OS PRISMAS. 1) Conceito :

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Filipe Bardini Terra
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contido em β e uma reta r concorrente com α e β, chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos a r, com uma extremidade pertencente

1 1 SÍNTESE DE CONTEÚDO MATEMÁTICA SEGUNDA SÉRIE - ENSINO MÉDIO ASSUNTO : OS PRISMAS NOME :...NÚMERO :... TURMA :... ============================================================ OS PRISMAS 1) Conceito : Dados dois planos paralelos α e β, um polígono convexo qualquer contido em β e uma reta r concorrente com α e β, chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos a r, com uma extremidade pertencente ao polígono e outra pertencente a α. Exemplo : Na figura abaixo, o polígono considerado, pertencente a β é um pentágono. Observe como será a figura resultante : Parece uma caixa, é um prisma pentagonal.

2 Outros exemplos de prismas : ) Elementos dos prismas : Tomemos como exemplo o prisma abaixo para definirmos os elementos principais dos prismas em geral : a) As bases são os dois polígonos congruentes contidos nos planos paralelos que geraram o prisma : ABCDEF e A B C D E F (hexágonos).

3 b) As arestas são todos os segmentos que limitam o prisma. Então, temos arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF, FA e A B, B C, C D, D E, E F, F A ) e as arestas laterais ( AA, BB, CC, DD, EE e FF ).

3 3 b) As arestas são todos os segmentos que limitam o prisma. Então, temos arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF, FA e A B, B C, C D, D E, E F, F A ) e as arestas laterais ( AA, BB, CC, DD, EE e FF ). c) Os vértices são todos os pontos onde as arestas se cruzam, ou seja A, B, C, D, E, F, A, B, C, D, E e F. d) A altura é a distância entre as bases. e) As faces laterais são os paralelogramos que têm como lados opostos duas arestas das bases e duas arestas laterais. No nosso caso : ABB A, BCC B, CDD C, DEE D, EFF E e FAA F. 3) Classificação dos Prismas : Se as arestas laterais de um prisma são perpendiculares aos planos das bases, então esse prisma é RETO. Se as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das bases, então o prisma é INCLINADO ou OBLÍQUO. Exemplos :

4 4 Um prisma é REGULAR quando é reto e tem base regular ( O que significa ter base regular? ) : Exemplos : 4) Prismas Notáveis : O paralelepípedo e o Cubo a) O prisma cujas faces são paralelogramos é chamado de Paralelepípedo. Exemplos :

5 b) Se num paralelepípedo todas as faces são quadradas, então esse

5) Cálculo da diagonal do paralelepípedo : Observe que na figura temos um

e c, a diagonal do paralelepípedo mede D e digamos que a diagonal da base

5 5 b) Se num paralelepípedo todas as faces são quadradas, então esse paralelepípedo é um Cubo. 5) Cálculo da diagonal do paralelepípedo : Observe que na figura temos um paralelepípedo cujo comprimento,largura e altura medem, respectivamente a, b e c, a diagonal do paralelepípedo mede D e digamos que a diagonal da base inferior mede x. Então, temos pelo teorema de pitágoras : D = x + c, mas também x = a + b. Então, temos D = a + b + c e, finalmente : D = a + b + c

medidas são dadas em metros : Resolução : Como a = 4 m, b = 3 m e c = m, temos : D = (4) + (3) + () = 16

6 6 Para o cubo teremos a = b = c : E como o cubo é um paralelepípedo, temos : AG = a + + a a = 3a = a 3 Exemplos : a) Calcule a diagonal do paralelepípedo mostrado na figura a seguir, Considerando que as medidas são dadas em metros : Resolução : Como a = 4 m, b = 3 m e c = m, temos : D = (4) + (3) + () = = 9 m b) Calcule a aresta de um cubo e a diagonal de uma de suas faces, sabendo que sua diagonal mede 75 cm.

7 Resolução : Consideremos que a medida da aresta do cubo é a, a diagonal da face inferior é d 1 e a diagonal do cubo é d = 75 cm. Então temos : 75 75 3 a) a 3 = 75. Então a = = = 5 3 cm.

7 7 Resolução : Consideremos que a medida da aresta do cubo é a, a diagonal da face inferior é d 1 e a diagonal do cubo é d = 75 cm. Então temos : a) a 3 = 75. Então a = = = 5 3 cm. 3 3 b) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABD : 1 = a + a a Então d1 = a = d = 5 3. = 5 6 cm 6) Áreas relacionadas aos prismas : a) Área da base : É a área do polígono que representa a base. Exemplos : 1) Se um prisma tem base triangular com as arestas da base medindo cm, 5 cm e 6 cm, calcule a área da base do prisma. 5 6 A base é irregular, mas como as arestas são conhecidas, podemos usar a fórmula de Heron, vista no último trabalho : Seja A b a área da base. Como o semi perímetro da base é p = = cm, Temos : ( A b ) = ( )( 5)( 6) 3 e A b = 39 4 cm

8 8 ) Se um prisma regular tem base hexagonal com arestas da base medindo cm, então calcule a área da base desse prisma. cm Como a área do hexagono regular é dada em função do lado pela fórmula já conhecida 3a 3 A hex =, temos no caso do prisma : 3() 3 A b = = 6 3 cm b) Área Lateral : Você já deve ter percebido que : As faces laterais de um prisma oblíquo são paralelogramos, e As faces laterais de um prisma reto são retângulos. retângulo paralelogramo Então : - No prisma reto : Área de uma face = Área de retângulo. - No prisma oblíquo : Área de uma face = Área de paralelogramo

9 9 Área lateral de um prisma é a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma. Exemplos : 1) A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular com aresta com aresta da base medindo = 8 cm e altura h = 10 cm. Calcule a área da base e a área lateral do prisma. A base é mostrada na figura da direita. Sua área é 3(8) 3 A b = = 96 3 cm Como o prisma é regu lar, cada uma de suas faces laterais é um retângulo xh e tem área = 8.10 = 80 cm. Logo, como são 6 faces laterais, A L = =480cm.. ) Calcule a área lateral do paralelepípedo mostrado na figura a seguir, sabendo que o comprimento é o quíntuplo da altura, a largura é o dobro da altura e a diagonal mede 30 cm. a)cálculo das dimensões do paralelogramo :Como a diagonal foi dada, te - P x mos: 30 = (5x) + (x) + ( x) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos 10 = 30x de onde x = cm.as dimensões do paralelogramo são 10 cm, 4cm e cm. 5x Q x b) Cálculo da área lateral do paralelepípedo : A área lateral compreende : retângulos 10x e retângulos 4x. Então : A L = = = = 56 cm.

10 10 c) Área total do prisma : É a soma das áreas das bases com a área lateral. Então, temos : A T = A L +. A b Exemplo : Calcule a área total do prisma reto abaixo. 1) Como a base é um triângulo retângulo isósceles, temos : ( 3 ) = a + a a = 9 e a = 3 cm ) A b = = cm. 3) A L =. ( 3. 6) + ( 3. 6) = cm. 9 4) A T = A L +. A b = ( ) +. = = = 9( 5 + ) cm. EM ALGUNS CASOS ESPECIAIS É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS GERAIS! VEJA! 1) Se o prisma é regular com aresta da base a e altura h, podemos ter : A L = n. ah e A T = n.ah +. A b, onde n é o número de arestas da base.

11 11 ) Num paralelepípedo retângulo, em geral, temos as dimensões in- dicadas na figura abaixo. Então vale a fórmula : c A T =.(ab + ac + bc) a b 3) No cubo, temos 6 faces quadradas e congruentes com arestas de medida a. Vale então a fórmula : A T = 6 a a a a

1 7) VOLUME DOS PRISMAS : A secção transversal de um prisma é

mesma área já que todas as secções transversais são paralelas

Isso significa que, se você empilhar várias porções

áreas de todas as porções juntas, no caso do prisma, a área

12 1 7) VOLUME DOS PRISMAS : A secção transversal de um prisma é a intersecção não vazia, desse prisma com qualquer plano, paralelo às suas bases. Veja figura : Num prisma, todas as secções transversais têm mesma área já que todas as secções transversais são paralelas às bases e as arestas laterais são paralelas entre sí. Isso significa que, se você empilhar várias porções congruentes do plano, terá um sólido de volume equivalente às áreas de todas as porções juntas, no caso do prisma, a área de um polígono várias vezes. Em outras palavras, podemos fatiar um prisma em prismas congruentes de altura unitária :

13 13 Como todas as fatias têm altura unitária, e todas elas têm a mesma área que é A b, podemos enunciar o seguinte : O VOLUME DE UM PRISMA É O PRODUTO DA ÁREA DE SUA BASE POR SUA ALTURA* * A altura do prisma é a soma das alturas unitárias dos prismas menores (fatias). Em linguagem matemática teremos : Exemplos : V PRISMA = A b. h 1) Calcule a área total e o volume do paralelepípedo retângulo da figura a seguir : ( medidas dadas em cm ) A B D E 5 13 C H 3 G F Resolução : a) O triângulo EGH é retângulo em H. Então : (5) = (3) + (EH), de onde sai que EH = 4 cm b) O triângulo AEG é retângulo em E. Então : (13) = (5) + (AE), de onde sai que AE = 1 cm c) A T =.( ) = 19 cm d) V = A b. h = = 144 cm 3 ) Na figura seguinte, a base do prisma regular está inscrito na circunferência de perímetro igual 6π cm. Se a altura do prisma é igual a 8 cm, calcule seu volume.

14 14 Resolução : Sabemos que o perímetro de uma circunferência de raio r é igual a πr que, neste caso, é igual a 6π. Então : π = 6π, de onde = 3 cm Como a base é um hexágono regular, temos : A b = Logo V = A b. h = = cm 3(3) = 3) Se a diagonal de um cubo mede 6 dm, calcule sua área total e seu volume. Resolução : cm 6 dm a a Sabemos que a diagonal de um cubo com aresta a é a 3. Então temos a 3 = 6 a = 3 dm e teremos ainda : a) A T = 6. ( 3) = 7 dm b) V = A b. h = a.a. a = a 3 = ( 3) 3 = 4 3 dm 3 a AQUI TAMBÉM É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS PARA OS PARALELEPÍPEDOS Como, nos paralelepípedos de dimensões a, b e c, a base pode ter área ab, bc ou ac com alturas c, a ou b, respectiva mente, podemos registrar : V paral = abc Então, para os cubos de aresta a, teremos V cubo = a 3

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