numérica. I II III Representação em tabela. Retas Regiões no plano

2 3. Representação de pontos de intersecção possíveis em conjuntos de retas dados. Retas Pontos de intersecção das retas 3 retas 0 ponto 1 ponto 2 pontos 3 pontos Não existe 4 retas 0 ponto 1 ponto 2 pontos 3 pontos 4pontos 5 pontos 0 ponto 1 ponto Não existe 2 pontos Não existe 3 pontos 5 retas 4 pontos 5 pontos 6 pontos 7 pontos 8 pontos 9 pontos 10 pontos

3 4. Regiões poligonais justapostas no plano, determinadas por quatro, cinco ou seis retas: Representação dos dados em tabela. Retas Regiões poligonais Classificação e representação de poligonais: i. Aberta simples ii. Aberta não simples iii. Fechada simples iv. Fechada não simples

4 6. Classificação e representação de ângulos: i. Ângulo agudo ii. Ângulo reto iii. Ângulo obtuso. 7. Pares de retas perpendiculares entre si: 8. Representação dos ângulos retos formados por dois, três, quatro, cinco ou seis retas. Representação dos dados em tabela. Retas Ângulos retos

5 9. i. Ângulos opostos pelo vértice ii. Ângulos complementares iii. Ângulos suplementares 10. Classificação de polígonos pela convexidade: i. Polígono convexo ii. Polígono não convexo. 11. Classificação dos polígonos pelo número de lados: triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono

6 12. Representação das diagonais de polígonos. 13. O número N de diagonais de um polígono P com n lados é dado por: (Número de diagonais do polígono P) N = n(n 3) Polígono equiangular e não equilátero. Este polígono tem dois pares de lados de diferente comprimento. Os lados opostos são iguais. 15. Polígono equilátero e não equiangular. Este polígono tem dois ângulos agudos e os outros dois ângulos são obtusos. Os ângulos opostos são iguais. 16. Um método para efetuar a soma das medidas dos ângulos internos de polígonos convexos consiste na triangulação do polígono. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, portanto a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono e igual ao produto do número de triângulos que contém multiplicado por 180º.

7 17. A soma S das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo P de n lados é dada por: S = (n-2) Representação dos ângulos externos de um pentágono convexo. A soma S dos ângulos externos de um pentágono convexo é igual a: S = 360º 19. A soma S das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada por S = 360º 20. Representação de polígonos regulares convexos, ordenados pelo número de lados. triângulo equilátero quadrado pentágono regular hexágono regular heptágono regular octógono regular 21. A medida de um ângulo interno α de um polígono convexo regular de n lados é dada por med(α ) = (n 2) 180 n

8 22. Na figura estão representados os seis ângulos centrais do hexágono regular, todos eles com vértice no centro do polígono. Todos os ângulos centrais de um polígono regular têm a mesma medida. Um ângulo central α do hexágono regular mede 360, isto é, med(α ) = 60º Representação de polígonos regulares não convexos. decágono regular não convexo dodecágono regular não convexo 24. Classificação de triângulos pelos lados. triângulo equilátero triângulo isóscele triângulo escaleno 25. Classificação dos triângulos pelos ângulos. triângulo acutângulo triângulo retângulo triângulo obtusângulo

9 26. Representação de triângulos justapostos no plano que são determinados por três, por quatro, por cinco ou por seis retas. Representação dos dados em tabela. Retas Triângulos Representação e classificação dos triângulos. Triângulo Acutângulo Retângulo Obtusângulo Equilátero Não existe Não existe Isóscele Escaleno

10 28. Construção de triângulos equiláteros de ordem um, de ordem dois, de ordem três e com divisões internas para a formação de todos os triângulos de ordem um possível. Os resultados da contagem do número de varetas utilizadas na construção de cada triângulo e da contagem do número de triângulos de lado 1u contidos em cada um dos triângulos construídos são representados na seguinte tabela. Varetas em cada lado do triângulo Total de varetas no triângulo subdividido Triângulos de ordem um Classificação e contagem dos triângulos de cada tipo representados na figura. Triângulos de ordem um: 9 Triângulos de ordem dois: 3 Triângulos de ordem três: 1

11 30. Determinação do menor número de varetas necessárias para construir 1, 2, 3, 4, 5,... triângulos equiláteros justapostos em uma linha, com lados medindo 1u. Representação dos dados de em tabela. Triângulos Varetas i. Determinação do menor número de varetas necessárias para construir 1,2, 3, 4, 5, 6,... rodas de nora justapostas em uma linha, formadas por seis triângulos equiláteros com lados medindo 1u. ii. Representação dos dados de (i) em tabela. Número de rodas de nora Número de varetas

12 32. Com triângulos equiláteros podem ser construídas diversas figuras planas utilizando diferentes formulações: unindo somente os vértices, unindo lado com vértice, unindo lado com lado, etc. Observação. As construções acima também podem ser realizadas com cada um dos outros tipos de triângulos e também combinando peças pertencentes a dois ou mais tipos de triângulos. 33. Representação e identificação dos distintos tipos de paralelogramos. quadrado retângulo losango ou rombo romboide 34. Classificação e representação dos diferentes tipos de trapézios. trapézio isóscele trapézio retângulo trapézio escaleno

13 35. Representação e identificação de quadriláteros que não são paralelogramos ou trapézios. pipa seta trapezoide 36. Construção de diferentes tipos de quadriláteros e representação em uma tabela. Quadrilátero Quatro ângulos iguais Ângulos dois a dois iguais Outros casos Quatro lados iguais Não é possível quadrado losango ou rombo Lados dois a dois iguais retângulo paralelogramo pipa seta Outros casos Não é possível trapézio isósceles Várias possibilidades

14 37. Classificação e contagem dos quadrados de cada tipo representados na figura formada por quarenta varetas. Quadrados de ordem um: 16 Quadrados de ordem dois: 9 Quadrados de ordem três: 4 Quadrados de ordem quatro: Representação de polígonos congruentes. 39. Representação de dois triângulos equiláteros congruentes com somente cinco varetas.

15 40. Representação das três retas de simetria do triângulo equilátero e das quatro retas de simetria do quadrado. 41. i. Representação de polígonos semelhantes. ii. Representação de polígonos semelhantes e não homotéticos.

16 42. Cálculo do perímetro P de cada uma das seguintes figuras planas, levando em conta que todas as varetas utilizadas na representação são iguais e que o comprimento das varetas foi adotado como uma unidade de comprimento, 1u. P = 7u P = 8u P = 8u 43. Construção de um losango ou rombo utilizando dezesseis varetas, este quadrilátero convexo tem área igual a do retângulo formado por esse mesmo número de peças.

17 44. Construção de figuras planas formadas com doze varetas e com as áreas indicadas. Apresentamos dois exemplos para A = 3u², A = 4u², A = 5u², A = 6u², A = 7u², A = 8u² e um exemplo para A = 9u². - A = 3u² - A = 4u² - A = 5u²

18 - A = 6u², - A=7u² A = 8u² - A = 9u²

19 45. Dissecção de um quadrado construído com dezesseis varetas em quatro superfícies equivalentes, usando um número ímpar de varetas. O quadrado original foi seccionado em quatro superfícies equivalentes: um quadrado, um retângulo e dois hexágonos irregulares não convexos congruentes, todas elas com a mesma área A = 4u². 46. O número de varetas que devem ser removidas para que em cada uma das seguintes figuras não fique nenhum quadrado são:... uma vareta... três varetas... cinco varetas

20 47. Construção da curva floco de neve.

21 48. Construção da curva antifloco de neve.