GEOMETRIA PLANA. Prof. Fabiano

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Marcos Peres Carvalho
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1 GEOMETRIA PLANA Prof. Fabiano

2 POLÍGONOS REGULARES R.. a. O O O a R a R R = Raio - raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice a = Apótema - Raio da circunferência inscrita - distância do centro ao meio de um lado

3 POLÍGONOS REGULARES R.. a. O O O a R a R R = Raio - raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice a = Apótema - Raio da circunferência inscrita - distância do centro ao meio de um lado

4 TRIÂNGULO EQUILÁTERO h = 3 2 R a.o

5 QUADRADO d = 2 R Ọ a

6 HEXÁGONO REGULAR 6 triângulos equiláteros Ọ R a

7 ÁREAS PLANAS RETÂNGULO b PARALELOGRAMO h S = b.h h b

8 ÁREAS PLANAS QUADRADO TRAPÉZIO h b B S = S = 2 (B+b).h 2

9 ÁREAS PLANAS TRIÂNGULO b b.h h S = 2

10 CIRCUNFERÊNCIA C = 2πR Ọ R S = πr 2

11 MEDIANA Mediana é o segmento que vai de um vértice qualquer de um triângulo até o ponto médio do lado oposto. Veja o exemplo: No triângulo ABC acima, o ponto "D" é o ponto médio do lado CB. Portanto, o segmento AD é a mediana relativa ao lado "A" do triângulo ABC. Como o triângulo possui três lados e três vértices, possui também três medianas (uma para cada vértice).

12 MEDIATRIZ Consideremos um segmento AB e seja M o ponto médio do segmento. A reta r perpendicular ao segmento AB e que passa por M e denominada mediatriz do segmento AB. Todo o triângulo tem três mediatrizes ( cada uma relativa a um lado), e se encontram no mesmo ponto C denominado circuncentro.

13 ALTURA É o segmento cujas as extremidades são vértice do triângulo e a intersecção da perpendicular com o lado oposto ( ou seu prolongamento). É interessante observar que,quando se trata de um triângulo obtusângulo, AH é a altura relativa ao lado BC. Todo o triângulo possui três alturas ( cada uma relativa a um lado), que se encontram num mesmo ponto O, denominado ortocentro

14 BISSETRIZ É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes. Todo o triângulo tem três bissetrizes (cada uma relativa a um ângulo), que se encontram num mesmo ponto I, denominado incentro.

15 Pontos notáveis de um triângulo: 1 - Incentro 2 - Circuncentro 3 - Baricentro 4 - Ortocentro

16 . 1. O incentro Chama-se bissetriz de um ângulo à reta que divide o ângulo em duas partes iguais. Ao ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um triângulo chamamos incentro. Este ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

17 2. O circuncentro Com os três vértices do triângulo pode-se traçar um circunferência na qual o triângulo fica inscrito. O centro desta circunferência é o circuncentro - ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.

18 3. O baricentro Unindo o ponto médio de cada lado do triângulo ao vértice oposto obtém-se um segmento de reta designado mediana. O ponto onde se interceptam as medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo.

19 4. O ortocentro O ortocentro é o ponto onde se interceptam as alturas do triângulo, isto é, as perpendiculares traçadas desde os vértices até aos lados opostos (ou seus prolongamentos).

20 ÂNGULOS AGUDO 150º 30º OBTUSO 150º 30º 30º 150º 30º 150º

21 ÂNGULOS Si = 180º Si = 360º QUALQUER POLÍGONO: S i = 180º(n-2)

22 ÂNGULOS (FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 20º 40º

23 ÂNGULOS (FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 20º 40º 20º+90º+X=180º 110º+X=180º X=70º

24 ÂNGULOS O. 120º 120º 60º. O 120º

25 Exercício resolvido (UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45, 18 e 38, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 c) 79 d) 87 90º

26 (UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45, 18 e 38, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 c) 79 d) 87 90º 36º

27 (UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45, 18 e 38, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 c) 79 d) 87 76º 90º 36º

28 (UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45, 18 e 38, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 x c) 79 d) 87 76º 90º + 36º + 76º + x = 360º 202º + x = 360º x = 158º 90º 36º

29 (UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45, 18 e 38, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 x = 158º c) 79 d) 87 76º 90º + 36º + 76º + x = 360º 202º + x = 360º x = 158º 79º 90º 36º

30 SEMELHANÇA B F 60º 40º A 80º 40º D C 60º 80º E ÂNGULOS IGUAIS LADOS PROPORCIONAIS

31 SEMELHANÇA B DE // AC D E A ABC DBE C

32 TRIÂNGULO RETÂNGULO c A. h b B. a C a 2 = b 2 + c 2 ah = bc

33 Exercício proposto (UFES-99) Na figura, as retas r e s são paralelas. A soma α+β+γ+δ das medidas dos ângulos indicados na figura é a) 180 b) 270 c) 360 d) 480 e) 540 Resposta: e

34 Exercício proposto (UEL-97) Na figura a seguir, tem-se os ângulos XYW, XZW e XTW, inscritos em uma circunferência de centro O. Se med do ângulo XOW=80, então med do ângulo XYW + med do ângulo XZW + med do ângulo XTW é igual a a) 160 b) 150 c) 140 d) 120 e) 100 Resposta: d

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