PRISMAS E PIRÂMIDES 1. DEFINIÇÕES (PRISMAS) MATEMÁTICA. Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

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Estela Vilarinho Padilha
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paralelogramos determinados por pares de lados correspondentes nas duas faces. Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

1 PRISMAS E PIRÂMIDES. DEFINIÇÕES (PRISMAS) Chama-se prisma todo poliedro convexo composto por duas faces (bases) que são polígonos congruentes contidos em planos paralelos e as demais faces (faces laterais) que são paralelogramos determinados por pares de lados correspondentes nas duas faces. Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Prisma regular: prisma reto cujas bases são polígonos regulares. As arestas das bases são duas a duas congruentes e as arestas laterais são todas congruentes entre si. A altura do prisma é a distância entre os planos das duas bases. Seção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepte todas as arestas laterais. A seção reta ou seção normal é a seção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. Prisma reto: possui arestas laterais perpendiculares aos planos das bases e as faces laterais são retângulos. Natureza de um prisma: o prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, etc, conforme a base seja um triângulo, quadrilátero, pentágono, etc. Paralelepípedo: prisma cujas bases são paralelogramos. PROMILITARES ª Série

. PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Seja um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, temos: D' C' A' D d ' c C f b Paralelepípedo reto: prisma reto cujas bases são

D A ase a C D' Seção diagonal ' b f c d A a D f diagonal: d= a + b + c área total: ST = ( ab + ac + bc ) Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo

volume: V = a b c No caso particular do cubo de aresta a, a diagonal é d= a, a área total é ST = a e o volume é V = a.

2 . PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Seja um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, temos: D' C' A' D d ' c C f b Paralelepípedo reto: prisma reto cujas bases são paralelogramos. D A ase a C D' Seção diagonal ' b f c d A a D f diagonal: d= a + b + c área total: ST = ( ab + ac + bc ) Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro: prisma reto cujas bases são retângulos. volume: V = a b c No caso particular do cubo de aresta a, a diagonal é d= a, a área total é ST = a e o volume é V = a.. ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DO PRISMA Área lateral ( S L ): área de todas as faces laterais. Área total ( S T ): área lateral mais a área das bases. Seja um prisma onde: a aresta lateral p perímetro da seção reta Hexaedro regular ou cubo: paralelepípedo retângulo cujas arestas são todas congruentes. h altura S área da base S L = p a S = p a+ S T V = S h No prisma reto, a aresta lateral é igual a altura (a =h) e a seção reta é a própria base. PROMILITARES ª Série

S L = p h S = p h+ S T V = S h pentagonal hexagonal Seja um polígono contido em um plano e um ponto V localizado fora desse plano.

sobre o plano da base é o centro da base.

Vértice: ponto V ase: polígono AA A n Altura: h (distância do vértice V ao plano da base) Arestas da base: lados do polígono AA

.., VA n A n Faces laterais: triângulos formados pelo vértice e as arestas da base Área lateral ( A ): área das faces laterais da

3 S L = p h S = p h+ S T V = S h pentagonal hexagonal Seja um polígono contido em um plano e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. base:pentágono 4. PIRÂMIDE REGULAR base:hexágono Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. As arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Vértice: ponto V ase: polígono AA A n Altura: h (distância do vértice V ao plano da base) Arestas da base: lados do polígono AA Arestas laterais: VA, VA,..., VA n A n Faces laterais: triângulos formados pelo vértice e as arestas da base Área lateral ( A ): área das faces laterais da pirâmide Área total ( A t ): área lateral mais a área da base A = A + A t Natureza de uma pirâmide: está associada ao número de lados do polígono da base. triangular (tetraedro) b quadrangular a b = r ápotema da base (raio do círculo inscrito à base) R raio da circunferência circunscrita a base (OD na figur a p apótema da pirâmide (altura relativa à base de uma face lateral) a l aresta lateral l p a = a + R p b a = a + h base:triângulo base:quadrilátero PROMILITARES ª Série

4 . VOLUME V = Ab h. SEÇÃO TRANSVERSAL Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. seção transversal outra pirâmide ( ) V = h + b + b tronco de pirâmide 8. TETRAEDRO REGULAR Uma seção transversal divide a pirâmide em duas partes: a que contém o vértice é uma pirâmide semelhante à original e a outra parte é chamada tronco de pirâmide de bases paralelas. Se a pirâmide possui altura h e a seção está a uma distância d do vértice, a semelhança das duas pirâmides implica as seguintes relações: Aresta pirâmide Aresta maior = d pirâmide h Aresta pirâmide Aresta maior = d pirâmide h Área da face lateral da pirâmide menor Área da face lateral da pirâmide maior = d h Área da base da pirâmide menor Área da base da pirâmide maior = d h pirâmide pirâmide = d h A obtenção das características da pirâmide menor possibilita encontrar as características do tronco de pirâmide. 7. VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE Sejam: área da base maior b área da base menor h altura do tronco a Pirâmide triangular com todas as arestas congruentes. Sendo a a aresta do tetraedro regular, sua altura é igual a e seu volume é igual a a. EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 0. Um paralelepípedo retângulo de volume V tem dimensões inversamente proporcionais a A, e C. A área total do paralelepípedo é: VAC A+ + C VA ( + + C) AC c) V ( A + + C ) VA ( + AC+ C) V e) ( A+ + C) AC 0. A altura de um paralelepípedo retângulo mede 0 cm e sua base é um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 0º com o plano da base. O volume do paralelepípedo retângulo é em cm c) 4000 e) PROMILITARES ª Série

5 0. Um prisma hexagonal regular ACDEF A CDEF tem todas as arestas de mesmo comprimento ( AA é uma aresta lateral). O cosseno do ângulo CAˆ D é: c) Considere um prisma hexagonal regular tal que a razão entre a aresta da base a e a aresta lateral l é. Sabendo-se que a aresta da base for aumentada de cm, o volume V do prisma ficará aumentado de 08 cm considerando que aresta lateral permanece a mesma, podemos afirmar que o volume do prisma é: 0 cm cm c) / cm cm e) 7/ cm 0. Um depósito de óleo diesel existente em uma das Organizações Militares da M tem a forma de um prisma hexagonal regular com altura de metros. Sabendo-se que o comprimento da diagonal maior do depósito vale 0 do comprimento da diagonal menor da base, pode-se dizer que o valor da função f, definida por f( x) = x no número V representante do volume do depósito vale: e) A área total de uma pirâmide triangular regular é cm e o raio do círculo inscrito na base mede cm. A altura da pirâmide é, em cm: c) 4 4 e) 08. Em uma pirâmide regular, de base hexagonal, o apótema da base mede cm. Se a altura da pirâmide mede o dobro da medida da diagonal de um cubo de 8 cm de volume, então a razão entre a área lateral da pirâmide e a área total do cubo vale: c) 7 e) 0. Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular AC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 4 graus. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a: c) c) 4 e) 4 0. A área total da pirâmide regular de apótema A, onde A e p são, respectivamente, apótema e perímetro de sua base, é p(a + A ) p (A + A ) c) p(a + A ) p(a + A ) 0. Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros, cujos lados medem, respectivamente, cm e 4 cm. Se a aresta lateral do tronco mede cm, então o valor de sua altura h, em cm, é tal que: 7 < h < 8 < h < 7 c) < h < < h < e) < h < PROMILITARES ª Série

6 EXERCÍCIOS DE COMATE 0 0 Em cm, qual o volume de um paralelepípedo retângulo de área total 80 cm, de diagonal da base 0 cm e com a soma das arestas que concorrem no mesmo vértice igual a 7 cm? 0 c) 44 O apótema de uma pirâmide regular, com base hexagonal, é cm. Se a sua área lateral é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em cm, é c) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um prisma hexagonal regular de área lateral igual a 44 cm e volume igual a 44 cm é: c) A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é m. Se a altura da pirâmide mede 4 m, sua área total, em m, é igual a: 48 4 c) 0 (ESPCEX) Um prisma reto com cm de altura e base retangular com dimensões de 4 cm e cm contém água até uma altura de cm. Um cubo maciço de aresta igual a cm é colocado dentro deste prisma, ficando totalmente submerso. A partir de então, a altura do nível da água, em cm, passa a ser de: /4 0/ c) /4 / e) 4/4 07 (ESPCEX) Em um cubo de aresta medindo 4 cm, forma-se um triângulo VEF, conforme figura abaixo, em que V é o centro do quadrado ACD. A área, em cm², do triângulo VEF é igual a 04 Uma pirâmide quadrangular regular tem as oito arestas iguais a m. O volume dessa pirâmide vale: m m c) m 4 m 4 4 c) e) PROMILITARES ª Série

7 08 0 (ESPCEX) Para obter o sólido geométrico representado abaixo, partiu-se de um cubo de aresta L e retirou-se de cada um dos vértices desse cubo uma pirâmide de base triangular com as arestas laterais medindo L/4, conforme a figura. Denominandose V o volume do cubo a partir do qual foi obtido o sólido, pode-se concluir que o volume desse sólido é (ESPCEX) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é. Aumentando-se a aresta da base em cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 08cm³. O volume do prisma original é 8 cm³ cm³ c) 8 cm³ cm³ e) 40 cm³ V 4 V 47 V 48 e) 4 V 44 c) 7 V 7 0 (ESPCEX) A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida. Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é c) 4 e) PROMILITARES ª Série 7

8 ANOTAÇÕES 8 PROMILITARES ª Série

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