Polígonos Regulares. UFPEL-DME Geometria Plana Prof Lisandra Sauer

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Suzana Madureira Pinhal
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1 Polígonos Regulares UFPEL-DME Geometria Plana Prof Lisandra Sauer

2 Hora da Piadinha Por que um polígono regular foi ao psicólogo? Porque ele é Iso-lado

3 . Polígonos regulares Um polígono é chamado de regular quando possui todos os ângulos internos congruentes e todos os lados congruentes. Exemplos:

4 Propriedade dos polígonos regulares Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência. Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.

5 Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes. As cordas consecutivas formam um quadrado inscrito na circunferência. As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência. Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados.

6 Todo polígono regular é inscritível numa circunferência. Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência. Polígonos regulares inscritos Polígonos regulares circunscritos

7 Elementos de um polígono regular Se um polígono é regular, consideramos: Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O). Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele OC. Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados OM. Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos (CÔD).

8 Ângulo cêntrico e A medida do ângulo cêntrico (central) em um polígono regular é dada por: a c 360º n (n = número de lados)

9 Cálculo de lado e apótema de polígonos regulares Calcularemos a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio. Quadrado inscrito Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um quadrado ABCD inserido nessa circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si (AC e BD ), determinando o vértices do quadrado. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse quadrado em função de r.

10 Cálculo da medida do lado Cálculo da medida do apótema (a ) No AOB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AB) = (AO) + (OB) r r r (r > 0) r r No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM) + (BM) = (OB) r a r a r r r a r r a (r > 0) r a

11 Hexágono regular inscrito Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em função de r. Cada um dos arcos indicados nessa circunferência mede 360º 60º. 6 Sendo assim temos: M(AÔB) = 60º, m( ABO) ˆ = m (AB) 10º 60º e m (BÂO) = m (BD) 10º 60º O AOB, é eqüilátero, ou seja: AB = AO = OB 6 = r Logo: 6 = r

12 Cálculo da medida do apótema (a 6 ) No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM) + (MB) = (OB) r 6 r a r a6 r r a6 r 3r a6 3r a6 (r > 0) a 6 r 3

13 Triângulo eqüilátero inscrito Considere uma circunferência de centro O e raio medida r. Para construir um triângulo eqüilátero ABC inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r. Cálculo da medida do lado Observe que: o ADC é retângulo (inscrito na semicircunferência) DC = 6 = r No ADC, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AC) + (DC) = (AD) ( 3) ( 6) ( r ) r r 3 3r 3 3 r 3

14 Cálculo da medida do apótema (a 3 ) No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OC) = (OM) + (MB) a a a 3 3 r 3r r 3r r 3 3 r a3 r a3 (r > 0) r a3

15 Referências: Dolce, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. Volume 9 São Paulo : Atual, 005.

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