CAPÍTULO 5 POLÍGONOS. é denominada linha poligonal. A 3 D B A 2 A 4 A 5 A 1. A n-1. A n

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1 PÍTULO 5 POLÍGONOS efinição 5.1: Sejam 1, 2,..., n n pontos coplanares dos quais três quaisquer deles não são colineares. união dos segmentos, , 3 4,..., n 1 n é denominada linha poligonal n-1 n Os pontos 1, 2,..., n são os vértices da poligonal e os segmentos correspondentes são os seus lados. efinição 5.2: Um polígono é uma linha poligonal que satisfaz as seguintes condições: i) O ponto 1 coincide com o ponto n ; ii) ois lados quaisquer da poligonal ou não se interceptam ou se interceptam apenas em seus extremos. Polígono Polígono F F

2 ap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 83 Polígono não é um polígono Um polígono com n vértices, tem n lados e n ângulos. hama-se perímetro de um polígono a soma dos comprimentos dos seus lados. efinição 5.3: Um polígono é dito convexo se o mesmo fica contido em um mesmo semi-plano com respeito a reta que contém qualquer um de seus lados. Polígono convexo Polígono não convexo Os polígonos convexos recebem denominações especiais de acordo com o número de seus lados: Um polígono com 3 lados chama-se triângulo. Um polígono com 4 lados chama-se quadrilátero. Um polígono com 5 lados chama-se pentágono. Um polígono com 6 lados chama-se hexágono. Um polígono com 7 lados chama-se heptágono. Um polígono com 8 lados chama-se octógono. Um polígono com 9 lados chama-se eneágono. Um polígono com 10 lados chama-se decágono.

3 ap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 84 Um polígono com 11 lados chama-se undecágono. Um polígono com 12 lados chama-se dodecágono. Um polígono com 15 lados chama-se pentadecágono. Um polígono com 20 lados chama-se icoságono. Os demais polígonos não têm nomes especiais. São denominados apenas por polígono de 14 lados, de 17 lados, etc. efinição 5.4: Um polígono regular é aquele que tem os lados congruentes e os ângulos também congruentes. efinição 5.5: iagonal de um polígono é o segmento que une dois vértices não consecutivos. e são diagonais do polígono. Teorema 5.1: O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela fórmula: d = n( n 3) 2 Prova: e fato, observe que de cada vértice podemos traçar tantas diagonais quantos são os mesmos, menos três, pois não podemos traçar diagonal para o próprio vértice nem para os dois que lhes são contíguos, isto é, cada vértice dá origem a n - 3 diagonais. Os n vértices fornecerão

4 ap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 85 portanto, n(n 3) diagonais. Finalmente, observe que cada diagonal foi computada duplamente. Portanto, a expressão n( n 3) d = 2 fornece o número de diagonais do polígono. efinição 5.6: enominamos de ângulo externo de um polígono ao suplemento de qualquer um de seus ângulos internos. m ( mˆ é um ângulo externo do polígono ) Teorema 5.2: soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada pela fórmula S i = 180 o.(n 2) Prova: s diagonais traçadas de um dos vértices de um polígono convexo dividem o mesmo em n - 2 triângulos. soma dos ângulos internos desses triângulos fornece a soma dos ângulos internos do polígono. ssim, S i = 180 o (n 2) Se o polígono for regular, todos os ângulos internos são congruentes e cada um mede, por conseguinte, a i = S i ( n 2) = n n

5 ap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 86 Teorema 5.3: soma dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a 360 o. i 1 e 1 Prova: om efeito, a soma de um ângulo interno com o ângulo externo corresi 2 pondente é igual a 180 o, isto é, e 2 i 1 + e 1 = 180 o i 3 i 2 + e 2 = 180 o i 3 + e 3 = 180 o e i n + e n = 180 o Somando membro a membro estas igualdades, obtemos: (i 1 + i 2 + i i n ) + (e 1 + e 2 + e e n ) = 180 o.n Isto é, Portanto, S e = 180 o n S i = 180 o n 180 o (n 2) S e = 360 o onde S e indica a soma dos ângulos externos. Se o polígono for regular, então cada ângulo externo vale e = n

6 ap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 86 XRÍIOS 01. alcular a soma dos ângulos internos de um polígono de 16 lados. 02. Qual a medida de um ângulo externo de um polígono regular de 20 lados? 03. Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo externo vale 36 o? 04. soma dos ângulos internos de um polígono regular é de 2880 o. alcular o valor de um ângulo interno. 05. s bissetrizes de dois ângulos adjacentes a um dos lados de um polígono regular, formam um ângulo de 10 o. alcular o número de lados desse polígono. 06. Num eneágono regular, calcular o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos adjacentes a um mesmo lado. 07. alcular o número de lados de um polígono regular, sabendo-se que um ângulo interno excede ao externo de 100 o. 08. Num polígono regular, as mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo de 36 o. Quantas diagonais distintas tem esse polígono? 09. eterminar dois polígonos regulares, sabendo-se que: i) seus ângulos internos estão na razão de 3 para 5; ii) os números de seus lados estão na razão de 1 para Na figura abaixo, temos um hexágono regular e um quadrado. alcular a medida do ângulo x.

7 ap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama Para recobrir um piso, uma pessoa deseja usar ladrilhos poligonais. entre os polígonos abaixo, indique aqueles que se adequam a esse fim. a) Retângulos d) Pentágonos regulares b) Triângulos eqüiláteros e) Quadrados c) Hexágonos regulares RSPOSTS o o o Quadrado e dodecágono o 11. (a), (b), (c), (e).