MATEMÁTICA III. Pág 404. Prof. Eloy Machado 2015 EFMN

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "MATEMÁTICA III. Pág 404. Prof. Eloy Machado 2015 EFMN"

Maria Eduarda de Carvalho Castro
5 Há anos
Visualizações:

1 MATEMÁTICA III Pág EFMN Prof. Eloy Machado

2 ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES

3 ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES

4 ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES

5 TRIÂNGULOS

6 ESTRUTURAS TRIANGULARES

9 O QUE SÃO TRIÂNGULOS CONGRUENTES? Informalmente: São triângulos iguais. Ou seja... São triângulos distintos, porém de mesmo tamanho e mesma forma.

10 O QUE SÃO TRIÂNGULOS CONGRUENTES? Formalmente: Dois triângulos são congruentes se os seus lados e ângulos forem respectivamente congruentes. AB DE A D ABC DEF BC EF e B E AC DF C F

11 RESUMINDO Os triângulos são congruentes! Existem 6 congruências entre eles! (3 entre lados e 3 entre ângulos). Só conheço 3 congruências... (critérios de congruência) 6 congruências conhecidas (lucro = 3 congruências novas!)

12 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA Para que servem os critérios de congruência: Conhecemos pelo menos 3 das 6 congruências? N S Temos um critério válido de congruência? S Os triângulos são congruentes! N lucro Podemos deduzir as 3 congruências que faltavam. Não podemos concluir nada.

13 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA Os critérios válidos de congruência são 5: LAL (lado, ângulo, lado) 2 lados e o ângulo entre eles são congruentes.

14 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA ALA (ângulo, lado, ângulo) 2 ângulos e o lado entre eles são congruentes.

15 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA LLL (lado, lado, lado) 3 lados são congruentes.

16 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto) 1 lado e 2 ângulos (um deles oposto ao lado) são congruentes.

17 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA LLAr (lado, lado, ângulo reto) (ou: caso especial Hipotenusa-Cateto) um cateto e a hipotenusa são congruentes.

18 CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA Resumindo: 5 critérios de congruência 1. L.A.L. 2. A.L.A. 3. L.L.L. 4. L.A.Ao. 5. L.L.Ar. (ou H.C.)

19 Se ABM ACM B = C ( Lucro ) Logo, os ângulos da base do triângulo isósceles são congruentes. Os triângulos ABM e ACM são congruentes por LLL, pois: AB = AC CM = BM (L) (L) (definição de triângulo isósceles) (por hipótese) AM = AM (L)

20 Outras consequências: 90º 90º ABM ACM BAM = CAM (então, AM é bissetriz...) BMA = CMA importante: como eles são suplementares, cada um é reto. (então, AM é altura...) Conclusão: No triângulo isósceles, mediana, bissetriz e altura relativos à base coincidem

21 P Os triângulos PMA e PMB são congruentes por LAL, pois: A M B AM = BM PMA = PMB PM = PM (L) (A) (L) (pela definição de mediatriz) (retos, pela definição de mediatriz) Assim, qualquer ponto P da mediatriz equidista de A e B PMA PMB PA = PB ( Lucro )

22 se POA POB POA = POB ( Lucro ) Então, OP é bissetriz do ângulo AOB. Os triângulos PAO e PBO são congruentes por LLAr, pois: OP = OP PA = PB PAO = PBO (L) (L) (Ar) (por hipótese) (retos, pela definição de distância de ponto a reta)

23 Quanto aos lados: CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Escaleno Não possui lados congruentes Isósceles Possui 2 lados congruentes Equilátero Possui 3 lados congruentes 60 o (e não possui ângulos congruentes) base (ângulos da base são congruentes) 60 o 60 o (todos os ângulos internos medem 60º)

24 Quanto aos ângulos: CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Acutângulo possui três ângulos internos agudos Retângulo Possui um ângulo interno reto Obtusângulo Possui um ângulo interno obtuso cat cat Hip + = 90º

25 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS escalenos Conjunto dos Triângulos isósceles equiláteros

26 a) B = 2C b) escaleno A = 3C A + B + C = 180º (não possui ângulos congruentes) 3C + 2C + C = 180º 6C = 180º C = 30º B A = 60º = 90º retângulo (possui um ângulo reto) A = 90º, B = 60º e C = 30º

27 Isósceles: ABD (AB = AD) 65º 65º

28 Isósceles: ABD ACD (AB = AD) (AC = AD) 75º 65º 65º 75º

29 Isósceles: ABD ACD ABC (AB = AD) (AC = AD) (AC = AB) 50º 75º 65º 50º 65º 75º

30 Isósceles: ABD ACD ABC (AB = AD) (AC = AD) (AC = AB) ABE 50º 75º (BAE = ABE = 50º) 65º 50º 65º 75º

31 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 1º modo: A A = A + B B B C C + C = 180º A + B + C = 180º + C = A + B + C

32 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 2º modo: A r B A Y B C C X Por C, traçamos a reta r, paralela à AB. = X + Y X Y = B (correspondentes) = A (alternos internos) = A + B

33 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO A B A B C C = A + B A medida de ângulo externo equivale à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele!

34 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO TREINAMENTO: Determine o valor de x 60º 50º x x = x = 110º 3x + 4x = 140 7x = 140º x = 20º 140º 3x 4x

35 ângulo externo ( AED) 3 3

36 ângulo externo ( ABD)

37 ABC: = 180º 18 = 180º = 10º

39 Quanto aos lados: CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS escalenos Conjunto dos Triângulos equiláteros isósceles

40 Os triângulos ABM e ACM são congruentes por LLL, pois: AB = AC CM = BM AM = AM (L) (L) (L) Se ABM ACM B = C ( Lucro ) Logo, os ângulos da base do triângulo isósceles são congruentes.

Documentos relacionados

Triângulos classificação

Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: