Hewlett-Packard PIRÂMIDES. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

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1 Hewlett-Packard PIRÂMIDES Aulas 01 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

2 Sumário PIRÂMIDES... 1 CLASSIFICAÇÃO DE UMA PIRÂMIDE... 1 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 ÁREAS EM UMA PIRÂMIDE... 2 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 UMA PIRÂMIDE ESPECIAL O TETRAEDRO REGULAR... 3 APÓTEMA DE TETRAEDRO REGULAR... 3 APÓTEMA DE POLÍGONO REGULAR... 3 APÓTEMA DE TRIÂNGULO EQUILÁTERO... 3 ALTURA DE TETRAEDRO REGULAR... 3 ÁREA TOTAL E VOLUME DE TETRAEDRO REGULAR... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 4 SEÇÃO DE UMA PIRÂMIDE... 4 A SEMELHANÇA ENTRE DOIS SÓLIDOS... 4 O TRONCO DE UMA PIRÂMIDE... 5 ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE... 5 ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE... 5 ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE... 5 ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE... 5 VOLUME DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE... 5 O SEGREDO DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE REGULAR... 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 5 QUESTÕES EXTRAS... 6 GABARITO... 6

3 AULA 01 PIRÂMIDES Observe a representação de uma pirâmide: CLASSIFICAÇÃO DE UMA PIRÂMIDE Podemos classificar as pirâmides quanto ao número de lados do polígono da base (triangular, quadrangular, pentagonal, etc.). A seguir, temos algumas pirâmides e suas classificações: Observação 1: Uma pirâmide é tal que o polígono de sua base deve estar contido em um plano α que, por sua vez, não pode conter o vértice dela. Os elementos de uma pirâmide são: base, vértice, altura, faces laterais, arestas da base, arestas laterais e apótema da pirâmide*. No exemplo, acima: Base: hexágono regular. Vértice (da pirâmide): o vértice do poliedro (pirâmide) que não está contido em α. Altura: distância do vértice ao plano que contém a base. Faces laterais: triângulos. Arestas da base: lados do hexágono Arestas laterais: lados dos triângulos que não são comuns à base da pirâmide. Apótema da pirâmide*: altura de uma das faces laterais Observação 2: Nas pirâmides, as faces laterais sempre são triângulos. Observação 3: Quando uma pirâmide é descrita como uma pirâmide regular, há a implicação de dois fatos: Suas arestas laterais são congruentes; e a sua base é um polígono regular. Observação 4: Apótema da pirâmide* é um elemento exclusivo das pirâmides regulares. Observação 5: A altura de uma pirâmide NÃO coincide com a medida de uma de suas apótemas. Fonte: OS SEGREDOS DAS PIRÂMIDES Para não ter dificuldade nas questões de pirâmides é preciso conhecer três triângulos retângulos que são frequentemente utilizados para se determinar uma das medidas necessárias para o cálculo de áreas ou volume. A seguir, adotaremos a seguinte notação: H: altura da pirâmide g: medida do apótema da pirâmide a: medida da aresta lateral l: medida da aresta da base m: medida do apótema da base da pirâmide R: raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 g 2 = H 2 + m² VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Pode-se mostrar que o volume V de uma pirâmide é igual a 1 do volume de um prisma de mesma base e 3 mesma altura. Logo, o volume V de uma pirâmide é dada pela expressão a seguir, em que A B é a área da base e H, a altura da pirâmide. a 2 = g 2 + ( l 2 ) 2 V = 1 3 A B H Inspire-se para entender a fórmula acima. a 2 = H 2 + R² EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) Uma das arestas da base de uma pirâmide regular tem medida igual a 6 cm. Dado que uma das arestas laterais dessa pirâmide tem medida igual a 5 cm, determine uma de suas apótemas. 1.2) Uma pirâmide quadrangular regular é tal que todas as suas arestas são congruentes e cada uma mede 4 m. Determine uma de suas apótemas e a altura da pirâmide. 1.3) Dado que uma pirâmide hexagonal regular é tal que uma das arestas da sua base tem medida igual a 6 cm e que ela tem altura igual a 8 cm, determine uma das apótemas dessa pirâmide. AULA 02 ÁREAS EM UMA PIRÂMIDE Área da base (A B ): área do polígono da base; Área lateral (A L ): soma das áreas das faces laterais; Área total (A T ): soma das áreas de todas as faces da pirâmide. A T = A B + A L Observação 6: O objetivo das figuras acima é mostrar que um prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesma área da base e mesma altura, evidenciando que cada pirâmide tem volume igual a 1 3 prisma. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1) Unid. 5, Cap. 18: PSA 10 do volume do TAREFA 1: Unid. 5, Cap. 18: PSA 4, 5, 6, 9, 12 e 16. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

5 AULA 03 UMA PIRÂMIDE ESPECIAL O TETRAEDRO REGULAR Um tetraedro regular é uma pirâmide triangular regular cujas arestas têm, todas, a mesma medida. APÓTEMA DE POLÍGONO REGULAR Apótema de um polígono regular é a distância do seu centro para o ponto médio de um de seus lados. APÓTEMA DE TRIÂNGULO EQUILÁTERO A apótema de um triângulo equilátero é igual a 1 3 da medida da sua altura. m = 1 3 h m = l 3 6 No tetraedro regular VABC acima, temos: a: medida das arestas do tetraedro regular Observação 7: As 4 faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros congruentes. Desse modo, qualquer face de um tetraedro regular pode ser tratada como base da pirâmide. m: apótema do triângulo equilátero h: medida da altura do triângulo equilátero l: medida de um lado do triângulo equilátero ALTURA DE TETRAEDRO REGULAR A altura de um tetraedro regular é a distância de um de seus vértices para o plano que contém a face oposta a esse vértice. APÓTEMA DE TETRAEDRO REGULAR A apótema de um tetraedro regular é igual à altura de uma de suas faces, ou seja, é igual à altura de um triângulo equilátero. g = a 3 2 g: medida da apótema do tetraedro regular a: medida da aresta do tetraedro regular Observação 8: A fórmula acima pode ser obtida a partir de um teorema de Pitágoras aplicado em um dos triângulos retângulos que surgem ao traçarmos a altura de um triângulo equilátero. Ou por meio das razões trigonométricas que podem ser aplicadas nos mesmos triângulos retângulos. A figura acima deixa claro que podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado em azul. Se o fizermos, chegaremos à seguinte expressão para a altura H de um tetraedro regular de aresta a. H = a 6 3 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 ÁREA TOTAL E VOLUME DE TETRAEDRO REGULAR A T = 4 a2 3 4 V = 1 3 A B H A T = a 2 3 V = a³ 2 12 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1) PSA 14 TAREFA 2: Unid. 5, Cap. 18: PSA 8 e 13. AULA 04 SEÇÃO DE UMA PIRÂMIDE Considere uma pirâmide com base contida em um plano α. A uma distância h do vértice V dessa pirâmide passa um plano β//α, que o secciona, dividindo-o em 2 sólidos. TRONCO DE PIRÂMIDE Sólido que é parte da pirâmide e está compreendido entre os planos α e β. h T : altura do tronco de pirâmide g T : apótema do tronco de pirâmide l: medida da aresta da base menor do tronco L: medida da aresta da base maior do tronco Observação 9: Observe que as pirâmides pequena e grande são semelhantes. A SEMELHANÇA ENTRE DOIS SÓLIDOS Observe que Se a razão de semelhança entre os elementos lineares das pirâmides pequena e grande for tal que l L = g G = h H = 2p 2P = k 2p: perímetro da base da pirâmide pequena 2P: perímetro da base da pirâmide grande Então, a razão entre as áreas das superfícies das pirâmides pequena e grande será tal que A b A B = A l A L = A t A T = k 2 A b : área da base da pirâmide pequena A B : área da base da pirâmide grande A l : área lateral da pirâmide pequena A L : área lateral da pirâmide grande A t : área total da pirâmide pequena A T : área total da pirâmide grande Na figura acima, temos: PIRÂMIDE GRANDE H: altura da pirâmide grande G: apótema da pirâmide grande L: medida da aresta da base da pirâmide grande PIRÂMIDE PEQUENA h: altura da pirâmide pequena g: apótema da pirâmide pequena l: medida da aresta da base da pirâmide pequena E a razão entre os volumes das pirâmides pequena e grande será v V = k3 v: volume da pirâmide pequena V: volume da pirâmide grande TAREFA 3: Unid. 5, Cap. 18: PSA 19, 20, 22 e 24. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

7 AULA 05 O TRONCO DE UMA PIRÂMIDE Considere a parte da figura entre os planos α e β. VOLUME DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE Pode ser obtido pela diferença entre os volumes das pirâmides grande e pequena, nessa ordem. Ou, por meio da fórmula: V T = h T 3 (A B + A b + A B A b ) O SEGREDO DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE REGULAR Em qualquer tronco de pirâmide regular é possível destacar um trapézio retângulo, como ilustrado na figura a seguir. ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE É igual à área da base da pirâmide pequena. A b = área do polígono ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE É igual à área da base da pirâmide grande. A B = área do polígono ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE Pode ser obtida fazendo-se a diferença entre as áreas laterais das pirâmides grande e pequena, nessa ordem. Ou da seguinte forma: A LT = soma das áreas dos trapézios ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE É a soma das áreas de suas duas bases e da área de sua superfície lateral. A TT = A B + A b + A L m: apótema da base menor do tronco M: apótema da base maior do tronco Uma ferramenta muito explorada em exercícios é o trabalho com o triângulo retângulo destacado em vermelho, pois por meio dele conseguimos encontrar uma das medidas envolvidas quando conhecemos as demais. Assim, temos: (g T ) 2 = (h T ) 2 + (M m) 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1) Um tronco de uma pirâmide quadrangular regular é tal que os perímetros das suas bases menor e maior são, respectivamente, iguais a 8 cm e 16 cm. Dado que um apótema desse tronco tem medida igual a 5 cm, determine a área total e o volume desse tronco de pirâmide. TAREFA 4: Unid. 5, Cap. 18: PSA 22 e 23. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

8 QUESTÕES EXTRAS 1) A figura a seguir, formada pela composição de uma pirâmide quadrangular regular e um paralelepípedo reto retângulo, representa um peso para papel feito de granito polido, em que as medidas representadas na figura são dadas em centímetros. GABARITO EX. FUNDAMENTAIS 1.1) 4 cm 1.2) g = 2 3 m e H = 2 2 m 1.3) 91 cm 5.1) A T = 80 cm² e V = cm³ QUESTÕES EXTRAS 1) C E C E As alturas da peça e do paralelepípedo são iguais a 4 cm e 1 cm, respectivamente, e as bases do paralelepípedo e da pirâmide são quadrados em que cada lado tem medida igual a 4 cm. (1) O volume da pirâmide que compõe esse peso para papel é superior a 15 cm³. (2) A área da superfície desse bloco é igual a 8( ) cm². (3) Considere que esse peso para papel foi obtido a partir de cortes em um cubo maciço de aresta 4 cm. Assim, o volume da parte do cubo que não foi utilizado para a confecção do peso de papel é inferior a 60% do volume do cubo. (4) Se a densidade do granito utilizado é de kg/m³, então a massa desse objeto é superior a 77g. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6