1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS DICA DO MINGUADO. Matemática 2 Pedro Paulo. Semelhança entre e :

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XIII 1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Seja um triângulo retângulo, com ângulos agudos e. Traçando a altura relativa à hipotenusa, formamos os triângulos retângulos e, como ilustrado na figura 1. DICA DO MINGUADO Figura 1 Triângulos retângulos, e No material de Geometria Plana X, a questão 17 pode ser resolvida de uma maneira bem mais simples e interessante do que a indicada pela minha dica: em vez de pensar em arco metade, a idéia é completar o quadrado com triângulos retângulos. Acompanhe a figura abaixo: Somando os ângulos do triângulo : No triângulo, tem-se: No triângulo, tem-se: Logo os triângulos retângulos, e possuem os mesmos ângulos, logo eles são semelhantes. Nem sempre é simples determinar os lados correspondentes dos diferentes triângulos. A maneira mais segura para você não cometer erros é SEMPRE determinar os lados opostos a cada ângulo: : é oposto aos lados (no ), (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ), (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ), (no ) e (no ); No momento de montar a semelhança, cada fração corresponderá aos lados opostos a um ângulo, onde o numerador é o lado oposto do primeiro triângulo e o denominador é o lado oposto do segundo triângulo: Figura 2 quadrado completado a partir do octógono Prolongando os lados do octógono, obtemos os pontos e, que são vértices de um quadrado de lado, onde é um dos catetos dos triângulos retângulos dos cantos. No triângulo retângulo, tem-se: Cada um dos triângulos retângulos tem base e altura. Então a área de cada um deles é: ( ) CASD Vestibulares Geometria 1

2 Exercício Resolvido 1: Calcule o valor da altura relativa à hipotenusa do triângulo abaixo. Resolução: Na figura do problema, há três triângulos retângulos:, e. Vamos mostrar que todos eles são semelhantes entre si! No triângulo, sejam e. Note que os triângulos e possuem os ângulos e, logo pelo caso A.A., eles são semelhantes entre si! Então Note que os triângulos e possuem os ângulos e, logo pelo caso A.A., eles são semelhantes! Então Então, pelo caso A.A., Aplicando o Teorema de Pitágoras no : Figura 3: figura do exercício resolvido 1 Resolução: Os triângulos, e são semelhantes. Devemos escolher dois deles para calcular. Como escolher esses triângulos? Os triângulos que devem ser escolhidos são os que têm como um de seus lados. Assim, os triângulos escolhidos são e : é oposto aos lados (no ), (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ), (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ), (no ) e (no ); Resposta: O valor de é Exercício Resolvido 2: Determine, e na figura abaixo. Resposta: Os valores são, e Observação: Deve-se ter. De fato: Figura 4: figura do exercício resolvido 2 Observação: Na apostila do SAS e em muitos livros de Geometria, esse tipo de exercício é chamado de Relações Métricas no Triângulo Retângulo. No entanto, como nós acabamos de ver, trata-se simplesmente de um problema de semelhança. É o caso particular de uma altura dentro de um triângulo retângulo maior, formando dois triângulos retângulos menores, todos eles semelhantes entre si! 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana X 2. (UFSJ - 13) Considere uma corda, perpendicular ao diâmetro de um círculo de centro. Sendo o ponto a interseção dos segmentos e e sabendo que e, a área do triângulo, em, é igual a Nível II 7. (INSPER - 12) Duas cidades e são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta de extensão. A de, à beira da R101, fica a cidade, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto, distante da cidade. a) b) c) d) 3. (UEPB - 13) No retângulo de lado,, o segmento é perpendicular à diagonal O segmento mede em : a) b) c) d) e) 4. (G1 - ifsp 2014) Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo. Um arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo. O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é a) b) c) d) e) 8. (UNICAMP - 13) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto reflete internamente três vezes e chega ao ponto, percorrendo o trajeto. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento é de, o do lado é de, o polígono é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto? Sabendo que, e são colineares, que mede e que mede, a área total do restaurante, em metros quadrados, é a) b) c) d) e) 5. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana X a) b) c) d) 6. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana XI CASD Vestibulares Geometria 3

4 9. (FUVEST - 10) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição e uma bola vermelha na posição, conforme o esquema abaixo. 11. (UFU - 12) Na Figura 1, o triângulo retângulo possui ângulo reto em,, e é um quadrado. Suponha que o quadrado seja transladado ao longo de, sem alterar a medida dos lados e ângulos ao longo dessa translação, gerando, dessa forma, um novo quadrado, em que coincidem os pontos e conforme ilustra a Figura 2. Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância do vértice deve-se jogar a bola branca? 10. (UFMG - 04) Nesta figura, os ângulos, e são retos e os segmentos, e medem, respectivamente,, e : Nessas condições, qual é o valor (em triângulo? ) da área do a) b) c) d) 12. (UFRJ - 09) O triângulo da figura a seguir tem ângulo reto em. O segmento é a altura relativa a. Os segmentos e medem e, respectivamente. O ponto pertence ao lado e. Nessa situação, a altura do triângulo ao lado é dada por em relação Determine o comprimento do segmento. a) b) c) d) 4 Geometria CASD Vestibulares

5 Nível III 13. (UFJF - 07) Na figura a seguir, encontra-se representado um trapézio retângulo de bases e, onde. DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Note que a parte de baixo da escada é a hipotenusa de um triângulo retângulo com cateto vertical igual a e cateto horizontal igual a. Seja essa parte de baixo. Então: A razão de semelhança entre o triângulo retângulo de baixo e o triângulo retângulo de cima é a razão entre os dois catetos verticais, que é Seja a parte de cima da escada. Então: Considere as seguintes afirmativas: I. II. III. As afirmativas corretas são: a) todas. b) somente I e II. c) somente I e III. d) somente II e III. e) nenhuma. O comprimento total da escada é : 2. A figura do problema é a seguinte (note que o arco vale, por isso ): 14. (UFPE - 11) Na figura abaixo, e. Os ângulos, e são retos. Determine. Os triângulos que devem ser escolhidos são os que têm como um de seus lados. Assim, os triângulos escolhidos são e O triângulo tem base e altura. Logo: CASD Vestibulares Geometria 5

6 3. Note que. Usando Pitágoras no triângulo retângulo : 5. Os triângulos que devem ser escolhidos são (que tem como um de seus lados) e (que tem todos os seus lados conhecidos) : é oposto aos lados (no ) e (no ); Antes de calcular, vamos calcular. Os triângulos que devem ser escolhidos são os que têm AB como um de seus lados. Assim, os triângulos escolhidos são e Seja o ponto em que e se cortam. No triângulo, note que e que. Assim, tem-se: Para calcular a área do terreno, devemos calcular o comprimento do lado. Os triângulos que devem ser escolhidos são (que tem como um de seus lados) e (que tem todos os seus lados conhecidos) Assim, os triângulos e possuem ângulos, e, logo eles são semelhantes. é ponto médio de, logo A razão de semelhança entre os os triângulos e é a razão entre as suas hipotenusas: A área total do terreno é A área do triângulo é 6 Geometria CASD Vestibulares

7 7. A figura do problema é a seguinte: 8. Inicialmente, deve-se ressaltar que não pode-se assumir que e, só por causa da figura. Vamos mostrar que isso acontece de fato. Note que os triângulos e são semelhantes. Além disso, como eles possuem o lado comum, a razão de semelhança é (quando dois triângulos semelhantes possuem razão de semelhança, diz-se que eles são congruentes). Por isso,. Por isso, os triângulos e são semelhantes com razão, logo eles são congruentes. Assim, tem-se que. Como,. A menor estrada ligando até a R103 é a perpendicular à estrada R103 passando por, representada pelo segmento na figura acima. Usando Pitágoras no triângulo, tem-se Os triângulos e são congruentes e 9. A figura do problema é a seguinte: Os triângulos que devem ser escolhidos são (que tem como um de seus lados) e (que tem todos os seus lados conhecidos) : é oposto aos lados (no ) e (no ); : oposto aos lados, e : oposto aos lados, e CASD Vestibulares Geometria 7

8 10. Usando Pitágoras no : 12. Sejam e. No triângulo, traçe a altura relativa ao lado.. Os triângulos que devem ser escolhidos são (que tem como um de seus lados) e (que tem todos os seus lados conhecidos) : é oposto aos lados (no ) e (no ); Inicialmente, vamos calcular. Os triângulos que devem ser escolhidos são e, que têm como um de seus lados. : é oposto aos lados (no ) e (no ). Usando Pitágoras no triângulo : ( ) 11. Sejam e. Inicialmente, vamos calcular. Os triângulos que devem ser escolhidos são os que têm como um de seus lados. Assim, os triângulos escolhidos são e Use a lei dos cossenos no para calcular. 13. Seja. Note que. No triângulo, note que. No triângulo, note que. Então os triângulos, e são todos semelhantes! Como os triângulos e possuem o lado comum, a razão de semelhança é. Logo os triângulos e são congruentes: e. Logo, (a afirmativa I é verdadeira) e são o lado do mesmo quadrado Logo, a afirmativa II é verdadeira Como é paralelo a, os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se: Logo, a afirmativa III é falsa 8 Geometria CASD Vestibulares

9 14. Chame o ponto em que corta de. Chame de e de. Note que e são opostos pelo vértice, logo. No triângulo, note que. No triângulo, note que. Então o triângulo é semelhante aos triângulos e. 1. B 2. A 3. C 4. D 5. D 6. B 7. E 8. B GABARITO 9. A distância deve ser Sejam, e. Assim, 10. B 11. C 12. O comprimento do segmento é 13. B 14. O valor de é : é oposto aos lados (no ) e (no ). De e, tem-se: CASD Vestibulares Geometria 9