EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS

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1 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75 E 45. Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base. Primeiro transporte o ângulo de 75 para o vértice A. Em seguida, transporte o ângulo de 45 para o vértice B, encontrando assim o vértice C do triângulo.

2 2 Temos então o triângulo ABC. 2. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO RETÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 1. Seja a base AB a altura H do triângulo do exercício 1. Levante por A uma perpendicular r à base AB.

3 3 Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vértice C. Ligue B a C formando assim o triângulo ABC. O triângulo ABC possui a mesma área que o triângulo do exercício 1. Ele possui a mesma área porque as bases e as alturas são iguais e é um triângulo retângulo porque possui um ângulo reto CÂB.

4 4 3. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 2. Seja a base AB e a altura do triângulo do exercício 2. Levante por A uma reta r perpendicular à base AB. Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C. Em seguida, trace por C uma reta s paralela à base do triângulo.

5 5 Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vértice A. Depois ligue C' ao vértice B. O triângulo ABC' possui a mesma área que o triângulo do exercício 2 porque possui a mesma base e a mesma altura. O triângulo ABC' é obtusângulo porque possui um ângulo obtuso.

6 6 4. ENCONTRAR O BARICENTRO, ORTOCENTRO, INCENTRO E CIRCUNCENTRRO DO TRIÂNGULO DO EX. 3. Seja o triângulo ABC. BARICENTRO Ligue o vértice C ao ponto médio do lado oposto. Depois ligue os outros dois vértices aos pontos médios do lado oposto. Na interseção estará o baricentro O 1. ORTOCENTRO Levante por A uma perpendicular ao lado BC. Levante pelos outros vértices perpendiculares a cada lado. Na interseção das perpendiculares marque o ortocentro O.

7 7 INCENTRO Trace a bissetriz do ângulo CÂB (u). Depois trace as bissetrizes dos outros dois ângulos. Na interseção encontrarás o Incentro O 2. CIRCUNCENTRO Trace a mediatriz do lado BC. Depois trace as mediatrizes dos outros lados. Na interseção das mediatrizes estará o circuncentro O 3.

8 8 5. CIRCUNSCREVER E INSCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA NO TRIÂNGULO O EX. 3. Seja o triângulo ABC. Trace as bissetrizes x, v e u. Coloque o compasso na intersecção das bissetrizes (O 2 ) e trace a circunferência inscrita. Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O 3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita. Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque a ponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O 3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita. Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O 3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

9 9 6. ENCONTRAR A RETA DE "EULER" DO TRIÂNGULO DO EX. 3. Seja o triângulo ABC. Encontre o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do triângulo. Note que esses três centros do triângulo ficam alinhados. Então trace agora uma reta que passe por esses três centros.

10 10 7. ENCONTRAR O TRIÂNGULO "ÓRTICO" DO TRIÂNGULO DO EX. 3. Seja o triângulo ABC. Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o ortocentro. Marque os pontos P, N, M na interseção das alturas com os lados. O triângulo órtico é formado pelos pontos PMN. 8. CONSTRUIR O ARCO CAPAZ DE UM SEGMENTO E UM ÂNGULO DADOS. Trace o segmento AB. Construa o ângulo (65, por exemplo) com vértice no ponto A ou B. Trace a mediatriz do segmento AB. Agora, trace o ângulo dado na extremidade e para o lado de baixo do segmento AB. Trace uma reta perpendicular ao lado do ângulo em B, encontrando o ponto O onde a perpendicular corta a mediatriz.

11 11 Centre o compasso em O e com abertura OB ou OA trace o arco capaz do ângulo de 65. Veja na figura abaixo que foi escolhido aleatoriamente um ponto C do arco e dele partiram duas retas que passam por A e por B formando assim um ângulo ACB igual a 65. Veja na figura abaixo que o ponto C do arco que é o vértice do ângulo ACB foi deslocado para a esquerda. Verifique que o ângulo permanece de igual valor (65 ). Conclui-se então, que este arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que enxergam o segmento AB sob um ângulo de CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 30 ; 4,5). São dados o ângulo de 30, o lado b e o lado a. Desenhe o lado AB. Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A, e com qualquer abertura trace um arco que corte AB no ponto F. Coloque a ponta seca do compasso em F e com a mesma abertura corte o arco dado construindo assim o ângulo de 60. Construa a bissetriz do ângulo de 60 encontrando assim a reta r que passa pelo lado do triângulo. Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.

12 12 Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C. Ligue C com B.

13 CONSTRUIR UM TRIÂNGULO (RETÂNGULO E ISÓSCELES) SENDO DADO A ALTURA 3 CM. Seja h a altura do triângulo retângulo isósceles. Construa uma semi-reta Ar horizontal e na sua extremidade A levante uma perpendicular s. Coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte as duas semi-retas As e Ar. Marque o vértice B em As. Marque o vértice C em Ar.

14 14 Temos então o triângulo ABC. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 11. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO SENDO DADA A ALTURA 3 CM. Seja a altura h do triângulo eqüilátero. Inicie traçando uma semi-reta vertical Mr. Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a altura h dada, encontrando assim o vértice A do triângulo.

15 15 Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com uma abertura qualquer trace um arco que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o primeiro arco cortar a semi-reta Mr e corte o arco anterior em dois pontos. Em seguida, trace as bissetrizes dos ângulos, obtendo assim dois ângulos de 30.

16 16 Agora, trace por M uma perpendicular à semi-reta Mr, encontrando assim os pontos B e C. Temos então, o triângulo eqüilátero ABC. 12. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ISÓSCELES SENDO DADOS a, Â (3,0 ; 45 ). Seja o lado a e o seu ângulo oposto.

17 17 Desenhe o lado a encontrando assim os vértices B e C do triângulo. Centre o compasso no vértice do ângulo de 45 e com abertura qualquer trace um arco que corte os dois lados do ângulo. Depois, com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no vértice B e trace um arco que corte o segmento BC. Depois coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou o ângulo e com abertura igual á corda trace um arco. Em seguida, com a mesma abertura, coloque aponta seca do compasso onde o arco cortou o segmento BC e corte o arco. Ligue o ponto B ao cruzamento dos arcos, transportando assim o ângulo de 45. Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B. Construa a mediatriz do segmento BC, encontrando assim o centro do arco capaz. Coloque a ponta seca no ponto O e com abertura OB ou OC trace o arco capaz.

18 18 Prolongue a mediatriz até o arco encontrando o vértice A do triângulo isósceles. Temos então, o triângulo isósceles de lado a e ângulo oposto ao lado a igual a 45.

19 CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 45 ; 3,5). Seja o ângulo de 45, o lado b e o lado a do triângulo. Desenhe o segmento BC (lado a). Construa um arco (qualquer raio) com centro no vértice do ângulo dado e outro de mesmo raio com centro no ponto B. Construa outro arco no ângulo dado, com raio igual à corda do arco. Em seguida, construa novamente o mesmo arco no arco feito em B. Desta forma o ângulo de 45 foi transportado para o segmento AB.

20 20 Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B. Trace a mediatriz do segmento BC.

21 21 Marque o centro O onde a mediatriz intersecta a perpendicular. Com centro em C e abertura igual ao lado b, trace um arco que corte o arco de centro O nos pontos A e A'. Temos então, dois triângulos ABC e A'BC de lados b, a e ângulo oposto ao lado a igual a 45.

22 CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, b, ma (7,0 ; 5,0 ; 3,5). Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do triângulo ABC. Trace o segmento BC (lado a). Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto Médio M. Em seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao lado b do triângulo. Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC (M) e com abertura igual à medida da mediana do lado a, trace um arco que corta o primeiro, encontrando assim o vértice A do triângulo.

23 23 Ligue o vértice C ao vértice A. Depois ligue o vértice A ao vértice B. Temos então o triângulo ABC de lados a e b e mediana ma.

24 CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ma, Â (6,5 ; 6,0 ; 45 ). Seja o segmento a, a mediana do lado a e o ângulo de 45. Desenhe o segmento BC igual ao lado a. Trace a mediatriz do segmento AB encontrando assim o seu ponto médio. Em seguida, trace um arco que corte o ângulo e depois trace o mesmo arco colocando a ponta seca do compasso no ponto B. Em seguida, transporte o ângulo de 45 para o ponto B. Em seguida, levante uma perpendicular ao lado do ângulo pelo ponto B. Onde a perpendicular intersectar a mediatriz será o centro O.

25 25 Agora, coloque a ponta seca do compasso no centro O e com raio OA ou OB trace arco capaz do ângulo dado. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio do segmento AB e com abertura igual à mediana trace um arco que corte o arco capaz nos pontos A e A'.

26 26 Ligue os vértices A e A' aos vértices B e C obtendo assim os triângulos ABC e A'BC. Temos então os triângulos ABC e A',B,C. 16. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, hb, ma (7,0 ; 5,0 ; 6,0). Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe segmento BC (lado a). Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto médio de BC. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à metade de BC trace um arco de 180 (arco capaz do ângulo de 90 ). Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura igual à hb trace um arco que corte o arco anterior.

27 27 Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior. Depois, prolongue o cateto menor do triângulo. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à Ma trace um arco que corta a reta que passa por C no ponto A.

28 28 Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A. Temos então, o triângulo ABC. 17. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ha, ma (6,0; 3,0; 5,0). Seja o lado a, altura e medianas do lado a. Desenhe o lado a. Seja BC o lado a.

29 29 Trace a mediatriz de BC encontrando assim o seu ponto médio Ma. Trace uma paralela ao segmento BC a uma distância ha de BC. Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à mediana ma trace um arco que corte a paralela nos pontos A e A'.

30 30 Ligue os vértices B e C aos pontos A e A' obtendo assim os triângulos ABC e A',B,C. 18. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, mb, mc (7,0 ; 6,0 ; 7,0). Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c. Desenhe o segmento BC (lado a) e depois divida a mediana do lado b e a mediana do lado e em três partes iguais. Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à 2/3 de mb trace um arco. Depois, coloque a pontas eca no vértice C e com abertura igual à 2/3 de mc trace outro arco.

31 31 Ligue os vértices B e C à interseção dos arcos e prolongue. Marque no prolongamento de cada reta, a partir da interseção 1/3 de mb e 1/3 de mc.. Ligue os vértices B e C à extremidades das medianas dos lados e prolongue, encontrando assim o vértice A. A interseção das medianas é o baricentro do triângulo.

32 BIBLIOGRAFIA 32 BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13 ed. 230 p. MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.