CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

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Diego Fialho Furtado
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1 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

2 Trigonometria Aula 0: Matrizes e Determinantes

3 Trigonometria Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da geometria que estabelece relações métricas e angulares entre elementos de triângulo qualquer. Triângulos: Dados 3 pontos A, B, C, não colineares, isto é, não alinhados, chama-se triângulo a região do plano limitada pelos segmentos AB, AC e BC, denominados lados, sendo A, B e C os seus vértices.

4 Trigonometria Teorema Angular de Tales: A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 80º.

5 Trigonometria Teorema Ângulo Externo: Em todo triângulo, um ângulo externo, é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes, ou seja: Propriedade: Se um triângulo possui dois lados medindo a e b, o terceiro lado c estará sempre compreendido entre a-b e (a+b), ou seja: a-b < c < (a+b)

6 Trigonometria Classificação dos Triângulos: Quanto aos Lados: Escaleno: Os três lados possuem medidas diferentes. Isósceles: Ao menos dois lados possuem medidas iguais. Eqüilátero: Os três lados possuem medidas iguais. Quanto aos Ângulos: Acutângulo: Quando os três ângulos internos são agudos. Retângulo: Quando um dos ângulos internos é reto. Obtusângulo: Quando um dos ângulos internos é obtuso.

7 Trigonometria Segmentos Notáveis de um triângulo: Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. O ponto de interseção das 3 medianas de um triângulo denomina-se BARICENTRO do triângulo. Altura: é o segmento que une um vértice ao lado oposto(ou ao prolongamento deste), sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo. Bissetriz interna: é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em ângulos iguais. As 3 bissetrizes internas de um triângulo passam por um ponto chamado INCENTRO do triangulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, isto é, da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo. Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As 3 mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamado CIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo.

8 Trigonometria Relações Métricas no Triângulo Retângulo: Triângulo retângulo é todo polígono de 3 lados que contém um ângulo interno reto, ou seja, 90º graus. Num triângulo retângulo, o maior lado é denominado hipotenusa, e os outros dois lados, adjacentes ao ângulo reto, são denominados catetos.

9 Trigonometria A relação métrica do triângulo retângulo mais utilizada e conhecida é o teorema de Pitágoras que diz: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Hip² cat² + cat²

10 Trigonometria Existem ainda outras relações métricas do triângulo retângulo:

11 Trigonometria Considerando um triângulo retângulo com a sua hipotenusa e seus dois catetos(adjacentes e opostos ao ângulo agudo α). Chega-se as seguintes expressões:

Trigonometria Uma relação importante pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras: (cateto oposto)² + (cateto adjacente)² (hipotenusa)² Dividindo toda a

12 Trigonometria Uma relação importante pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras: (cateto oposto)² + (cateto adjacente)² (hipotenusa)² Dividindo toda a expressão acima por (hipotenusa)² e relacionando com as razões trigonométricas temos que: Essa relação também é conhecida como relação fundamental da trigonometria.

13 Matrizes e Determinantes Matrizes: Sejam m e n dois números naturais não nulos. Denomina-se matriz de ordem m x n, como uma tabela retangular formada por m.n elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Pela representação de matriz genérica:

14 Tipos de matrizes: Matrizes e Determinantes Se m n, A é uma matriz retangular. Se m n, A é uma matriz quadrada, também conhecida como matriz de ordem m. Se m, A é uma matriz linha. Se n, A é uma matriz coluna. Se 0 ( ), então A é chamada matriz nula(ou matriz 0). Se A é uma matriz quadrada e quando i j tem-se 0, então A é chamada matriz diagonal. Se A é uma matriz quadrada, quando i j tem-se 0, e quando i j tem-se, então A é chamada matriz identidade(ou matriz unidade) de ordem m, também representado por. Se A é uma matriz quadrada, quando i > j tem-se 0 ou quando i < j tem-se 0, então A é chamada matriz triangular. Se A é uma matriz com m linhas e n colunas com elementos, denomina-se matriz transposta de A(indicada por ), a matriz com n linhas e m colunas com elementos, com.

15 Matrizes e Determinantes

16 Matrizes e Determinantes Operações com matrizes: Adição e Subtração de matrizes: Condição: Para que se possa efetuar a adição ou a subtração de matrizes é necessário que elas possuam a mesma ordem. A soma ou a subtração de duas ou mais matrizes é efetuada quando se somam ou subtraem os elementos correspondentes das matrizes. O resultado tem a mesma ordem que compõem as parcelas: Sejam as matrizes: ( ), ( ) e C( ), então: + +

17 Matrizes e Determinantes Multiplicação de número real por matriz: Sejam: A uma matriz com m linhas e n colunas e α um número real. Para se obter uma matriz B, de mesma ordem da matriz A, de forma que B αa, cada elemento de B será igual ao elemento correspondente de A multiplicado pela constante α: Multiplicação de matrizes: Condição: α.a α. Para que se efetue a multiplicação de duas matrizes A e B é necessário que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. O produto A.B tem número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas igual ao número de colunas da matriz B. Sejam as matrizes: ( ), ( ) e C( ),, para que se tenha C A.B, inicialmente verifica-se a condição de existência: Para cada elemento da matriz C: Importante: Lembre-se que somente para matrizes quadradas: A² A.A

18 Matrizes e Determinantes Propriedades operatórias das matrizes: Sejam as matrizes A, B e C, quaisquer e de acordo com as condições operatórias das matrizes, temos: I. A + B B + A II. A.(B + C) AB + AC III. A.B B.A IV. (A.B) t B t.a t V. A..A A VI. (A + 0) A Matriz inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Recebe o nome de matriz inversa de A a matriz A tal que: A.A A.A

19 Matrizes e Determinantes Determinantes Determinante é um número ou expressão que se associa a uma matriz quadrada. Calculando determinantes: Determinante de primeira ordem: Seja a matriz M (a), o seu determinante é dado por: det M a a

20 Matrizes e Determinantes Determinante de segunda ordem: Seja a matriz, o seu determinante é dado por: det Determinante de terceira ordem(regra de Sarrus): Seja a matriz o seu determinante é dado por: h det h h h det ( + + h) ( + h+ )

21 Matrizes e Determinantes Propriedades dos determinantes: Situações que anulam um determinante: O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui: Uma fina nula; Duas filas paralelas iguais; Duas filas paralelas proporcionais Uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas.

22 Matrizes e Determinantes Situações que não alteram o determinante: O determinante de uma matriz quadrada não se altera se: Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas(matriz transposta); Substituirmos uma fila por uma combinação linear de outras filas paralelas com a fila substituída(teorema de Jacobi).

23 Exercícios - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: a) / b) - / c) 3 / 8 d) - 3 / 8 e) - 3 / 0

24 Exercícios Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos: cos β cos β cos β - / e, portanto, a alternativa correta é a letra B. Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.

25 Exercícios

26 Exercícios

27 Exercícios

28 Exercícios 0 8 ) 6.( det 6 8 d c 0 6 b : matriz a Primeiramente encontramos. calcule o determinante de, que tais e 0, 5 matrizes : as Dadas ) + X X d c b a a d c b a d c b a d c b a X X B X A d c b a X B A

29 Exercícios ) Encontre a solução da equação n 0 3 n n 0 ( n + n n n 0 n) n ( n + n( n ) + 0) ( 3n n) n n 0 3 n n. Para achar o determinante de uma matriz 3x3 podemos utilizar a regra de Sarrus, que consiste em copiar as duas primeiras colunas à direita da matriz, e subtrair a soma dos produtos da primeira diagonal, pela soma dos produtos da segunda : ± 6-..(- ) ± 6 ± 8 n 6 n n n n

30 Exercícios ) Sendo A 3 e B calcule AB. 0 Essa é uma questão de multiplicação de matrizes, onde estamos multiplicando uma matriz 3x por uma x.o resultado será obtido pelo produto de cada linha da matriz A por cada coluna da matriz B. O resultado será uma matriz 3x AB ( ) ( 3) + 0. ( )( 3) ( 3) +. 5 AB 7 3 8

31 Exercícios é matriz inversa de a Portanto, ou seja : matriz identidade, pela sua inversa resulta na matriz multiplicada Sabemos que uma. matriz matriz inversa da determine a, 3 5 ) Sendo A A d b d b d b c a c a c a d b c a d b c a d c b a I A A A A

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