Lugares geométricos básicos I
|
|
- Felícia Batista Macedo
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT
2 Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto de todos os pontos que possuem essa propriedade. Lugares geométricos básicos I slide 2/9
3 circunferência Dados o ponto O e o segmento r, a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos que distam r de O. O r Lugares geométricos básicos I slide 3/9
4 mediatriz mediatriz do segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento. P M Demonstração a) Todo ponto da mediatriz do segmento equidista de e. Seja r a mediatriz de, M o ponto médio de e seja P um ponto de r. Os triângulos PM e PM são congruentes (LL). Logo, P = P. Lugares geométricos básicos I slide 4/9
5 b) Todo ponto fora da mediatriz não equidista de e. Q P Seja P um ponto que não pertence à mediatriz r do segmento. Imagine que P está no semiplano de r que contém. Trace P e P. O segmento P corta r em Q. Trace Q. Como Q pertence a r então Q = Q pelo item anterior. No triângulo PQ a desigualdade triangular dá PQ + Q > P. Isto quer dizer que PQ + Q > P, ou seja, P > P. Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista de dois pontos e se, e somente se, pertence à mediatriz do segmento. M Lugares geométricos básicos I slide 5/9
6 bissetriz bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados desse ângulo. P O demonstração fica para o leitor. tenção: Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista dos lados de um ângulo se, e somente se, pertence à bissetriz desse ângulo. Lugares geométricos básicos I slide 6/9
7 Problema São dados dois pontos fixos e. Determine o lugar geométrico do ponto P sabendo que o ângulo P é reto. P M Resposta O LG é a circunferência de diâmetro, exceto os pontos e. Sugestão para demonstração ssinale o ponto M, médio de. Prolongue PM de um segmento MC igual a PM. nalise o quadrilátero PC. C Lugares geométricos básicos I slide 7/9
8 Mediana relativa à hipotenusa No triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. P M demonstração decorre do problema anterior. Lugares geométricos básicos I slide 8/9
9 Problema Se em um triângulo C a mediana relativa ao vértice é igual à metade do lado C então esse triângulo é retângulo em. Solução: Lugares geométricos básicos I slide 9/9
10 Lugares geométricos básicos II M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT
11 rcos de uma circunferência medida de um arco é, por definição, a medida do seu ângulo central. arc = θ θ O Lugares geométricos básicos II slide 2/6
12 Ângulo inscrito medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele subtende na circunferência. V = θ = arc 2 V θ Lugares geométricos básicos II slide 3/6
13 rco capaz São dados um segmento e um ângulo θ. Definição: O lugar geométrico do ponto P situado em um mesmo semiplano determinado pela reta e tal que P = θ chama-se arco capaz do ângulo θ sobre o segmento. P = θ = θ = P. P θ θ P Lugares geométricos básicos II slide 4/6
14 Construção do arco capaz São dados um segmento e um ângulo θ. Siga os passos: 1. Desenhe o segmento (horizontal). 2. Desenhe a reta r, mediatriz de. 3. Desenhe, abaixo da reta a semirreta X tal que X = θ. 4. Trace por a reta Y perpendicular a X. 5. interseção de Y com r é o ponto O. θ O r Y 6. Desenhe acima da reta o arco de centro O com extremidades e. 7. Esse arco é o arco capaz do ângulo θ construído sobre. Obs: Uma semicircunferência de diâmetro é chamada de lugar geométrico de 90 sobre. Lugares geométricos básicos II slide 5/6 P
15 Problema Construir o triângulo C conhecendo o lado C = a, o ângulo C = θ e a altura relativa ao vértice igual a h. Solução: Siga os passos e observe o desenho a seguir 1. Desenhe uma reta r. 2. Sobre r assinale pontos e C tais que C = a. 3. Construa o arco capaz do ângulo θ sobre C. 4. Construa a reta s paralela a r, de forma que a distância entre r e s seja h. 5. Um dos pontos de interseção de s com o arco capaz é o ponto. O triângulo está construído. θ s h a C Lugares geométricos básicos II slide 6/6 r
16 Triângulos e circunferências I M13 - Unidade 6 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT
17 Triângulos e circunferências Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P interior a ela. medida de um ângulo de vértice P é igual a semissoma das medidas dos arcos interiores ao ângulo. arc + arc CD Na figura a seguir, α =. 2 C α D Triângulos e circunferências I slide 2/7
18 Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P exterior a ela. medida de um ângulo de vértice P é igual ao módulo da semidiferença das medidas dos arcos interiores ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc arc CD. 2 C α D Triângulos e circunferências I slide 3/7
19 Ângulo de segmento Uma corda de uma circunferência e a tangente em uma das extremidades determinam um ângulo de segmento. medida do ângulo de segmento é a metade da medida do arco interior ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc. 2 t α Triângulos e circunferências I slide 4/7
20 circunferência circunscrita ao triângulo Teorema s mediatrizes dos lados de um triângulo cortam-se em um único ponto. Demonstração Considere o triângulo C, a reta r, mediatriz de e a reta s, mediatriz de C. r O s Seja O o ponto de interseção de r e s. O r O = O e O s O = OC Logo, O = OC e, portanto, O pertence à mediatriz de C. Triângulos e circunferências I slide 5/7 C
21 Circuncentro O ponto O chama-se circuncentro do triângulo C e é o centro da sua circunferência circunscrita. r O s C Triângulos e circunferências I slide 6/7
22 circunferência inscrita no triângulo Teorema s bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo cortam-se em um único ponto. Demonstração Fica para o leitor seguindo os passos da demonstração anterior. I O ponto I, comum às três bissetrizes internas chama-se incentro do triângulo C e é o centro da sua circunferência inscrita. C Triângulos e circunferências I slide 7/7
23 Triângulos e circunferências II M13 - Unidade 6 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT
24 s circunferências exinscritas no triângulo Uma circunferência exinscrita é tangente a um lado e aos prolongamentos dos outros dois. figura a seguir mostra, no triângulo C, a circunferência exinscrita relativa ao vértice (ou ao lado a, se preferirem). C I Triângulos e circunferências II slide 2/8
25 O centro I dessa circunferência é o ponto de interseção da bissetriz interna em e das bissetrizes externas em e C. C I Triângulos e circunferências II slide 3/8
26 Três circunferências exinscritas de um triângulo C Triângulos e circunferências II slide 4/8
27 Tangentes a uma circunferência P1) reta perpendicular a um raio de uma circunferência traçada pela sua extremidade é tangente à circunferência. Na figura abaixo a reta t passa por e é perpendicular ao raio O. reta t é tangente à circunferência. O t Triângulos e circunferências II slide 5/8
28 P2) Os segmentos das tangentes traçadas por um ponto exterior a uma circunferência são iguais. Na figura abaixo, P = P. O P Para justificar, observe a congruência dos triângulos PO e PO. P3) Se P e P são tangentes a uma circunferência, então a bissetriz do ângulo P passa pelo centro da circunferência. Triângulos e circunferências II slide 6/8
29 Problema Os lados de um triângulo são conhecidos. Os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados dividem cada lado em dois pedaços. Quanto medem todos esses seis segmentos? Solução: M P N Sejam = c, C = a e C = b. Seja a + b + c = 2p. Pela propriedade P2 desta aula façamos M = P = x, M = N = y e CN = CP = z. Temos então o sistema x + y = c, y + z = a, z + x = b. Somando as equações obtemos x + y + z = p e como y + z = a obtemos x = p a. nalogamente obtemos y = p b e z = p c. Triângulos e circunferências II slide 7/8 C
30 Problema No triângulo C de perímetro 2p a circunferência exinscrita relativa ao vértice tangencia a reta no ponto T. Mostre que T = p. Sugestão: Use a propriedade P2 desta aula. C T Triângulos e circunferências II slide 8/8
31 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I M13 - Unidade 7 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT
32 O quadrilátero circunscritível Um quadrilátero é circunscritível quando os quatro lados são tangentes a uma mesma circunferência. Nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no quadrilátero. D C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 2/7
33 Teorema de Pitot Em todo quadrilátero circunscritível as somas dos lados opostos são iguais. D P C Q N M Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 3/7
34 Demonstração do Teorema de Pitot D P C Q N figura acima mostra o quadrilátero circunscritível CD e os pontos de tangência de cada lado com a circunferência. Temos então: M M = Q M = N CP = CN DP = DQ Somando membro a membro obtemos ou seja, M + M + CP + DP = Q + DQ + N + CN + CD = D + C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 4/7
35 recíproca do Teorema de Pitot É verdadeira a recíproca do Teorema de Pitot. Se em um quadrilátero os lados opostos têm mesma soma então existe uma circunferência tangente aos quatro lados. D C +CD = D +C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 5/7
36 Problema É dado o triângulo C. Os pontos M e N dos lados e C, respectivamente são tais que o segmento MN é tangente à circunferência inscrita em C. Mostre que o perímetro do triângulo MN é constante. N M C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 6/7
37 Solução do problema Para simplificar a notação sejam: = c, C = a, C = b, M = x, MN = y e N = z. Como CNM é circunscritível temos, pelo Teorema de Pitot, C + NM = M + CN ou seja, a + y = c x + b y. M N Isto significa que x + y + z = b + c a. O perímetro do triângulo MN é constante. C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 7/7
38 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II M13 - Unidade 7 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT
39 O quadrilátero inscritível Um quadrilátero é inscritível quando os quatro vértices pertencem a uma mesma circunferência. D C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 2/8
40 Teorema Em um quadrilátero inscritível os ângulos opostos são suplementares. Demonstração: D C Na figura acima, sendo  e ˆ as medidas dos ângulos D e CD, respectivamente, temos  + Ĉ = arc CD 2 + arc D 2 = = 180 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 3/8
41 Recíproca recíproca do teorema anterior é verdadeira. Se um quadrilátero possui dois ângulos opostos suplementares então ele é inscritível. Sugestão para demonstração Considere o quadrilátero CD com ˆ + ˆD = 180. Considere, em seguida a circunferência que passa por, e C. Imagine que D não pertença a essa circunferência... Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 4/8
42 Reconhecimento do quadrilátero inscritível 1. Dois ângulos opostos suplementares. Â + Ĉ = 180 CD é inscritível 2. Um ângulo interno igual ao externo oposto. α = α CD é inscritível D α C α Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 5/8
43 3. No quadrilátero CD, C = D. α = C = D = α CD é inscritível De fato, o arco capaz do ângulo C construído sobre passa por D. D α α C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 6/8
44 Problema No triângulo C os ângulos e medem 60 e 70, respectivamente. Os segmentos D e CE são alturas. Quanto mede o ângulo ED? 60 D E 70 C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 7/8
45 Solução O ângulo C mede 50. Como DC = EC = 90 o quadrilátero CDE é inscritível. Logo, ED = C = 50. E θ D 50 C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 8/8
Paralelismo. MA13 - Unidade 3. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.
Paralelismo M13 - Unidade 3 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT Nomes tradicionais reta t corta as retas r e s. Dizemos que a reta t é uma
Leia maisLista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios
Leia maisOs problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas.
31 4 LUGARES GEOMÉTRICOS Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. Definição: Um conjunto de pontos do plano
Leia maisTeorema de Tales. MA13 - Unidade 8. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.
Teorema de Tales MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Proporcionalidade 1. Dizemos que o segmento x é a quarta proporcional
Leia maisCircunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes
Circunferência MA092 Geometria plana e analítica Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2016 A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada
Leia maisMATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira. MÓDULO 5 Quadriláteros
MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 5 Quadriláteros Os dois dias mais importantes da sua vida são o dia em que você nasceu e o dia em que você descobre o porquê. (Mark Twain) SUMÁRIO
Leia maisTurma preparatória para Olimpíadas.
p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br Turma preparatória para Olimpíadas. TRIÂNGULOS - V01 DEFINIÇÃO Sejam três pontos não colineares A, B e C, o triângulo ABC é uma figura
Leia maisPolígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1
Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono
Leia maisLUGARES GEOMÉTRICOS Geometria Euclidiana e Desenho Geométrico PROF. HERCULES SARTI Mestre
LUGARES GEOMÉTRICOS Geometria Euclidiana e Desenho Geométrico PROF. HERCULES SARTI Mestre Lugar Geométrico Lugar geométrico é uma figura cujos pontos e somente eles satisfazem determinada condição. Todos
Leia maisCongruência de triângulos II
ongruência de triângulos II M13 - Unidade 2 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. aminha M. Neto. Geometria. oleção PROFMT Triângulo isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles
Leia maisAxiomas e Proposições
Axiomas e Proposições Axiomas: I Incidência I.1 Existem infinitos pontos no plano. I.2 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma única reta. I.3 Dada uma reta, existem infinitos pontos
Leia maisLista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais
Leia maisMATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA
MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma
Leia mais1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro
Lista de Exercícios Geometria Plana - loco I - Pontos notáveis do triângulo 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: aricentro C Circuncentro I Incentro rtocentro Preencha os parênteses:
Leia maisCircunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência
Circunferência e círculo Circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto O. Observação O conjunto constituído dos pontos de uma circunferência
Leia maisI - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professores: Deise Maria Bertholdi Costa, Luzia Vidal de Souza, Paulo Henrique Siqueira,
Leia mais8 TRIÂNGULOS 8.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
32 8 TRIÂNGULOS 8.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. Propriedades: 1) O circuncentro é o centro da circunferência
Leia maisDesenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico
UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ- UVA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geometrico Daniel Caetano de Figueiredo Daniel Caetano de Figueiredo
Leia maisPropriedades do ortocentro
Programa límpico de Treinamento Curso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 4 Propriedades do ortocentro ortocentro é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo arbitrário. Se o triângulo
Leia maisGeometria Plana. Exterior do ângulo Ô:
Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado
Leia maisTriângulos classificação
Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo:
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 3. Círculos: elementos, arcos e ângulos inscritos
Material eórico - Módulo Elementos ásicos de Geometria lana - arte 3 írculos: elementos, arcos e ângulos inscritos itavo ano do Ensino Fundamental utor: rof. Jocelino Sato Revisor: rof. ntonio aminha M.
Leia maisRevisão de Círculos. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff
Revisão de Círculos Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff 2017.2 1 Definição Circunferência é uma figura geométrica formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixado no plano.
Leia maisMA13 Geometria I Avaliação
13 Geometria I valiação 1 2012 SOLUÇÕS Questão 1. (pontuação: 2) O ponto pertence ao lado do triângulo. Sabe-se que = = e que o ângulo mede 21 o. etermine a medida do ângulo. 21 o omo =, seja = =. O ângulo
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 16. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 2: Incentro. Prof. Cícero Thiago
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 16 Pontos Notáveis : ncentro Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual
Leia maisAula 1. Exercício 1: Exercício 2:
Aula 1 Exercício 1: Com centro em A e raio de medida m achamos dois pontos B e C na reta, esses dois pontos são os centros das circunferências pedidas (2 soluções ). Exercício 2: Com centro em B e raio
Leia mais1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta
1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento
Leia maisTriângulos DEFINIÇÃO ELEMENTOS
Triângulos DEFINIÇÃO Do latim - triangulu, é um polígono de três lados e três ângulos. Os três ângulos de um triângulo são designados por três letras maiúsculas, B e C e os lados opostos a eles, pelas
Leia maisGeometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo
Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br
Leia maisGeometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo
Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br
Leia maisDESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices)
DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste - 2010 1 Polígonos Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) A 1, A 2,..., A n e pelos segmentos (lados) A 1 A 2, A 2 A
Leia maisDesenho Técnico Página 11
Exercício 16 Concordância Interna de Circunferências Dada uma circunferência de centro O 1 conhecido, determine a circunferência de centro O 2 de tal forma que sejam concordantes internamente. Marque o
Leia maisCIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
IRUNFRÊNI ÍRUL 01 ( FUVST) medida do ângulo ˆ inscrito na circunferência de centro é, em graus, ) 100 ) 110 ) 10 ) 15 35º 0 0 ( U ) bserve a figura. la mostra dois círculos de mesmo raio com centros em
Leia maisObjetivos da aula. 1. Saber usar o ângulo externo de um polígono. 2. Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida.
Objetivos da aula 1 Saber usar o ângulo externo de um polígono 2 Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida 3 Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono 4 Saber a relação entre
Leia maisExercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.
Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,
Leia maisColinearidade e Concorrência
Colinearidade e Concorrência MA13 - Unidade 10 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção ROFMAT Introdução Os teoremas de Menelaus, Ceva e Stewart são
Leia maisAula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular
MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício
Leia maisCIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Circunferência: é uma linha. Exemplos: argola, roda de bicicleta... Círculo: é uma superfície. Exemplos: moeda, mesa redonda... CIRCUNFERÊNCIA
Leia maisMATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON
MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são
Leia maisÉ todo ângulo convexo que possui seu vértice sobre a circunferência e cada um de seus lados contém uma corda da mesma.
56 Observações: 1) O arco interceptado por um ângulo central é chamado de correspondente a esse ângulo ou é chamado de arco que o ângulo central enxerga. 2) A medida angular de um arco de circunferência
Leia maisΓεωµετρική κατασκευές
Εισαγωγή στις Γεωµετρική κατασκευές Eduardo Wagner Uma introdução às Construções geométricas Eduardo Wagner presentação Οι γεωµετρικές κατασκευές ξεκίνησαν στην αρχαία Ελλάδα. s construções geométricas
Leia maisCONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras
Leia maisMatemática. Nesta aula iremos aprender as. 1 Ponto, reta e plano. 2 Posições relativas de duas retas
Matemática Aula 5 Geometria Plana Alexandre Alborghetti Londero Nesta aula iremos aprender as noções básicas de Geometria Plana. 1 Ponto, reta e plano Estes elementos primitivos da geometria euclidiana
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Elementos básicos de geometria plana - Parte 3. Quadriláteros Inscritíveis e Circunscritíveis
Material Teórico - Módulo lementos básicos de geometria plana - Parte 3 Quadriláteros Inscritíveis e ircunscritíveis itavo ano do nsino Fundamental utor: Prof. Jocelino Sato evisor: Prof. ntonio aminha
Leia maisEXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS
1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75 E 45. Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base. Primeiro transporte o
Leia maisAula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)
EMBAP ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Profª Eliane Dumke e-mail: eliane.dumke@gmail.com Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)
Leia mais4. Saber a relação entre o número de lados e diagonais em polígonos convexos.
Objetivos da aula 1 Saber usar o ângulo externo de um polígono 2 Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida 3 Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono 4 Saber a relação entre
Leia maisMATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III
MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio
Leia maisHewlett-Packard CIRCUNFERÊNCIA. AULAS 01 e 02. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard CIRCUNFERÊNCIA AULAS 01 e 0 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Sumário Circunferência... 1 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO... 1 CIRCUNFERÊNCIA... 1 CÍRCULO... 1 CORDA DE
Leia maisQuadriláteros Inscritíveis II. Nesta aula, trataremos de três teoremas muito utilizados em problemas de quadriláteros inscritíveis.
Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 2 Quadriláteros Inscritíveis II Nesta aula, trataremos de três teoremas muito utilizados em problemas de quadriláteros inscritíveis.
Leia maisCírculos ou circunferências
Círculos ou circunferências O terceiro postulado de Euclides diz que é possível traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. Com os nossos axiomas, este postulado é simplesmente uma consequência.
Leia maisEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 2ª ETAPA
8º ANOA( ) B( )Data: / 05 / 2017. Professor(a): JUNIOR Etapa : 1ª( ) 2ª ( X ) 3ª ( ) Aluno (a): EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 2ª ETAPA 1. O segmento da perpendicular traçada de um vértice
Leia maisLISTA DE REVISÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE
LISTA DE REVISÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE 1) (Eear) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da circunferência, conforme esboço. A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a
Leia maisDesenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante
Leia maisAula 9 Triângulos Semelhantes
MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos
Leia maisOrtocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos
Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com rtocentro, Reta de uler e a ircunferência dos 9 pontos Propriedade 1. Seja o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de
Leia mais(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4
TEOREMA DE TALES 1. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 10 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B) 10
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I
LISTA DE EXERCÍCIOS MAT 230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I 1. Numa geometria de incidência, o plano tem 5 pontos. Quantas retas tem este plano? A resposta é única? 2. Exibir um plano de incidência
Leia maisA Matemática no Vestibular do IME. Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico. c 2014, Sergio Lima Netto
Matemática no Vestibular do IME Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico c 014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br Esse material inclui as soluções de diversas questões de desenho geométrico
Leia maisHewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 04. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 04 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Sumário TRIÂNGULOS... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO...
Leia maisMaterial by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner
Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner 3 - Parábolas Definição 1.1: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola
Leia maisPREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria
PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e
Leia maisAula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA
Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA Definição: Polígono de quatro lados formado por quatro vértices não colineares dois a dois. A D S i = 180º (n 2)= 180º (4 2)= 360º S e = 360º B C d = n. (n - 3) 2 = 4.
Leia maisQuestões da 1ª avaliação de MA 13 Geometria, 2016
uestões da 1ª avaliação de M 13 Geometria, 26 1. região na figura abaixo representa um lago. Descreva um processo pelo qual será possível medir a distância entre os pontos e (só medição fora do lago é
Leia maisLISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio
LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio 11. Em cada uma das figuras, o centro da circunferência é O. Calcule o valor de x. (a) 35 b) 70 ) a) b) 01. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos
Leia maisENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.
SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos
Leia maisPlano de Recuperação Final EF2
Professor: Cíntia e Pupo Ano: 9º Objetivos: Proporcionar ao aluno a oportunidade de resgatar os conteúdos trabalhados em Desenho Geométrico, nos quais apresentou defasagens e que lhe servirão como pré-requisitos
Leia maisGEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede
GEOMETRI PLN 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice do retângulo O está a 6 cm do vértice. O raio do círculo mede O (a) 5 cm (b) 6 cm (c) 8 cm (d) 9 cm (e) 10 cm ) (UFRGS) Na figura abaixo, é o centro
Leia mais1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO)
Aluno(a): Professora: Deise Ilha Turno: Matutino. Componente Curricular: Matemática Data: / / 2016.. 1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO) QUESTÃO 01 Tipo A (Julgar Certo ou Errado)
Leia maisGeometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o
Leia maisRETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL
GEOMETRIA PLANA MEDIDAS DE ÂNGULOS: Raso, se é igual a 180º; Nulo, se, é igual a 0º; Reto:é igual a 90 ; Agudo: é maior que 0 e menor que 90 ; Obtuso: é maior que 90 e menor que 180. IMPORTANTE: se a soma
Leia maisI - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa Disciplina CD046 Expressão Gráfica I Curso Engenharia
Leia maisSegunda Etapa 2ª ETAPA 2º DIA 11/12/2006
Segunda Etapa ª ETP º DI 11/1/006 CDERNO DE PROVS FÍSIC MTEMÁTIC GEOMETRI GRÁFIC IOLOGI GEOGRFI PORTUGUÊS LITERTUR INGLÊS ESPNHOL FRNCÊS TEORI MUSICL COMISSÃO DE PROCESSOS SELETIVOS E TREINMENTOS Geometria
Leia maisMATEMÁTICA - 3o ciclo Lugares geométricos (9 o ano) Propostas de resolução
MATEMÁTICA - 3o ciclo Lugares geométricos (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como a superfície esférica tem centro no ponto V e contém o ponto A, então
Leia maisHewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 04. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 04 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Sumário TRIÂNGULOS... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO...
Leia mais1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa - Disciplina CD027 Expressão Gráfica I Curso
Leia maisMATEMÁTICA. Capítulo 2 LIVRO 1. Triângulos. Páginas: 157 à169
MATEMÁTICA LIVRO 1 Capítulo 2 Triângulos Páginas: 157 à169 I. Soma dos Ângulos Internos Teorema demonstração: a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180 x B β y r // AC A γ
Leia maisDESENHO GEOMÉTRICO ETECVAV
DESENHO GEOMÉTRICO ETECVAV 1. DEFINIÇÕES Desenho Geométrico é a "expressão gráfica da forma, considerando-se as propriedades relativas à sua extensão, ou seja, suas dimensões" (REIS, p.08) Existem três
Leia maisCircunferências ex - inscritas
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 18 ircunferências ex - inscritas Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. ntão, adistância de P a XO é igual
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Leia maisGEOMETRIA PLANA. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
PARTE 01 GEOMETRIA PLANA Introdução A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada
Leia maisAula 11 Polígonos Regulares
MODULO 1 - AULA 11 Aula 11 Polígonos Regulares Na Aula 3, em que apresentamos os polígonos convexos, vimos que um polígono regular é um polígono convexo tal que: a) todos os lados são congruentes entre
Leia maisSoluções dos Problemas do Capítulo 4
Soluções do apítulo 4 155 Soluções dos Problemas do apítulo 4 Problema 1 h 10 14 Figura 57 x Seja h a altura do Pão de çúcar em relação ao plano horizontal de medição e seja x a distância de ao pé da altura
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte II. Nono Ano do Ensino Fundamental
Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Teorema de Tales - Parte II Nono no do Ensino Fundamental Prof. Marcelo Mendes de Oliveira Prof. ntonio aminha Muniz Neto Portal
Leia maisNOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A):
NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Triângulos: REVISÃO Lista 06 Triângulos e Quadriláteros Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles
Leia maisda circunferência. Os lados deste ângulo, as semirretas e são raios da circunferência. Dizemos então, que o ângulo AOB é um ângulo ao centro.
Ângulo ao centro Consideremos a seguinte circunferência de centro O onde está desenhado o ângulo AOB. Observando a figura podemos concluir que o vértice do ângulo AOB coincide com o centro.. da circunferência.
Leia maisÂngulos, Triângulos e Quadriláteros. Prof Carlos
Ângulos, Triângulos e Quadriláteros. Prof Carlos RECORDANDO... Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 2 1 3 4 6 5 7 8 Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. Alternos
Leia maisMATEMÁTICA FRENTE IV. Capítulo 2 LIVRO 1. Triângulos
MATEMÁTICA FRENTE IV LIVRO 1 Capítulo 2 Triângulos I. Soma dos Ângulos Internos Teorema demonstração: a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180 x B β y r // AC A α γ C Deseja-se
Leia maisMATEMÁTICA Polígonos e circunferências. Circunferência
MTEMÁTI ircunferência hama-se circunferência de centro e raio r ao conjuntos de pontos do plano cuja a distância ao ponto é igual a r. Uma circunferência de centro e raio r designa-se geralmente por (,
Leia maisDesenho Geométrico e Concordâncias
UnB - FGA Desenho Geométrico e Concordâncias Disciplina: DIAC-1 Prof a Eneida González Valdés CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Todas as construções da geometria plana são importantes, há, entretanto algumas, que
Leia mais17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro.
97 17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. Propriedades: 1) O circuncentro é o centro da circunferência
Leia maisPolígonos Regulares. UFPEL-DME Geometria Plana Prof Lisandra Sauer
Polígonos Regulares UFPEL-DME Geometria Plana Prof Lisandra Sauer Hora da Piadinha Por que um polígono regular foi ao psicólogo? Porque ele é Iso-lado . Polígonos regulares Um polígono é chamado de regular
Leia maisMA13 Geometria AV1 2014
MA13 Geometria AV1 2014 Questão 1 [ 2,0 pt ] Considere um paralelogramo ABCD e sejam M o centro da circunferência definida pelos vértices A, B e C N o centro da circunferência definida pelos vértices B,
Leia maisOs pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares.
GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação - 01/ Questão 1. (pontuação: ) Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. Calcule a medida
Leia maisMAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios
MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios Prof. Paulo F. Leite agosto de 2009 1 Problemas de Geometria 1. Num triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base coincidem. 2. Sejam A e
Leia mais1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior
Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XV 1 POTÊNCIA DE PONTO Sejam um ponto interior ou exterior a uma circunferência e uma reta que passa por e corta a circunferência nos pontos e. A potência do ponto
Leia maisLINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana. PROF. HERCULES SARTI Mestre
LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana PROF. HERCULES SARTI Mestre Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: Exemplo 4: apostila Determine o perímetro
Leia maisI - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA DISCIPLINA: EXPRESSÃO GRÁFICA I CURSO: ARQUITETURA AUTORES: Luzia Vidal de Souza Deise Maria Bertholdi Costa Paulo Henrique Siqueira I -
Leia maisLISTA DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE
LISTA DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE 1) Na figura a seguir, o ponto O é o centro da circunferência, AB e AC são segmentos tangentes e o raio da circunferência mede o dobro de x. O perímetro
Leia maisTRIÂNGULOS. Condição de existência de um triângulo
TRIÂNGULOS Condição de existência de um triângulo Em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados sempre tem que ser maior que a medida do terceiro lado. EXERCÍCIO 1º Será que conseguiríamos desenhar
Leia mais