Lugares geométricos básicos I

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1 Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

2 Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto de todos os pontos que possuem essa propriedade. Lugares geométricos básicos I slide 2/9

3 circunferência Dados o ponto O e o segmento r, a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos que distam r de O. O r Lugares geométricos básicos I slide 3/9

4 mediatriz mediatriz do segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento. P M Demonstração a) Todo ponto da mediatriz do segmento equidista de e. Seja r a mediatriz de, M o ponto médio de e seja P um ponto de r. Os triângulos PM e PM são congruentes (LL). Logo, P = P. Lugares geométricos básicos I slide 4/9

5 b) Todo ponto fora da mediatriz não equidista de e. Q P Seja P um ponto que não pertence à mediatriz r do segmento. Imagine que P está no semiplano de r que contém. Trace P e P. O segmento P corta r em Q. Trace Q. Como Q pertence a r então Q = Q pelo item anterior. No triângulo PQ a desigualdade triangular dá PQ + Q > P. Isto quer dizer que PQ + Q > P, ou seja, P > P. Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista de dois pontos e se, e somente se, pertence à mediatriz do segmento. M Lugares geométricos básicos I slide 5/9

6 bissetriz bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados desse ângulo. P O demonstração fica para o leitor. tenção: Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista dos lados de um ângulo se, e somente se, pertence à bissetriz desse ângulo. Lugares geométricos básicos I slide 6/9

7 Problema São dados dois pontos fixos e. Determine o lugar geométrico do ponto P sabendo que o ângulo P é reto. P M Resposta O LG é a circunferência de diâmetro, exceto os pontos e. Sugestão para demonstração ssinale o ponto M, médio de. Prolongue PM de um segmento MC igual a PM. nalise o quadrilátero PC. C Lugares geométricos básicos I slide 7/9

8 Mediana relativa à hipotenusa No triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. P M demonstração decorre do problema anterior. Lugares geométricos básicos I slide 8/9

9 Problema Se em um triângulo C a mediana relativa ao vértice é igual à metade do lado C então esse triângulo é retângulo em. Solução: Lugares geométricos básicos I slide 9/9

10 Lugares geométricos básicos II M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

11 rcos de uma circunferência medida de um arco é, por definição, a medida do seu ângulo central. arc = θ θ O Lugares geométricos básicos II slide 2/6

12 Ângulo inscrito medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele subtende na circunferência. V = θ = arc 2 V θ Lugares geométricos básicos II slide 3/6

13 rco capaz São dados um segmento e um ângulo θ. Definição: O lugar geométrico do ponto P situado em um mesmo semiplano determinado pela reta e tal que P = θ chama-se arco capaz do ângulo θ sobre o segmento. P = θ = θ = P. P θ θ P Lugares geométricos básicos II slide 4/6

14 Construção do arco capaz São dados um segmento e um ângulo θ. Siga os passos: 1. Desenhe o segmento (horizontal). 2. Desenhe a reta r, mediatriz de. 3. Desenhe, abaixo da reta a semirreta X tal que X = θ. 4. Trace por a reta Y perpendicular a X. 5. interseção de Y com r é o ponto O. θ O r Y 6. Desenhe acima da reta o arco de centro O com extremidades e. 7. Esse arco é o arco capaz do ângulo θ construído sobre. Obs: Uma semicircunferência de diâmetro é chamada de lugar geométrico de 90 sobre. Lugares geométricos básicos II slide 5/6 P

15 Problema Construir o triângulo C conhecendo o lado C = a, o ângulo C = θ e a altura relativa ao vértice igual a h. Solução: Siga os passos e observe o desenho a seguir 1. Desenhe uma reta r. 2. Sobre r assinale pontos e C tais que C = a. 3. Construa o arco capaz do ângulo θ sobre C. 4. Construa a reta s paralela a r, de forma que a distância entre r e s seja h. 5. Um dos pontos de interseção de s com o arco capaz é o ponto. O triângulo está construído. θ s h a C Lugares geométricos básicos II slide 6/6 r

16 Triângulos e circunferências I M13 - Unidade 6 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

17 Triângulos e circunferências Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P interior a ela. medida de um ângulo de vértice P é igual a semissoma das medidas dos arcos interiores ao ângulo. arc + arc CD Na figura a seguir, α =. 2 C α D Triângulos e circunferências I slide 2/7

18 Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P exterior a ela. medida de um ângulo de vértice P é igual ao módulo da semidiferença das medidas dos arcos interiores ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc arc CD. 2 C α D Triângulos e circunferências I slide 3/7

19 Ângulo de segmento Uma corda de uma circunferência e a tangente em uma das extremidades determinam um ângulo de segmento. medida do ângulo de segmento é a metade da medida do arco interior ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc. 2 t α Triângulos e circunferências I slide 4/7

20 circunferência circunscrita ao triângulo Teorema s mediatrizes dos lados de um triângulo cortam-se em um único ponto. Demonstração Considere o triângulo C, a reta r, mediatriz de e a reta s, mediatriz de C. r O s Seja O o ponto de interseção de r e s. O r O = O e O s O = OC Logo, O = OC e, portanto, O pertence à mediatriz de C. Triângulos e circunferências I slide 5/7 C

21 Circuncentro O ponto O chama-se circuncentro do triângulo C e é o centro da sua circunferência circunscrita. r O s C Triângulos e circunferências I slide 6/7

22 circunferência inscrita no triângulo Teorema s bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo cortam-se em um único ponto. Demonstração Fica para o leitor seguindo os passos da demonstração anterior. I O ponto I, comum às três bissetrizes internas chama-se incentro do triângulo C e é o centro da sua circunferência inscrita. C Triângulos e circunferências I slide 7/7

23 Triângulos e circunferências II M13 - Unidade 6 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

24 s circunferências exinscritas no triângulo Uma circunferência exinscrita é tangente a um lado e aos prolongamentos dos outros dois. figura a seguir mostra, no triângulo C, a circunferência exinscrita relativa ao vértice (ou ao lado a, se preferirem). C I Triângulos e circunferências II slide 2/8

25 O centro I dessa circunferência é o ponto de interseção da bissetriz interna em e das bissetrizes externas em e C. C I Triângulos e circunferências II slide 3/8

26 Três circunferências exinscritas de um triângulo C Triângulos e circunferências II slide 4/8

27 Tangentes a uma circunferência P1) reta perpendicular a um raio de uma circunferência traçada pela sua extremidade é tangente à circunferência. Na figura abaixo a reta t passa por e é perpendicular ao raio O. reta t é tangente à circunferência. O t Triângulos e circunferências II slide 5/8

28 P2) Os segmentos das tangentes traçadas por um ponto exterior a uma circunferência são iguais. Na figura abaixo, P = P. O P Para justificar, observe a congruência dos triângulos PO e PO. P3) Se P e P são tangentes a uma circunferência, então a bissetriz do ângulo P passa pelo centro da circunferência. Triângulos e circunferências II slide 6/8

29 Problema Os lados de um triângulo são conhecidos. Os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados dividem cada lado em dois pedaços. Quanto medem todos esses seis segmentos? Solução: M P N Sejam = c, C = a e C = b. Seja a + b + c = 2p. Pela propriedade P2 desta aula façamos M = P = x, M = N = y e CN = CP = z. Temos então o sistema x + y = c, y + z = a, z + x = b. Somando as equações obtemos x + y + z = p e como y + z = a obtemos x = p a. nalogamente obtemos y = p b e z = p c. Triângulos e circunferências II slide 7/8 C

30 Problema No triângulo C de perímetro 2p a circunferência exinscrita relativa ao vértice tangencia a reta no ponto T. Mostre que T = p. Sugestão: Use a propriedade P2 desta aula. C T Triângulos e circunferências II slide 8/8

31 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I M13 - Unidade 7 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

32 O quadrilátero circunscritível Um quadrilátero é circunscritível quando os quatro lados são tangentes a uma mesma circunferência. Nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no quadrilátero. D C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 2/7

33 Teorema de Pitot Em todo quadrilátero circunscritível as somas dos lados opostos são iguais. D P C Q N M Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 3/7

34 Demonstração do Teorema de Pitot D P C Q N figura acima mostra o quadrilátero circunscritível CD e os pontos de tangência de cada lado com a circunferência. Temos então: M M = Q M = N CP = CN DP = DQ Somando membro a membro obtemos ou seja, M + M + CP + DP = Q + DQ + N + CN + CD = D + C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 4/7

35 recíproca do Teorema de Pitot É verdadeira a recíproca do Teorema de Pitot. Se em um quadrilátero os lados opostos têm mesma soma então existe uma circunferência tangente aos quatro lados. D C +CD = D +C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 5/7

36 Problema É dado o triângulo C. Os pontos M e N dos lados e C, respectivamente são tais que o segmento MN é tangente à circunferência inscrita em C. Mostre que o perímetro do triângulo MN é constante. N M C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 6/7

37 Solução do problema Para simplificar a notação sejam: = c, C = a, C = b, M = x, MN = y e N = z. Como CNM é circunscritível temos, pelo Teorema de Pitot, C + NM = M + CN ou seja, a + y = c x + b y. M N Isto significa que x + y + z = b + c a. O perímetro do triângulo MN é constante. C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 7/7

38 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II M13 - Unidade 7 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

39 O quadrilátero inscritível Um quadrilátero é inscritível quando os quatro vértices pertencem a uma mesma circunferência. D C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 2/8

40 Teorema Em um quadrilátero inscritível os ângulos opostos são suplementares. Demonstração: D C Na figura acima, sendo  e ˆ as medidas dos ângulos D e CD, respectivamente, temos  + Ĉ = arc CD 2 + arc D 2 = = 180 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 3/8

41 Recíproca recíproca do teorema anterior é verdadeira. Se um quadrilátero possui dois ângulos opostos suplementares então ele é inscritível. Sugestão para demonstração Considere o quadrilátero CD com ˆ + ˆD = 180. Considere, em seguida a circunferência que passa por, e C. Imagine que D não pertença a essa circunferência... Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 4/8

42 Reconhecimento do quadrilátero inscritível 1. Dois ângulos opostos suplementares. Â + Ĉ = 180 CD é inscritível 2. Um ângulo interno igual ao externo oposto. α = α CD é inscritível D α C α Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 5/8

43 3. No quadrilátero CD, C = D. α = C = D = α CD é inscritível De fato, o arco capaz do ângulo C construído sobre passa por D. D α α C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 6/8

44 Problema No triângulo C os ângulos e medem 60 e 70, respectivamente. Os segmentos D e CE são alturas. Quanto mede o ângulo ED? 60 D E 70 C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 7/8

45 Solução O ângulo C mede 50. Como DC = EC = 90 o quadrilátero CDE é inscritível. Logo, ED = C = 50. E θ D 50 C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 8/8

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