ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO. 1- Ângulos Definição: Chama-se ângulo à porção de plano limitada por duas semirretas com a mesma origem.

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO 1ª Ficha Informativa MATEMÁTICA - A 10º Ano 2012/ Ângulos Definição: Chama-se ângulo à porção de plano limitada por duas semirretas com a mesma origem. Definição: A medida de amplitude de um ângulo é a propriedade comum a todos os ângulos que são geometricamente iguais. Classificação de ângulos: Ângulo Nulo Ângulo Agudo Ângulo Recto Ângulo Obtuso Ângulo Raso Ângulo Giro»»» Dois ângulos dizem-se complementares se a soma das suas amplitudes for de 90º»»» Dois ângulos dizem-se suplementares se a soma das suas amplitudes for de 180º 1 /8

2 2- Triângulos Definição: Chama-se triângulo a um polígono com três lados. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º 2.1. Classificação de Triângulos : Classificação quanto aos lados Triângulo Equilátero - tem os três lados geometricamente iguais. Triângulo Isósceles tem dois lados geometricamente iguais e um diferente Triângulo Escaleno tem os três lados diferentes Classificação quanto aos ângulos: Triângulo Retângulo- tem um ângulo recto Triângulo Acutângulo- tem os três ângulos internos agudos. Triângulo Obtusângulo - tem um ângulo interno obtuso 2.2. Casos de Igualdade de Triângulos 1º Caso- Dois triângulos são geometricamente iguais se os três lados de um são geometricamente iguais aos três lados do outro. 2º Caso- Dois triângulos são geometricamente iguais se têm dois lados geometricamente iguais e o ângulo por eles formado também geometricamente igual. 3º Caso- Dois triângulos são geometricamente iguais se têm um lado geometricamente igual e os ângulos adjacentes a esse lado também geometricamente iguais. 2 /8

3 2.3. Casos de Semelhança de Triângulos 1º Caso Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois ângulos geometricamente iguais. 2º Caso Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado geometricamente igual 3º Caso Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, os três lados diretamente proporcionais. 3- Semelhanças Semelhança de razão r é qualquer aplicação do plano que transforma ângulos em ângulos geometricamente iguais e segmentos de reta em segmentos de reta de comprimentos diretamente proporcionais. Se r > 1 a semelhança diz-se uma ampliação Se r < 1 a semelhança diz-se uma redução Se r = 1 a semelhança diz-se uma isometria Se dois poliedros são semelhantes de razão r, então: A razão entre dois segmentos de reta homólogos é r A razão entre áreas homólogas é r 2 A razão entre os volumes é r 3 4- Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos 5- Polígonos Polígono é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Um polígono regular é um polígono com os lados e ângulos internos todos geometricamente iguais. 6- Quadriláteros Quadriláteros são polígonos que têm quatro lados. ( A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360º) 3 /8

4 6.1. Paralelogramos - têm os lados opostos paralelos e iguais. Paralelogramo Obliquângulo Losango tem os quatro lados iguais Retângulo tem quatro ângulos retos Quadrado tem os lados iguais e os ângulos retos 6.2. Trapézios têm somente dois lados opostos paralelos Trapézio isósceles - tem os lados não paralelos iguais Trapézio rectângulo - tem dois ângulos retos Trapézio escaleno tem os lados todos diferentes 6.3. Outros quadriláteros convexos não têm lados paralelos. PROPRIEDADES: Em qualquer paralelogramo os lados opostos são iguais Em qualquer paralelogramo, as diagonais bissetam-se, isto é, dividem-se ao meio Em qualquer losango as diagonais são perpendiculares e dividem-se ao meio As diagonais de um quadrado são iguais, são perpendiculares e bissectam-se Num trapézio isósceles as diagonais são iguais A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º Em qualquer paralelogramo, que não seja retângulo, a soma das amplitudes dos ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares, isto é, é sempre igual a 180º Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais 4 /8

5 NOTAS A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dada pela expressão S ( n2) Se um polígono de n lados for regular, a amplitude de um ângulo interno α é dada pela expressão ( n 2) 180 n 0 7- SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 7.1. Classificação dos Sólidos Poliedros Sólidos com todas as faces planas Poliedros Regulares --- Sólidos cujas faces são polígonos regulares geometricamente iguais e os seus ângulos poliedros (ângulo poliedro convexo é a porção de espaço formada por três ou mais semirectas com a mesma origem) têm o mesmo número de faces Não Poliedros Sólidos com alguma superfície curva PRISMAS Os prismas são poliedros com duas bases geometricamente iguais e paralelas. As suas faces laterais são paralelogramos Prisma reto Prisma reto regular Prisma oblíquo As arestas são perpendiculares às bases. As faces laterais são retângulos As faces laterais são retângulos.as bases são polígonos regulares As arestas laterais são oblíquas às bases 5 /8

6 PIRÂMIDES Pirâmides são poliedros com uma só base poligonal. As suas faces laterais são triângulos. Pirâmide reta Pirâmide reta regular Pirâmide oblíqua As faces laterais são triângulos isósceles As faces laterais são triângulos isósceles. A base é um polígono regular As faces laterais não são triângulos isósceles 8- Retas e Planos Axiomas Dois pontos definem uma reta. Três pontos não colineares definem um plano. Uma reta com dois pontos num plano está contida nesse plano. A intersecção de dois planos concorrentes é uma reta. Por um ponto exterior a uma reta passa uma e uma só reta que lhe é paralela. Um plano pode ser definido por: três pontos não colineares; uma reta e um ponto exterior à reta; duas retas estritamente paralelas; duas retas concorrentes. 6 /8

7 POSIÇÃO RELATIVA DE DOIS PLANOS POSIÇÃO RELATIVA DE UMA RETA E UM PLANO POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS 7 /8

8 CRITÉRIOS DE PARALELISMO E DE PERPENDICULARIDADE Critério de paralelismo entre reta e plano Critério de paralelismo entre dois planos Critério de perpendicularidade entre reta e plano Critério de perpendicularidade entre dois planos 8 /8

9 Recorde que: A, B representam dois pontos. AB representa a reta que passa pelos pontos A e B, pode ser representada por a, b ou por qualquer letra minúscula ABC representa o plano definido pelos pontos A, B e C. AB representa uma semirreta com origem no ponto A e que passa pelo ponto B ( AB BA) [AB] representa um segmento de reta de extremos os pontos A e B ( [AB]=[BA] ) AB representa a medida de comprimento do segmento de reta [AB] F I M 9 /8