Hewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 03. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

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1 Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 03

2 Sumário Triângulos... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO... 1 ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO... 1 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO... 2 CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 PRELIMINAR A DESIGUALDADE TRIANGULAR... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 3 MEDIATRIZ e CEVIANAS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO3 Mediatriz... 3 Cevianas Notáveis de um Triângulo... 3 Mediana... 3 Bissetriz interna... 4 Altura... 4 COINCIDÊNCIA... 4 OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO... 4 BARICENTRO... 5 INCENTRO... 5 CIRCUNCENTRO... 5 ORTOCENTRO... 6 PROPRIEDADES DOS PONTOS NOTÁVEIS nos triângulos isósceles... 6 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 7

3 Triângulos AULA 01 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Dados os pontos não-colineares A1, A2 e A3, chamaremos de triângulo a união dos segmentos, 𝐴 1 𝐴2, 𝐴2 𝐴3 e 𝐴1 𝐴3 com a região do plano limitada por esses segmentos. ELEMENTOS Vértices: pontos A1, A2 e A3. Lados: segmentos A1A2, A2 A3 e A3 A1. Ângulos internos: i1, i2 e i3. Ângulos externos: e1, e2 e e3. SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180. Por exemplo, na figura, a, b e c representam as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO Escolhendo um dos vértices de um triângulo e prolongando um dos lados que passa por esse vértice, formamos, externamente ao triângulo, dois ângulos: um raso e outro de medida x, com 0 < x < 180. Esse último é denominado ÂNGULO EXTERNO relativo ao vértice escolhido. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC com as medidas de seus ângulos indicadas. Note que: x é a medida do ângulo externo relativo ao vértice A. y é a medida do ângulo externo relativo ao vértice B. z é a medida do ângulo externo relativo ao vértice C. SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360. Por exemplo, na figura, x, y e z representam as medidas dos ângulos externos do triângulo ABC. Desse modo, temos: a + b + c = 180 Desse modo, temos: x + y + z = 360 Página 1

4 TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas de dois dos seus ângulos internos Quanto aos ângulos Retângulo Possui um ângulo de medida 90. Obs. 5: Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa (o maior lado) e os outros dois são chamados catetos. Obs. 6: Os ângulos não retos de um triângulo retângulo são agudos e complementares. Acutângulo Possui os ângulos internos agudos. Obtusângulo Possui um dos ângulos internos obtuso. não-adjacentes a esse ângulo externo. Na figura acima, o triângulo ABC tem ângulos internos de medidas a, b e c e ângulos externos de medidas x, y e z. De acordo com o teorema, tem-se: x=b+c y=a+c z=a+b CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO Quanto aos lados Isósceles Pelo menos dois lados congruentes. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1 Considere o triângulo PQR, representado na figura a seguir. R Obs. 1: Em um triângulo isósceles, o lado que tem medida distinta da medida dos outros dois é chamado base do triângulo isósceles. Obs. 2: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Equilátero Os três lados são congruentes. Obs. 3: Todo triângulo equilátero é isósceles. Obs. 4: Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes e a medida de cada um deles é 60. Q P 145º 150º 45º A medida do ângulo 𝑄𝑅 𝑃 é a) 60 b) 90 c) 20 d) Na figura a seguir, tem-se 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸, 𝐶𝐷 = 𝐶𝐹 e 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶. Escaleno Três lados de medidas diferentes. 𝐹 mede 80, então o ângulo 𝐴𝐵 𝐶 Se o ângulo 𝐸𝐷 tem medida igual a a) 20. b) 30. c) 50. d) 60. e) 90. Página 2

5 GABARITO: 1.1) d 1.2) a Na figura a seguir, a reta r é a mediatriz do segmento BC, em que M é o ponto médio desse segmento. TAREFA 1 LER o exercício resolvido 1, nas p. 5 e 7, e o ex. resolvido 2, nas p. 11 e 12. E fazer os PSA de 3 a 11. r AULA 02 PRELIMINAR 1 Uma criança encontra três gravetos (retilíneos) que têm medidas, em cm, aproximadamente iguais a 3, 10 e 18. Se ela juntar as extremidades dos gravetos, conseguirá construir um triângulo? A DESIGUALDADE TRIANGULAR Para que seja possível construir um triângulo, é necessário e suficiente que a medida de cada segmento seja menor do que a soma das medidas dos outros dois. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.1. Responda ao Preliminar 1, justificando sua resposta Deseja-se construir um triângulo com lados de medida 2, 8 e x. Quais são os valores reais de x que viabilizam essa construção? TAREFA 2 LER o exercício resolvido 1, nas p. 2 e 3, e fazer os PSA 1 e 2. AULA 03 MEDIATRIZ e CEVIANAS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Obs. 1: Em geral, uma mediatriz não passa por um vértice do triângulo, exceto a mediatriz relativa à base de um triângulo isósceles e as mediatrizes de um triângulo equilátero. Cevianas Notáveis de um Triângulo Ceviana de um triângulo é o nome dado a um segmento de reta que tem uma de suas extremidades em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto a esse vértice. As três cevianas notáveis de um triângulo são: Mediana Bissetriz interna Altura Obs. 2: Em qualquer triângulo é possível construir três de cada uma das cevianas citadas acima. Mediana Uma mediana tem um de seus extremos em um dos vértices do triângulo e o outro no ponto médio do lado oposto a esse vértice. Mediatriz Das infinitas retas que podem ser traçadas pelos pontos de um segmento, denominamos MEDIATRIZ a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele. Na figura, 𝑚𝑏 é a mediana relativa ao vértice B. Página 3

6 Obs. 3: A mediana relativa à hipotenusa é tal que sua medida é igual à metade da medida dessa hipotenusa. 𝐶𝑀 = 𝐴𝐵 2 Note que, na figura acima, os dois triângulos formados no interior do triângulo retângulo são isósceles. Obs. 4: Nem sempre as alturas são internas ao triângulo, veja: Triângulo acutângulo: as três alturas são internas ao triângulo. Triângulo retângulo: cada cateto é uma altura desse triângulo. Triângulo obtusângulo: duas de suas alturas são externas ao triângulo. COINCIDÊNCIA Em geral, a mediatriz e as cevianas de um triângulo relativas a um mesmo vértice não são coincidentes. Propriedade: Se um lado de um triângulo é um diâmetro da circunferência que o circunscreve, então, esse triângulo é necessariamente retângulo. Bissetriz interna Uma bissetriz interna de um triângulo está contida na bissetriz de um dos ângulos internos desse vértice. Porém, há algumas exceções nas quais a mediatriz e as cevianas relativas a um mesmo lado se sobrepõem. São elas: Na figura, 𝑠𝑎 é a mediana relativa ao vértice A. Note que, uma bissetriz interna não tem, necessariamente, um de seus extremos no ponto médio do lado oposto ao vértice que a origina. Altura A mediatriz e as cevianas relativas apenas à base de um triângulo isósceles. A mediatriz e as cevianas relativas a um mesmo lado (de qualquer um dos lados) de um triângulo equilátero. Uma altura tem um de seus extremos em um dos vértices do triângulo e o outro contido na reta perpendicular à reta suporte do lado oposto a esse vértice. Na figura, ℎ𝑐 é a altura relativa ao vértice C. Página 4

7 OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Curiosidade: O baricentro é o centro de gravidade de um objeto construído com material homogêneo e na forma de um triângulo. Os pontos notáveis de um triângulo são determinados pela interseção de três cevianas de um mesmo tipo, ou pela interseção de três mediatrizes. São eles: INCENTRO É o ponto de interseção das três bissetrizes internas do triângulo. BARICENTRO INCENTRO CIRCUNCENTRO ORTOCENTRO Na figura, 𝐼 é o baricentro do triângulo ABC. BARICENTRO É o ponto de interseção das três medianas. Na figura, 𝐺 é o baricentro do triângulo ABC. i. i. É o único ponto do plano que é equidistante dos três LADOS do triângulo. ii. É o centro da circunferência INSCRITA ao triângulo. Note que, em um triângulo ABC, se chamarmos de, e de 𝐺 o baricentro 𝑀 o ponto médio do lado 𝐵𝐶 do triângulo, então as distâncias de G a A (entre o vértice e o baricentro) e as distâncias de G a M (entre o baricentro e o ponto médio) são tais que CIRCUNCENTRO É o ponto de interseção das três mediatrizes. Na figura, 𝑂 é o circuncentro do triângulo ABC. 𝐺𝐴 = 2 𝐺𝑀. Veja a figura a seguir, na qual m representa a medida da mediana destacada. i. É o único ponto do plano que é equidistante dos três VÉRTICES do triângulo. ii. É o centro da circunferência CIRCUNSCRITA ao triângulo. Página 5

8 iii. Em um triângulo acutângulo, o circuncentro é interno ao triângulo. iii. Em um triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo. iv. Em um triângulo retângulo, o circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa. PROPRIEDADES DOS PONTOS NOTÁVEIS nos triângulos isósceles v. Em um triângulo obtusângulo, o circuncentro é externo ao triângulo. Em um triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis estão alinhados. Todos eles pertencem à mediatriz relativa à base desse triângulo. ORTOCENTRO É o ponto de interseção das três alturas do triângulo. i. Em um triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo. ii. Em um triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do triângulo cujo ângulo interno é reto. Em um triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis coincidem. Isto é, baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são representados pelo mesmo ponto. Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro Página 6

9 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2 Acerca da figura a seguir, julgue 3.1 Na figura a seguir tem-se um triângulo ABC, os itens: retângulo em A. Sabe-se que 𝐴𝐻 é a altura relativa à (1) O triângulo ABC é equilátero. hipotenusa e 𝐴𝑀 é a mediana relativa ao vértice A. (2) O triângulo ACD é isósceles. A (3) 𝛼 (𝛾 + 𝛽) é divisível por 2. 40º GABARITO: B x 1.1) ) C C C C H M Nestas condições, calcule, em graus, a medida 𝑥 do ângulo assinalado. TAREFA 3 LER o exercício resolvido 5, na parte teórica, e fazer os PROPOSTOS de 12 a 14. * Algumas das imagens dessa aula foram retiradas, em outubro/2012, do sítio: notaveis-de-um-triangulo.html. EXTRAS 1.1 Na figura a seguir, tem-se 𝐴𝐷// 𝐵𝐶 e 𝐸 𝐵𝐶. A D 60º 45º 60º B E C Determine a medida do ângulo 𝐴𝐸 𝐷, dado que 𝐶) = 𝑚𝑒𝑑(𝐷𝐶 𝐸)90. 𝑚𝑒𝑑(𝐴𝐷 Página 7