SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

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1 Hewlett-Packard SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS AULAS 01 e 02 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

2 Sumário PRELIMINAR 1 NOÇÃO INTUITIVA... 1 DEFINIÇÃO DE TRIÂNGULOS SEMELHANTES CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA... 1 CASO: LADO ÂNGULO LADO (L.A.L.)... 1 CASO: LADO LADO LADO (L.L.L.)... 1 CASO: ÂNGULO ÂNGULO (A.A.)... 1 APLICAÇÕES... 2 Teorema Fundamental da semelhança O TRIÂNGULO RETÂNGULO PRELIMINAR RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO EXTRAS... 3 GABARITO PRELIMINARES... 4 EXTRA... 4

3 AULA 01 PRELIMINAR 1 NOÇÃO INTUITIVA Em um primeiro nível de raciocínio, podemos dizer que duas ou mais figuras são semelhantes quando causam, no observador, a mesma sensação, no que se refere a sua forma. As três figuras a seguir são semelhantes? Figura 2 Figura 3 a) a razão de semelhança (k) do triângulo ABC para o triângulo A B C. b) a razão de semelhança (k ) do triângulo A B C para o triângulo ABC. c) a medida de cada um dos lados do ABC. d) a razão de AB para A B ; e a razão de B C para BC. CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: LADO ÂNGULO LADO (L.A.L.) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes. Figura 1 Da observação das imagens anteriores, podemos pensar (de maneira informal) que duas imagens são semelhantes quando podemos dizer que, em relação à outra, uma delas é uma cópia, uma redução ou uma ampliação da outra. Obviamente, sem deformações. DEFINIÇÃO DE TRIÂNGULOS SEMELHANTES Dois triângulos são ditos semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de tal sorte que 1) Vértices correspondentes sejam vértices de ângulos internos congruentes; e 2) A razão entre lados homólogos de um triângulo para o outro seja constante. Obs.1: homólogos = correspondentes Obs.2: É comum nos referirmos a essa constante como k e ela recebe o nome de razão de semelhança. 1.1 Sejam dois triângulos, ABC e A B C, tais que ABC ~ A B C. Se o perímetro do ABC é de 64,8 cm e os lados A B, B C e A C têm medidas iguais a 10 cm, 14 cm e 12 cm, respectivamente, determine CASO: LADO LADO LADO (L.L.L.) Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. CASO: ÂNGULO ÂNGULO (A.A.) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. Obs.3: A maioria dos exercícios tem a semelhança provada pelo critério Ângulo Ângulo. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 APLICAÇÕES Teorema Fundamental da semelhança Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado por ela é semelhante ao primeiro. AULA 02 O TRIÂNGULO RETÂNGULO Um triângulo que possui um de seus ângulos internos com medida igual a 90 é chamado triângulo retângulo. Na figura acima, a reta DE é paralela ao lado AB. Assim, tem-se: CDE ~ CAB, pelo critério ângulo ângulo. 1.2 Para medir a altura de um prédio, Ana fez uso de dois cabos paralelos, cada um com uma de suas pontas presa ao prédio e a outra no solo. O primeiro cabo teve uma de suas pontas presa ao topo do prédio e a outra no solo, a 5 m de distância da base do prédio. Já o segundo, teve uma de suas pontas presas a uma altura de 5 m a partir do solo e a outra a 2 m de distância da base do prédio. Determine a altura do prédio. 1.3 (Acafe-SC-2001) Uma pessoa caminha sobre uma rampa inclinada (inclinação constante) de 3,5 m de altura. Após caminhar 12 m sobre ela, se encontra a 1,5 m de altura em relação ao solo. Para atingir o ponto mais alto da rampa, quantos metros esta pessoa deve ainda caminhar? 1.4 Unid. 3, Cap. 11: PSA 3 e 9 SUGESTÃO de passo-a-passo para exercícios 1) Nomeie os ângulos internos de um dos triângulos e, utilizando relações, conclua quais são os ângulos correspondentes no outro triângulo. 2) Anotar as medidas dos lados e dos ângulos na figura. Obs.: É comum que um dos triângulos apresente pelo menos um dos lados com medida igual a uma soma (ou subtração) de dois valores. 3) Montar a proporção com os lados homólogos e resolvê-la. TAREFA 1 Un. 3, Cap. 11: PSA 1, 2, 4 a 7, 10, 12 e 13. Obs. 1: Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa e os outros dois, são chamados catetos. Obs. 2: É conhecido como Teorema de Pitágoras a seguinte relação: (hip) 2 = (cat 1 ) 2 + (cat 2 ) 2, em que hip, cat 1 e cat 2 representam as medidas da hipotenusa e dos dois catetos, respectivamente Considere a figura ao lado, formada por dois triângulos retângulos que têm um lado comum e as medidas, em cm, nela apresentadas. Determine y A figura a seguir representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura. Considerando as medidas apresentadas na figura, o comprimento total do corrimão, em m, é igual a A) 1,8 B) 1,9 C) 2,0 D) 2,1 E) 2,2 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

5 PRELIMINAR 2 Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com med(ab C) = β e med(ac B) = α, conforme ilustra a figura a seguir Utilizando a tabela feita na questão 3 do preliminar 2, demonstre as relações métricas apresentadas. TAREFA 2 Unid. 3, Cap. 11: PSA 17 a 24 Trace a altura AH, com H BC, responda as perguntas 1 e 2 e faça o que se pede na questão 3. EXTRAS 1) No triângulo MNP a seguir, foi traçada a altura MH, relativa ao lado PN, e o segmento QO, paralelo ao lado PN, que divide a altura MH em dois segmentos de medidas 8 cm e 4 cm, conforme ilustrado. A. Agora, há quantos triângulos retângulos na figura? B. Há triângulos semelhantes? Justifique. C. Preencha a tabela a seguir, identificando os lados homólogos dos três triângulos Oposto a α Oposto a β Oposto a "90 " HAB HCA ACB 2.3. Considere um triângulo ABC, retângulo em A, altura AH, com H BC. Dado que AB = 6 e AC = 8, determine BC, HB, HC e AH. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Usando a semelhança existente entre os triângulos formados à partir do traçar da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, podemos chegar às seguintes relações. Dado que o segmento QO tem medida igual a 10 cm e que a área de um triângulo de base b e altura h é dada bh pela expressão, determine, em cm², a área do 2 triângulo MNP. 1) O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da sua projeção sobre a hipotenusa pela medida da hipotenusa; 2) O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 3) O produto da medida da hipotenusa do triângulo pela medida da sua altura é igual ao produto das medidas dos catetos desse triângulo. 4) O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 GABARITO 1.1. A) 9 5 B) 5 9 C) AB = 18, BC = 25,2 e AC = 21,6 D) 9 5 e 5 9, respectivamente ,5 m (Livro) D 2.3. BC = 10; HB = 3,6; HC = 6,4; AH = 4, (Demonstrações) PRELIMINARES 1. Não. Apenas as Figuras 1 e 2 são semelhantes. 2. A) Três. B) Sim. Provamos a semelhança entre eles pelo caso ângulo-ângulo. C) HAB HCA ACB Oposto a α HB AH AB Oposto a β AH HC AC Oposto a "90 " AB AC BC EXTRA Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4