Axiomas e Proposições

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Jerónimo Teixeira
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1 Axiomas e Proposições Axiomas: I Incidência I.1 Existem infinitos pontos no plano. I.2 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma única reta. I.3 Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e infinitos pontos fora dela. II Ordem II.1Dados três pontos colineares e distintos dois a dois, um deles, e apenas um, está entre os outros dois. II.2 Dados dois pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C que está entre A e B, e um ponto D tal que A está entre D e B. II.3 Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano que não pertencem a r em dois conjuntos, α e α, tais que: α e α são disjuntos (não têm elementos em comum). Se A a α e B a α, então AB intersecta r (o segmento AB e a reta r têm um elemento em comum). Se A e B estão ambos em α (ou em α ), então o segmento AB não i intersecta a reta r. III Congruência III.1 Todo segmento é congruente a si mesmo. III.2 Se AB é congruente a CD, então CD é congruente a AB. III.3 Se AB é congruente a CD e CD é congruente a EF, então AB é congruente a EF. III.4 Se B está entre A e C, E está entre D e F, AB DE e BC EF então AC DF. III.5 (Transporte de Segmentos) Dados um segmento AB e uma semirreta CD, existe um único ponto E a CD tal que AB CE. III.6 A cada segmento AB está associado um número real positivo que chamamos medida de AB, e escrevemos m(ab). Dois segmentos são congruentes se, e somente se, suas medidas são iguais. Do mesmo modo, se considerarmos um número real positivo qualquer, digamos c, então existem segmentos com medida igual a c. III.7 Se B está entre A e C, então m(ac) = m(ab) + m(bc). III.8 (Transporte de Ângulos) Dados um ângulo BÂC e uma semi-reta DE, em cada semiplano determinado pela reta que passa por D e E existe uma única semirreta DF tal que BÂC é congruente a EḒF. III.9. A cada ângulo BÂC do plano está associado um número real positivo menor que 180 o chamado medida do ângulo BÂC, e denotado por m(bâc), tal que dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida. Reciprocamente, para todo número real positivo c<180 o, existe um

2 ângulo cuja medida é c. III.10 Se AD é uma semirreta que divide BÂC, então m(bâc) = m(bâd) + m(câd) III.11 (Caso de Congruência de triângulo LAL) Se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB DE, B Ê e BC EF, então ABC DEF. Proposições (1) A soma das medidas de dois ângulos suplementares adjacentes é 180 o (2) A soma das medidas de dois ângulos comlementares é 90 o (3) Caso LAL de congruência de triângulos Dados dois triângulos ABC e DEF, se Â D, AC DF e AB DE então ABC DEF. (4) Caso ALA de congruência de triângulos Se um triângulo possui dois ângulos e o lado incluso congruentes a dois ângulos e o lado incluso de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. (5) Caso LLL de congruência de triângulos Se o triângulo possui três lados congruentes aos três lados de outro triângulo, então eles são congruentes. (6) Caso LAA de congruência de triângulos Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BC EF, B Ê e Â Ḓ, então ABC DEF. (7) Caso de congruência do triângulo retângulo Se um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um cateto congruentes, respectivamente, a hipotenusa e um cateto de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes. (8) Se ABC é um triângulo isósceles de base BC, B C. (9) Todo ângulo possui uma única bissetriz. (10) (Teorema do Ângulo Externo): Um ângulo externo a um triângulo é maior que qualquer ângulo interno do triângulo que não lhe seja adjacente (11) Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então seus ângulos opostos não são congruentes e o maior ângulo é oposto ao maior lado. (12) Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados que se opõem a esses ângulos não são congruentes e o maior lado é oposto ao maior ângulo. (13) (Desigualdade Triangular): Em qualquer triângulo, a medida de um lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

3 (14) A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180 o (15) Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos. (16) Por um ponto fora de uma reta passa uma e somente uma reta perpendicular à reta dada. (17) Axioma das Paralelas: Por um ponto fora de uma reta m pode-se traçar uma única reta paralela à reta m. (18) Se a reta m é paralela às retas n e s, então n e s são paralelas ou coincidentes. (19) Se uma reta corta uma de duas paralelas,então corta também a outra. (20) Se ao cortarmos duas retas com uma transversal, os ângulos correspondentes forem congruentes, então as retas são paralelas. (21) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes. (22) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 o (23) A medida de um ângulo externo de um tri6angulo é igual a soma das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacebtes. (24) Em um paralelogramo, lados e ângulos opostos são congruentes. (25) As diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é o ponto médio das duas diagonais. (26) Se dois lados opostos de um quadrilátero são paralelos e congruentes então o quadrilátero é um paralelogramo. (27) Se uma reta, paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então ela os divide na mesma razão. (28) Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â Ê e B F então os triângulos são semelhantes. (29) Se, em dois triângulos ABC e EFG têm-se Â Ê e (m(ab) / m(ef))=(m(ac) / m(eg)), então os triângulos são semelhantes. (30) Se, em dois triângulos ABC e EFG têm-se m( AB)/m( EF )=m( BC)/m(FG)=m(CA)/m(G E) então os triângulos são semelhantes. (31) Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (32) (Pitágoras) Em todo triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. (33) Considere um triângulo com lados medindo a, b e c. Se a 2 =b 2 +c 2, então o triângulo é retângulo e sua hipotenusa é o lado que mede a. (34) Sejam BÂC um ângulo e AD a bissetriz de BÂC. Se P pertence à AD, então P equidista das retas que contém os lados do ângulo. Reciprocamente, se P está no interior de BÂC e equidistas das retas que contém os lados do ângulo, então p está em AD. (35) As bissetrizes internas de um triângulo são concorrentes (36) As medianas de um triângulo são concorrentes. Além disso, o ponto de encontro entre elas divide cada mediana em dois segmentos de modo que o segmento que contém o vértice mede o dobro do outro. (37) As mediatrizes de um triângulo são concorretnes, (38) As alturas de um triângulo são concorrentes. (39) Teorema de Tales: Sejam três retas paralelas m, n e r cortadas pelas transversais s e t. Sejam A, B, C e E, F, G pontos de interseção de s e t, respectivamente, com m, n e r. Nestas condições, m( AB)/ m( BC)=m(EF )/m(fg) (40) O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento. (41) a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é 360 o (42) Um raio de um círculo é perpendicular à uma corda que não é diâmetro se, e somente se, ele divide a corda em dois segmentos congruentes. (43) Se uma reta é tangente a um círculo, então ela é perpendicular ao raio de liga o centro do círculo ao ponto de tangência. (44) Se uma reta é perpendicular a um raio em sua extremidade que pertence ao círculo, a reta é tangente ao círculo.

4 (45) Em um mesmo círculo, ou em círculos de mesmo raio, cordas congruentes determinam ângulos centrais congruentes e reciprocamente. (46) Todo ângulo inscrito em um círculo tem a metade da medida do arco correspondente. (47) Sejam AB e CD cordas distintas de um mesmo círculo que se intersectam em um ponto P. Então AP. PB = CP. PD (48) Se os lados de um ângulo de vértice P são tangentes a um círculo nos pontos A e B, então: (a) P=180 o menos a medida do arco menor determinado por A e B. (b) PA PB. (49) Um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo se, e somente se, possui um par de ângulos opostos suplementares. (50) Todo polígono regular está inscrito em um círculo. (51) Três pontos não colineares determinam um círculo (equivalentemente, todo triângulo está inscrito em um círculo) (52) Todo triângulo possui um círculo inscrito. (53) Todo polígono regular possui um círculo inscrito. (54) Os valores do seno e cosseno de um ângulo independem do semicírculo utilizado para definilos. (55) Qualquer que seja o ângulo de medida α, tem-se: sen 2 α+cos 2 α=1 (56) Para qualquer ângulo agudo de medida α tem-se: (a) sen(90 o α)=cos α (b) cos(90 o α)=sen α (c) tg (90 o α)=1/tg α (57) Qualquer que seja o ângulo de medida α tem-se: (a) sen(180 o α)=sen α (b) cos(180 o α)= cos α (58) Em um triângulo retângulo ABC, de ângulo reto Ĉ, tem-se: BC = AB sen (m( Â)), AC = AB cos (m( Â)), BC = AC tg (m( Â)) (59) (a) sen 45 o =1/ 2 (b) cos 45 o =1/ 2 (c) tg 45 o =1 (d) sen 30 o =1/2 (d) cos 30 o = 3/2 (e) tg 30 o =1/ 3 (60) (Lei dos Co-senos) Em um triângulo ABC tem-se: (61) (Lei dos Senos) Em um triângulo ABC tem-se

5 (62) Sejam α e β as medidas de dois ângulos agudos. Então tem-se: (a) cos( α+β )= cos α cosβ - sen α senβ (b) sen( α+β )= sen α cosβ + cos α senβ

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Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: