Hewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 04. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

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1 Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 04 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

2 Sumário TRIÂNGULOS... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO... 1 ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO... 1 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 PRELIMINAR A DESIGUALDADE TRIANGULAR... 2 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 2 CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO... 2 MEDIATRIZ e CEVIANAS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO3 Mediatriz... 3 Cevianas Notáveis de um Triângulo... 3 Mediana... 3 Bissetriz interna... 4 Altura... 4 COINCIDÊNCIA... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 4 OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO... 5 BARICENTRO... 5 INCENTRO... 5 CIRCUNCENTRO... 6 ORTOCENTRO... 6 PROPRIEDADES DOS PONTOS NOTÁVEIS nos triângulos isósceles... 6 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 7 GABARITOS... 7 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

3 TRIÂNGULOS AULA 01 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Dados os pontos não-colineares A 1, A 2 e A 3, chamaremos de triângulo a união dos segmentos, A 1 2, A 2 3 e A 1 3 com a região do plano limitada por esses segmentos. ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO Escolhendo um dos vértices de um triângulo e prolongando um dos lados que passa por esse vértice, formamos, externamente ao triângulo, dois ângulos: um raso e outro de medida x, com 0 < x < 180. Esse último é denominado ÂNGULO EXTERNO relativo ao vértice escolhido. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC com as medidas de seus ângulos indicadas. ELEMENTOS Vértices: pontos A 1, A 2 e A 3. Lados: segmentos A 1 A, 2 2 A 3 Ângulos internos: i 1, i 2 e i 3. Ângulos externos: e 1, e 2 e e 3. A e A 3 A. 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180. Por exemplo, na figura, a, b e c representam as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. Note que: x é a medida do ângulo externo relativo ao vértice A. y é a medida do ângulo externo relativo ao vértice B. z é a medida do ângulo externo relativo ao vértice C. SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360. Por exemplo, na figura, x, y e z representam as medidas dos ângulos externos do triângulo ABC. Desse modo, temos: a + b + c = 180 Desse modo, temos: x + y + z = 360 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas de dois dos seus ângulos internos não-adjacentes a esse ângulo externo. Na figura acima, o triângulo ABC tem ângulos internos de medidas a, b e c e ângulos externos de medidas x, y e z. De acordo com o teorema, tem-se: x = b + c y = a + c z = a + b EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1 Considere o triângulo PQR, representado na figura a seguir. 145º P 150º A medida do ângulo QR P é a) 60 b) 90 c) 20 d) Na figura a seguir, tem-se AD = AE, CD = CF e BA = BC. Se o ângulo ED F mede 80, então o ângulo AB C tem medida igual a R Q 45º AULA 02 PRELIMINAR 1 Uma criança encontra três gravetos (retilíneos) que têm medidas, em cm, aproximadamente iguais a 3, 10 e 18. Se ela juntar as extremidades dos gravetos, conseguirá construir um triângulo? A DESIGUALDADE TRIANGULAR Para que seja possível construir um triângulo, é necessário e suficiente que a medida de cada segmento seja menor do que a soma das medidas dos outros dois. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.1. Responda ao Preliminar 1, justificando sua resposta Deseja-se construir um triângulo com lados de medida 2, 8 e x. Quais são os valores reais de x que viabilizam essa construção? CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO Quanto aos lados Isósceles Pelo menos dois lados congruentes. Obs. 1: Em um triângulo isósceles, o lado que tem medida distinta da medida dos outros dois é chamado base do triângulo isósceles. Obs. 2: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Equilátero Os três lados são congruentes. Obs. 3: Todo triângulo equilátero é isósceles. Obs. 4: Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes e a medida de cada um deles é 60. Escaleno Três lados de medidas diferentes. a) 20. b) 30. c) 50. d) 60. e) 90. TAREFA 1 Unid. 3, Cap. 9: fazer os PSA de 3 a 6 e 11. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

5 Quanto aos ângulos Retângulo Possui um ângulo de medida 90. Obs. 5: Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa (o maior lado) e os outros dois são chamados catetos. Obs. 6: Os ângulos não retos de um triângulo retângulo são agudos e complementares. Acutângulo Possui os ângulos internos agudos. Obtusângulo Possui um dos ângulos internos obtuso. Obs. 1: Em geral, uma mediatriz não passa por um vértice do triângulo, exceto a mediatriz relativa à base de um triângulo isósceles e as mediatrizes de um triângulo equilátero. Cevianas Notáveis de um Triângulo Ceviana de um triângulo é o nome dado a um segmento de reta que tem uma de suas extremidades em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto a esse vértice. As três cevianas notáveis de um triângulo são: Mediana Bissetriz interna Altura Obs. 2: Em qualquer triângulo é possível construir três de cada uma das cevianas citadas acima. Mediana Uma mediana tem um de seus extremos em um dos vértices do triângulo e o outro no ponto médio do lado oposto a esse vértice. TAREFA 2 Unid. 3, Cap. 9: PSA 1, 2, 7, 8, 9 e 10. Além disso, o TSC 26. AULA 03 MEDIATRIZ e CEVIANAS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Mediatriz Das infinitas retas que podem ser traçadas pelos pontos de um segmento, denominamos MEDIATRIZ a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele. Na figura, m b é a mediana relativa ao vértice B. Obs. 3: A mediana relativa à hipotenusa é tal que sua medida é igual à metade da medida dessa hipotenusa. Na figura a seguir, a reta r é a mediatriz do segmento BC, em que M é o ponto médio desse segmento. r CM = AB 2 Note que, na figura acima, os dois triângulos formados no interior do triângulo retângulo são isósceles. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 Propriedade: Se um lado de um triângulo é um diâmetro da circunferência que o circunscreve, então, esse triângulo é necessariamente retângulo. COINCIDÊNCIA Em geral, a mediatriz e as cevianas de um triângulo relativas a um mesmo vértice não são coincidentes. Bissetriz interna Uma bissetriz interna de um triângulo está contida na bissetriz de um dos ângulos internos desse vértice. Na figura, s a é a mediana relativa ao vértice A. Note que, uma bissetriz interna não tem, necessariamente, um de seus extremos no ponto médio do lado oposto ao vértice que a origina. Altura Uma altura tem um de seus extremos em um dos vértices do triângulo e o outro contido na reta perpendicular à reta suporte do lado oposto a esse vértice. Porém, há algumas exceções nas quais a mediatriz e as cevianas relativas a um mesmo lado se sobrepõem. São elas: A mediatriz e as cevianas relativas apenas à base de um triângulo isósceles. A mediatriz e as cevianas relativas a um mesmo lado (de qualquer um dos lados) de um triângulo equilátero. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1 Na figura a seguir tem-se um triângulo ABC, retângulo em A. Sabe-se que AH é a altura relativa à Na figura, h c é a altura relativa ao vértice C. Obs. 4: Nem sempre as alturas são internas ao triângulo, veja: Triângulo acutângulo: as três alturas são internas ao triângulo. Triângulo retângulo: cada cateto é uma altura desse triângulo. Triângulo obtusângulo: duas de suas alturas são externas ao triângulo. hipotenusa e AM é a mediana relativa ao vértice A. Nestas condições, calcule, em graus, a medida x do ângulo assinalado. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

7 3.2 Seja ABC um triângulo retângulo em A, em que med(ab C) = 60. A medida do ângulo agudo formado pela bissetriz interna e a mediana relativas ao ângulo com vértice em A é igual a a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. TAREFA 3 Unid. 3, Cap. 9: PSA: 12 a 14. AULA 04 OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Os pontos notáveis de um triângulo são determinados pela interseção de três cevianas de um mesmo tipo, ou pela interseção de três mediatrizes. São eles: BARICENTRO INCENTRO CIRCUNCENTRO ORTOCENTRO Veja a figura a seguir, na qual m representa a medida da mediana destacada. Curiosidade: O baricentro é o centro de gravidade de um objeto construído com material homogêneo e na forma de um triângulo. INCENTRO É o ponto de interseção das três bissetrizes internas do triângulo. Na figura, I é o baricentro do triângulo ABC. BARICENTRO É o ponto de interseção das três medianas. Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC. i. É o único ponto do plano que é equidistante dos três LADOS do triângulo. i. Note que, em um triângulo ABC, se chamarmos de M o ponto médio do lado BC, e de G o baricentro do triângulo, então as distâncias de G a A (entre o vértice e o baricentro) e as distâncias de G a M (entre o baricentro e o ponto médio) são tais que ii. É o centro da circunferência INSCRITA ao triângulo. GA = 2 GM. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

8 CIRCUNCENTRO É o ponto de interseção das três mediatrizes. Na figura, O é o circuncentro do triângulo ABC. ORTOCENTRO É o ponto de interseção das três alturas do triângulo. i. Em um triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo. ii. Em um triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do triângulo cujo ângulo interno é reto. i. É o único ponto do plano que é equidistante dos três VÉRTICES do triângulo. ii. É o centro da circunferência CIRCUNSCRITA ao triângulo. iii. Em um triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo. iii. Em um triângulo acutângulo, o circuncentro é interno ao triângulo. iv. Em um triângulo retângulo, o circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa. PROPRIEDADES DOS PONTOS NOTÁVEIS nos triângulos isósceles Em um triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis estão alinhados. Todos eles pertencem à mediatriz relativa à base desse triângulo. v. Em um triângulo obtusângulo, o circuncentro é externo ao triângulo. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6

9 Em um triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis coincidem. Isto é, baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são representados pelo mesmo ponto. Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro * Algumas das imagens dessa aula foram retiradas, em outubro/2012, do sítio: EXTRAS 1) Na figura a seguir, tem-se AD // BC e E BC. B 60º A 60º E Determine a medida do ângulo AE D, dado que med(ad C) = med(dc E)90. 45º D C 2) Acerca da figura ao lado, EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1 Na figura a seguir, considere I o incentro do triângulo ABC. julgue os itens: (A) O triângulo ABC é equilátero. (B) O triângulo ACD é isósceles. (C) α (γ + β) é divisível por 2. 3) Considere a figura a seguir, na qual B AC, D CF, D BE e F AE. Dado que med(bi C) = 100, a medida do ângulo BA C é igual a a) 20. b) 30. c) 40. d) 60. e) 80. TAREFA 4 (EM SALA) Unid. 3, Cap. 9: TSC 17, 20, 23, 24 e 25 Dado que a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados, tem-se que o valor de x é igual a a) 100. b) 110. c) 115. d) 120. e) 135. TREINO Unid. 3, Cap. 9: TSC 4, 5, 6, 7, 13 e 14 GABARITOS EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) D 1.2) A 2.1) D 2.2) A 3.1) ) C 4.1) A EXERCÍCIOS EXTRAS 1) 75 2) C C C 3) D Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 7