Teorema de Tales. MA13 - Unidade 8. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.

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1 Teorema de Tales MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

2 Proporcionalidade 1. Dizemos que o segmento x é a quarta proporcional dos segmentos a, b e c (nessa ordem) quando a b = c x. 2. Dizemos que o segmento x é a terceira proporcional dos segmentos a e b (nessa ordem) quando a b = b x. 3. Dizemos que o segmento x é a média proporcional ou média geométrica dos segmentos a e b quando a x = x b. Teorema de Tales slide 2/9

3 Teorema 1 Se um feixe de paralelas determina sobre uma transversal segmentos iguais, determinará sobre qualquer outra transversal segmentos iguais. Considere as paralelas r 1, r 2, r 3 e as transversais t 1, t 2. A A r 1 B B r 2 C t 1 C t 2 r 3 Na figura acima, se AB = BC então A B = B C. Para demonstrar trace por A e por B paralelas a t 1 e observe a congruência dos triângulos formados. Teorema de Tales slide 3/9

4 Teorema 2 (teorema de Tales) Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos respectivamente proporcionais. A figura abaixo mostra três retas paralelas cortadas por duas transversais. A A B B C C Com os elementos da figura acima o Teorema de Tales diz que AB A B = BC B C. Teorema de Tales slide 4/9

5 Demonstração: a) Suponha que AB e BC são comensuráveis, ou seja, existe um segmento x que cabe um número inteiro de vezes em AB e um número inteiro de vezes em BC. Desta forma, AB = mx e BC = nx com m e n naturais. Daí, AB BC = m n. Traçando novas paralelas pelos pontos que dividem AB e BC em partes iguais obtemos na segunda transversal A B = my, B C = ny e, consequentemente, A B B C = m n. Temos então AB BC = A B B, ou seja, C AB A B = BC B C. x A B x A y B y C C Teorema de Tales slide 5/9

6 b) Se AB e BC não são comensuráveis, escolha um segmento x que cabe n vezes em BC (n natural, claro). Então BC = nx. Suponha, por outro lado que esse segmento x esteja contido entre m vezes e m + 1 vezes em AB. Então mx < AB < (m + 1)x e, dividindo por BC = nx temos: m n < AB BC < m + 1. n Traçando novas paralelas da mesma forma que no item anterior, temos que m n < A B B C < m + 1. n As duas razões, AB BC e A B A A x y B C estão entre m n e m + 1 B B. n A diferença entre essas razões é 1 n que tende a zero quando n cresce indefinidamente. C Portanto, temos AB BC = A B B C, ou seja, AB A B = BC B C. Teorema de Tales slide 6/9 C

7 Teorema 3 Toda paralela a um dos lados de um triângulo determina sobre os outros dois lados segmentos proporcionais. A D E B C Na figura acima, se DE é paralelo a BC então AD AE = BD EC. Obs: Observe que AD AE = BD EC = AB AC. Teorema de Tales slide 7/9

8 Teorema 4 Suponha que A, D e B sejam colineares (nesta ordem) e que A, E e C sejam colineares (nesta ordem). Se AD AE = BD então as retas DE EC e BC são paralelas. A D E B C Atenção: Este teorema é o recíproco do anterior. Para demonstrar, imagine, por absurdo que DE e BC não sejam paralelas... Teorema de Tales slide 8/9

9 Problema Duas semirretas têm origem A. Sobre uma delas afastando-se de A assinale os pontos B e C tais que AB = 64, 5 e BC = 32, 4. Sobre a outra afastando-se de A assinale os pontos D e E tais que AD = 42, 6 e DE = 21, 4. As retas BD e CE são paralelas? Teorema de Tales slide 9/9

10 Teorema das bissetrizes MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

11 Divisão de um segmento em uma razão a) Seja M um ponto interior ao segmento AB. A razão que M divide AB é MA MB. Exemplo: A 6 15 M B M divide interiormente o segmento AB na razão MA MB = 6 15 = 2 5. Teorema das bissetrizes slide 2/8

12 b) Seja N um ponto exterior ao segmento AB. A razão que N divide AB é NA NB. Exemplo: N 6 10 A B N divide exteriormente o segmento AB na razão NA NB = 6 16 = 3 8. Teorema das bissetrizes slide 3/8

13 Divisão harmônica Dado o segmento AB os pontos M e N (um interior e outro exterior) dividem harmonicamente esse segmento na razão k (k > 0) quando MA MB = NA NB = k. Exemplo: N A M B MA MB = 3 6 = 1 NA 2 NB = 9 18 = 1 2 Os pontos M e N dividem harmonicamente o segmento AB na razão 1 2. Teorema das bissetrizes slide 4/8

14 Teorema da bissetriz interna Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes. Na figura a seguir, AD é bissetriz do ângulo interno A. O teorema diz que DB DC = AB AC. A B D C Teorema das bissetrizes slide 5/8

15 Demonstração Dado o triângulo ABC trace a bissetriz AD. A paralela a AD traçada por C encontra a reta BA em P. Com os elementos da figura acima temos: α = β porque AD é bissetriz do ângulo BAC. α = α porque são correspondentes nas paralelas AD e PC. β = β porque são alternos internos nas paralelas AD e PC. Concluímos que α = β o que implica AC = AP. Pelo teorema de Tales temos DB DC = AB AP. Como AC = AP temos que DB DC = AB, como queríamos AC demonstrar. B D A α β β C α P Teorema das bissetrizes slide 6/8

16 Teorema da bissetriz externa Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo externo divide o lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes. Na figura a seguir, AE é bissetriz do ângulo externo A. O teorema diz que EB EC = AB AC. A B C E Sugestão para a demonstração: Trace por C a paralela a AE que encontra AB em Q. Mostre que o triângulo AQC é isósceles. Teorema das bissetrizes slide 7/8

17 Consequência Em um triângulo, as bissetrizes interna e externa traçadas do mesmo vértice dividem harmonicamente o lado oposto. A B D C E Teorema das bissetrizes slide 8/8

18 Semelhança MA13 - Unidade 9 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

19 O que são figuras semelhantes? Duas figuras F e F são semelhantes, com razão de semelhança k, quando existe uma bijeção s : F F entre os pontos de F e os pontos de F tais que: Se X e Y são pontos quaisquer de F e se X = s(x ) e Y = s(y ) são seus correspondentes em F então XY X Y = k. Quando duas figuras F e F e são semelhantes escrevemos F F. Observação: Fazendo 1 XY k = r a razão X Y = k permite escrever que X Y = rxy. O número r chama-se fator de ampliação (caso r > 1) ou fator de redução (caso 0 < r < 1). Semelhança slide 2/1

20 Propriedades da semelhança 1. Dois segmentos quaisquer são sempre semelhantes. 2. Toda semelhança transforma pontos colineares em pontos colineares. 3. Uma semelhança de razão k transforma uma circunferência de raio R em uma circunferência de raio R tal que R R = k. Semelhança slide 3/1

21 Demonstração de 1) Considere dois segmentos AB e A B com comprimentos a e b, respectivamente. Para cada ponto X AB associe o ponto X A B de forma que A X = b a AX. Fica definida uma bijeção entre os dois segmentos. B X A X A Assim, para quaisquer pontos X, Y AB temos que suas imagens X, Y A B são tais que B X Y = A Y A X = b a AY b a AX = b a (AY AX ) = b a XY Assim, os dois segmentos AB e A B são semelhantes. As demonstrações de 2 e 3 ficam para o leitor. Semelhança slide 4/1

22 Semelhança de triângulos Dois triângulos, ABC e A B C são semelhantes quando AB A B = AC A C = BC B C O triângulo ocupa posição destacada neste assunto porque podemos concluir se dois deles são semelhantes ou não observando apenas seus ângulos. Semelhança slide 5/1

23 Teorema 1 10cm Dois triângulos que possuem os mesmos ângulos internos são semelhantes. Demonstração: Na figura a seguir, os triângulos ABC e A B C são tais que Â = Â e ˆB = ˆB. A A D E B C B C Os pontos D e E do primeiro triângulo são tais que AD = A B e AE = A C. Como Â = Â então os triângulos ADE e A B C são congruentes (caso LAL). Como ˆB = ˆB = ˆD as retas DE e BC são paralelas. Assim, pelo teorema de Tales, AD AB = AE AC (1). Semelhança slide 6/1

24 A A D E B C B F C Traçamos agora EF paralela a AB. O quadrilátero BFED é um paralelogramo e, portanto, DE = BF. Novamente, pelo teorema de Tales AE AC = BF BC = DE (2). BC Reunindo (1) e (2) temos que AB A B = AC A C = BC B C. Assim, os triângulos, ABC e A B C são semelhantes. Semelhança slide 7/1

25 Teorema 2 11cm Dois triângulos semelhantes possuem os mesmos ângulos internos. Sugestão para a demonstração Na figura a seguir, os triângulos ABC e A B C são tais que AB A B = AC A C = BC B C. Você deve mostrar que esses triângulos possuem os mesmos ângulos internos. A A B C B C Considere o ponto D do lado AB tal que AD = A B e trace o segmento DE paralelo a BC. Usando o teorema de Tales conclua que AE = A C. Usando a mesma construção feita no teorema anterior, conclua que DE = B C. Organize os argumentos para concluir a tese do teorema. Semelhança slide 8/1

26 Semelhança de poĺıgonos Dois poĺıgonos são semelhantes quando puderem ser divididos em triângulos respectivamente semelhantes. A A B E C D B E Na figura acima são semelhantes os triângulos ABC e A B C, ACD e A C D, ADE e A D E. Desta forma, os pentágonos ABCDE e A B C D E são semelhantes. C D Semelhança slide 9/1

27 Propriedades a) Os dois poĺıgonos possuem os mesmos ângulos internos. b) A razão entre dois segmentos correspondentes é sempre a mesma (razão de semelhança). AB A B = BC B C = CD C D = DE D E = EA E A = AC A C = AD A D = BE B E = Semelhança slide 10/1

28 Como reconhecer poĺıgonos semelhantes Dois poĺıgonos são semelhantes quanto tiverem os mesmos ângulos, formados por lados respectivamente proporcionais. Os poĺıgonos ABCDEF e A B C D E F são semelhantes se Â = Â, ˆB = ˆB, e AB A B = BC B C =. Semelhança slide 11/1

29 Triângulo retângulo MA13 - Unidade 9 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT PROFMAT - SBM

30 As relações métricas no triângulo retângulo Considere o triângulo ABC, retângulo em A, a altura AH e os segmentos indicados na figura abaixo. A b h c C m HAC ABC b a = m b = h c H a + + n HBA ABC c a = h b = n c 2 = an c HAC HBA b c = m h = h bc = ah n h 2 Teorema de = mn Pitágoras Somando membro a membro as duas primeiras: b 2 + c 2 = am + an = a(m + n) = a a = a 2 a 2 = b 2 + c 2 B Aparecem as relações: b 2 = am PROFMAT - SBM Triângulo retângulo slide 2/1

31 Circunferência circunscrita A mediana relativa à hipotenusa é igual a metade da hipotenusa: MA = MB = MC = R (raio da circunferência circunscrita). R = a 2 A C M B PROFMAT - SBM Triângulo retângulo slide 3/1

32 Circunferência inscrita Seja I o incentro e sejam D, E e F os pontos de tangência. C E F I A D ADIF é um quadrado de lado AD = AF = r (raio da circunferência inscrita). Temos então: B a = BC = CE + BE = CF + BD = b r + c r Assim, 2r = b + c a e, portanto, r = b + c a. 2 PROFMAT - SBM Triângulo retângulo slide 4/1

33 Médias Dados dois números positivos a e b definimos: Média aritmética: M = a + b 2. Média geométrica: G = ab. Média harmônica: H = 2ab a + b. PROFMAT - SBM Triângulo retângulo slide 5/1

34 Visualização Semicircunferência de centro O e diâmetro AB. AC = a e CB = b. CP é perpendicular a AB. CD é perpendicular a PO. P A O C B Média aritmética: M = PO. Média geométrica: G = PC. Média harmônica: H = PD. a D b PROFMAT - SBM Triângulo retângulo slide 6/1