Classificac a o segundo os lados. Geometria plana e analı tica. Congrue ncia de tria ngulos. Tria ngulo reta ngulo. Tria ngulos

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1 Classificac a o segundo os lados MA092 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Classificac a o Um tria ngulo e Equila tero, se tem tre s lados congruentes. Iso sceles, se tem dois lados congruentes. Escaleno, se na o tem lados congruentes. 1 / 25 2 / 25 Tria ngulo reta ngulo Congrue ncia de tria ngulos Um tria ngulo e dito reta ngulo se um de seus a ngulos e reto, ou seja, mede 90. Dois tria ngulos sa o congruentes se podemos estabelecer uma corresponde ncia entre os a ngulos de modo que Os lados correspondentes sejam congruentes; e Os a ngulos correspondentes sejam congruentes. Em um tria ngulo reta ngulo, O lado oposto ao a ngulo reto e chamado hipotenusa. Os outros lados sa o chamados catetos. 3 / 25 4 / 25

2 Congruência de triângulos Uso da congruência na prática A teoria sobre congruência de triângulos nos permite desenhar um triângulo a partir de medidas conhecidas. Apesar de dois triângulos serem congruentes quando suas seis medidas são iguais (lados e ângulos), três medidas já bastam. As possibilidades são LLL (os três lados são conhecidos) LLA (dois lados e um ângulo não compreendido entre eles)lla (dois lados e um ângulo não compreendido entre eles) LAL (dois lados e o ângulo compreendido entre eles) LAA (dois ângulos e um lado não compreendido entre eles) ALA (dois ângulos e o lado compreendido entre eles) AAA (os três ângulos são conhecidos)aaa (os três ângulos são conhecidos) As combinações LLL, LAL, LAA e ALA servem AAA e LLA não servem para definir congruência Geometria plana e analítica 5 / 25 Caso LLL Caso LLL Dois triângulos são congruentes se possuem três lados congruentes. Desenhando ABC a partir de AB, AC e BC Com o compasso centrado em A, marque os pontos que estão a uma distância igual à medida do lado AC. (Fig. 1) Com o compasso centrado em B, marque os pontos que estão a uma distância igual à medida do lado BC. (Fig. 1) Descoberta a localização de C, trace os lados que faltam. (Fig. 2) Geometria plana e analítica 6 / 25 Caso LAL Caso ALA Caso LAL Dois triângulos são congruentes se possuem dois lados congruentes, bem como o ângulo entre eles. Desenhando ABC a partir de AB, BC e ˆB Com um transferidor, marque o ângulo ˆB (ponto D) e trace a semirreta BD.(Fig.1) Com o compasso centrado em B ou uma régua, marque o ponto C sobre a semirreta BD. (Fig. 1) Descoberta a localização de C, trace o lado AC. (Fig. 2) Caso ALA Dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos congruentes, bem como o lado entre eles. Desenhando ABC a partir de AB,  e ˆB Com um transferidor, marque o ângulo  (ponto D) e trace a semirreta AD.(Fig.1) Com um transferidor, marque o ângulo ˆB (ponto E) e trace a semirreta BE.(Fig.1) O vértice C está na interseção das semirretas. (Fig. 2) Geometria plana e analítica 7 / 25 Geometria plana e analítica 8 / 25

3 Caso LAA Medidas insuficientes: AAA Caso LAA Dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos congruentes, bem como um lado não compreendido entre eles. Desenhando ABC a partir de AB,  e Ĉ Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180. Logo, conhecendo  e Ĉ, encontramos ˆB calculando ˆB = 180  Ĉ. Assim, caímos no caso ALA, mencionado anteriormente. Caso AAA É possível construir infinitos triângulos dadas as medidas dos três ângulos. Os triângulos ABC e ADE não são congruentes, embora ˆB ˆD e Ĉ Ê. Esse caso é equivalente a termos apenas dois ângulos conhecidos, pois a medida do terceiro sempre pode ser descoberta usando o fato de que a soma dos ângulos internos é 180. Geometria plana e analítica 9 / 25 Geometria plana e analítica 10 / 25 Medidas insuficientes: LLA Caso particular LLA Caso LLA É possível construir dois triângulos dadas as medidas de dois lados e um ângulo não compreendido entre eles. Os triângulos ABC e ABD não são congruentes, embora Ambos tenham em comum o ângulo  e o lado AB. O lado BC seja congruente com BD. Geometria plana e analítica 11 / 25 Caso RHL (triângulo retângulo) No caso LLA, se o ângulo tiver 90, o triângulo é único. Nesse caso, conhecemos o ângulo reto (R), a hipotenusa (H) e um cateto (L). Desenhando ABC a partir de AB, AC e ˆB Com o compasso centrado em A, marque os pontos que estão a uma distância igual à medida do lado AC. (Fig. 1) Com um transferidor, marque o ângulo ˆB (ponto D) e trace a semirreta BD.(Fig.1) Descoberta a localização de C, trace o lado AC. (Fig. 2) Geometria plana e analítica 12 / 25

4 Tria ngulo iso sceles Desigualdade triangular Teorema Em um tria ngulo, a medida de um lado e menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Teorema Um tria ngulo e iso sceles se e somente se possui dois a ngulos congruentes. Se A B enta o ABC e iso sceles. ( ABC BAC por ALA.) Se ABC e iso sceles enta o A B. ( ABC BAC por LAL.) O lado compreendido entre os a ngulos iguais (AB) e chamado base. a<b+c 13 / 25 b<a+c c<a+b 14 / 25 Bissetriz de um a ngulo Bissetriz de um tria ngulo Uma semirreta AD interna a um a ngulo B A C e chamada bissetriz do a ngulo se B A D C A D. Bissetriz (interna) de um tria ngulo e o segmento com extremidades em um ve rtice e no lado oposto a este, que divide o a ngulo desse ve rtice em dois a ngulos congruentes. 15 / / 25

5 Mediana de um tria ngulo Altura de um tria ngulo Mediana de um tria ngulo e o segmento que liga um ve rtice ao ponto me dio do lado oposto. Altura de um tria ngulo e o segmento que liga um ve rtice a sua projec a o na reta que conte m o lado oposto. 17 / / 25 Exercı cios Exercı cio 1 Perı metro de um tria ngulo O Perı metro de um tria ngulo e a soma dos comprimentos de seus lados. Na figura abaixo, o tria ngulo ABC e iso sceles, com base BC. Determine x e y. Perı metro: p = a + b + c x = 85, y = / / 25

6 Exercícios Exercícios Exercício 2 Exercício 3 Sabendo que o triângulo ABC é equilátero, determine x e y. Encontre os valores de x e y na figura abaixo (não é preciso encontrar z e α). x = 4, y = 9 Geometria plana e analítica 21 / 25 x = 11, y = 15 Geometria plana e analítica 22 / 25 Exercício 4 Exercícios Exercício 5 Exercícios Um triângulo isósceles tem um lado com 10 cm e outro com 24 cm. Nesse caso, o comprimento do terceiro lado é A) x = 10 cm B) x = 24 cm C) x = 10 cm ou x = 24 cm D) 10 cm x 24 cm As bissetrizes de dois ângulos adjacentes a um lado de um triângulo formam um ângulo de 120. Sabendo que um desses dois ângulos mede 70, determine a medida do outro. 50 Geometria plana e analítica 23 / 25 Geometria plana e analítica 24 / 25

7 Exercícios Exercício 6 Usando esquadros, compasso e transferidor, desenhe triângulos a partir das informações fornecidas abaixo. 1 Lados que medem 3 cm e 6 cm e ângulo compreendido entre eles de Lados que medem 4 cm, 5 cm e 7 cm. Geometria plana e analítica 25 / 25

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