Turma preparatória para Olimpíadas.

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Edson Lucas Regueira Igrejas
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1 p: João Alvaro w: e: Turma preparatória para Olimpíadas. TRIÂNGULOS - V01 DEFINIÇÃO Sejam três pontos não colineares A, B e C, o triângulo ABC é uma figura geométrica formada pela interseção dos semiplanos (AB, C), (BC, A) e (CA, B) onde (XY, Z) é o semiplano de origem XY e que contém o ponto Z. ELEMENTOS I. Vértices: São cada um dos pontos A, B, C não colineares. II. Lados: São os segmentos de reta AB, BC e BC que unem os três pontos não colineares. III. Ângulos internos: I A, I B e I C 1

2 IV. Ângulos externos: E A, E B e E C RETAS PARALELAS Retas paralelas são retas coplanares que não se interceptam. I. Ângulos determinados em duas retas cortadas por uma secante. a) Ângulos alternos: internos: 3 e 5, 4 e 6. externoe: 1 e 7, 2 e 8. b) Ângulos colaterais: internos: 3 e 6, 4 e 5. externoe: 1 e 8, 2 e 7. c) Ângulos correspondentes: II. Teoremas 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. 2

3 T1. Duas retas coplanares são paralelas se, e somente se, os ângulos alternos são congruentes. T2. Duas retas coplanares são paralelas se, e somente se, os colaterais são suplementares. T3. Duas retas coplanares são paralelas se, e somente se, os correspondentes são congruentes. T4. O ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos colaterais é reto. T5. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 o T6. Em todo triângulo externo vale a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. T7. A soma dos ângulos externos de um triângulo é 360 o. 3

4 EXERCÍCIOS DE EMBASAMENTO: 1. Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Determine x em cada uma delas: a). g). b). c). 2. Na figura abaixo, calcule x + y, sabendo-se que r s e z t d). e). 3. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule 3x + y. f). 4. Na figura abaixo, calcule x em função de a, b e c. 4

5 5. Na figura abaixo, calcule a soma dos ângulos assinalados. a). 6. Na figura abaixo, calcule α + β + λ + θ. b). 5

6 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS. Dois triângulos são congruentes quando podem vir a coincidir por superposição. OBS: Se dois triângulos são congruentes, então qualquer propriedade referente a um, pode ser usada no outro. Casos de congruência: a) Lado, Lado, Lado (L.L.L) AB A B, BC B C e AC A C ABC A B C (L.L.L) b) ângulo, lado, ângulo (A.L.A) Â Â e AB A B e B B ABC A B C (A.L.A) 6

7 c) Lado, ângulo, Lado (L.A.L) AB A B, Â Â e AC A C ABC A B C (L.A.L) 7

8 CEVIANAS Ceviana é qualquer reta que contém um vértice de um triângulo. I. Bissetriz interna: a) As três bissetrizes internas concorrem num único ponto chamado incentro. b) O incentro é o único ponto interior ao triângulo que equidista dos lados. c) O incentro é o centro do círculo inscrito. d) Todo triângulo é inscritível, isto é, todo triângulo admite um único círculo inscrito. II. Bissetriz externa: a) As bissetrizes externas concorrem, duas a duas, em três pontos chamado exincentro. b) Cada ex-incentro é o ponto de encontro de duas bissetrizes externas e uma interna. 8

9 c) Os ex-incentros são os centros dos círulos ex-inscritos. d) Todo triângulo possui três círculos ex-inscritos. III. Altura a) As três alturas concorrem em um único ponto chamado ortocentro. b) Os pés das alturas são vértices de um triângulo denoinado Triângulo órtico ou Triângulo Pedal c) A localização do ortocentro depende do tipo do triângulo. IV. Mediana a) As três medianas de um triângulo concorrem em um único ponto chamado baricentro. b) O baricentro divide a mediana na razão de 2 : 1 1. Mostre que as medianas concorrem em um único ponto. 2. Mostre que o baricentro divide a mediana na razão 2 : 1 Demonstrações: 9

10 MEDIATRIZ As mediatrizes de um triângulo, são as mediatrizes de cada um dos seus lados. a) As três mediatrizes concorrem em um único ponto chamado circuncentro. b) O circuncentro é o único ponto do plano equidistânte dos vértices do triângulo. c) O circuncentro é o centro do círculo circunscrito. d) Todo triângulo é circunscritível, isto é, todo triângulo admite um único círculo circunscrito. BASE MÉDIA Segmento que une os pontos médios dos lados de um triângulo. a) A base média é paralela à base do triângulo. b) A base média mede metade da base do triângulo. 10

11 EXERCÍCIOS DE EMBASAMENTO. 1. Na figura AB = AC e AD = AE. Calcule x. 5. Na figura abaixo, AB = AC e o b e ĉ? 2. Na figura abaixo, tem-se AB = AC e AD = DB = BC. Calcule x. 6. As dimensões do triângulo ABC são AB = 11, AC = 18 e BC = 20. Calcule o perímetro do triângulo AMN sabendose que MN é paralelo a BC, que OB é bissetriz do ângulo A BC e que OC é bissetriz do ângulo AĈB 3. Na figura abaixo, tem-se AM = AQ e BC = CD = DE = EF = FA. Calcule x 7. Na figura abaixo, os triângulos ABM e BCP são equiláteros e ABCD é um quadrado. Calcule o ângulo α 4. Na figura abaixo, r é paralela a s, AM = AQ e BM = BP. Calcule o ângulo α 8. Prove que no triângulo retângulo com ângulos de 30 o e 60 o, o cateto oposto ao ângulo de 30 o tem comprimento igual a metade da hipotenusa. 11

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