1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta

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1 1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento de Reta r e) Plano 4- Bissetriz (corta em duas metades iguais): Na figura a semi-reta OB é a bissetriz do ângulo AÔC 2- Ângulo Geométrico: 5- Relações entre dois ângulos podem ser: a) complementares: AÔB+CÊD=90º O ângulo alfa formado pelos pontos A, O e B é indicado da seguinte maneira: AÔB ou BÔA. E a sua unidade é em graus (º). Podemos classificar o ângulo de abertura segundo a medida de α em: A soma dos ângulos vale 90 graus, portanto AÔB e CÊD são ângulos complementares. b) suplementares: AÔB+CÊD=180º A soma dos ângulos vale 180 graus, portanto AÔB e CÊD são ângulos suplementares. 3

2 6- Ângulos Adjacentes: 9- Retas Perpendiculares (forma 90º): Alfa e beta são ângulos adjacentes. 7- OPV, Ângulos Opostos pelo Vértice: Alfa e beta são ângulos opostos pelo vértice. Portanto: 10- Retas Paralelas cortadas (mesma inclinação): 8- Duas Retas distintas Coplanares (no mesmo plano): a) Concorrentes (cruzam-se): EXERCÍCIOS DE AULA: Nas figuras, determinar o valor de X: b) Paralelas (não se cruzam): a) b) 4

3 c) d) 4) EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 2) 3) 5

4 2- Ângulo Externo: 5) 3- Triângulo Isósceles (dois lados congruentes, mesma medida, tudo que acontece de um lado, acontece do outro também.): 6) 2ª Aula Ângulos Num Triângulo 4- Triângulo Equilátero (todos os lados e ângulos congruentes). 1- Soma dos Ângulos Internos: 6

5 5- Triângulo Retângulo: EXERCÍCIOS EM CASA: 1) EXERCÍCIOS DE AULA: 1- O ângulo BÂC mede: a) 20º b) 40º c) 60º d) 80º e) 100º 2- No triângulo abaixo, AB=AC, o ângulo α é de: a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º 2) 3- Na figura, BC=AC=DC. Calcule o valor de α: a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º 7

6 5) 3) 6) 3ª Aula Polígonos Convexos 1- Polígono: Determinemos três ou mais pontos consecutivos, em um plano, não colineares (P1, P2, P3,..., Pn). As ligações destes pontos formam segmentos que originam um polígono. Exemplos: 4) 8

7 De maneira geral, para ser um polígono, a figura deve estar contidas em um único plano e fechadas. O polígono só será convexo se, e somente se, qualquer segmento PQ, (cujos extremos pertencem à região poligonal) está inteiramente contido à região poligonal. Do contrário será um polígono não-convexo. Exemplos: 1º passo: escolha um vértice. 2º passo: una todos os demais vértices ao vértice escolhido e forme os triângulos. 3º passo: conte os triângulos. 4º passo: Como cada triângulo possui a soma das medidas dos ângulos internos igual a 180º, então para saber a soma dos ângulos internos do polígono, basta multiplicar o número de triângulos formados por 180º, pois todos os ângulos internos dos triângulos formados também são ângulos internos do polígono. Alguns polígonos recebem nomes específicos de acordo com o seu número de lados. Veja alguns nomes na tabela abaixo: Exemplo: O Polígono ao lado é um Heptágono (7 lados). Forma-se 5 triângulos com um dos vértices. Cada triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a 180º então a soma dos ângulos internos é igual a 5 x 180º = 900º Obs: Existe uma FÓRMULA prática para o problema. 2- Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo: Na aula anterior, vimos que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 180º. Para saber a soma dos ângulos internos de outros polígonos convexos, podemos dividir a figura em triângulos: 3- soma dos ângulos Externos de um Polígono Convexo: A soma dos ângulos externos de qualquer Polígono Convexo é SEMPRE igual a 360º. 4- Polígono Regular: Um polígono convexo é chamado regular quando é equilátero (lados com a mesma medida, congruentes) e equiângulo (ângulos com a mesma medida, congruentes). Deste modo, um triângulo regular é um triângulo equilátero e um quadrilátero regular é um quadrado. 9

8 EXERCÍCIOS DE AULA: 2) 1- Determine o valor de X: 3) a) 10º b) 15º c) 20º d) 22º e) 25º 4) 2- Num polígono regular, a medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo. O polígono é um: a) heptágono b) octógono c) eneágono d) decágono e) tridecágono 5) 6) EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 10

9 4ª Aula Ângulos na Circunferência 1- Circunferência: Circunferência é o conjunto de pontos no plano que é equidistante (mesma distância) de um ponto fixo desse plano. A figura representa uma circunferência com o centro no ponto O (ponto fixo) e raio de medida r. Observe que todos os pontos dessa circunferência distam r do ponto O. 2- Ângulo Central: Na figura, estão representados um ângulo central de medida α, em graus, e o seu arco correspondente. Temos que: A medida, em graus, de um ângulo central é a medida do seu arco correspondente. Assim a medida em graus de uma circunferência é 360º e de uma semicircunferência é 180º. 3- Ângulo Inscrito. Na figura, estão representados um ângulo inscrito de medida α, em graus, e o respectivo arco correspondente. Temos que: Elementos: AO raio AB diâmetro CD corda CMD arco t reta tangente T ponto de tangência s reta secante AO = OB = OT = r e AB = 2r Observação: A medida de um ângulo inscrito numa circunferência SEMPRE é a metade do seu arco correspondente. Observação: Círculo Circunferência. Círculo é a união da circunferência com seus pontos interiores. Ou seja, circunferência é apenas a borda do círculo. 11

10 4- Quadrilátero Convexo Inscrito numa Circunferência: Na figura (um quadrilátero circunscrito), o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida AO=OB=OC=OD. Temos que: c) 2- Na figura, os arcos AEB e CFD medem, respectivamente, 70º e 50º. EXERCÍCIOS DE AULA: 1- Em cada figura, obter o valor de X, sendo O o centro da circunferência. a) O valor de X é: a) 10º b) 20º c) 50º d) 60º e) 70º 3) Na figura, o valor de X é: b) a) 35º b) 45º c) 55º d) 65º e) 75º 12

11 EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 2) 3) 13

12 4) 2- Paralelogramo: 5) Propriedades: 3- Retângulo: 6) Propriedades: 5ª Aula 4- Losango: Quadriláteros Notáveis Quadriláteros convexos que possuem pelo menos um par de lados paralelos são chamados de Quadriláteros Notáveis. São eles: 1- Trapézio: Propriedades: 14

13 da 5- Quadrado: EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 2) Propriedades: 3) EXERCÍCIO DE AULA: Represente o conjunto dos quadriláteros notáveis em um diagrama de Venn. U: conjunto dos quadriláteros convexos. T: conjunto dos trapézios. P: conjunto dos paralelogramos. R: conjunto dos retângulos. L: conjunto dos losangos. Q: conjunto dos quadrados. 4) 5) 15

14 6) O ponto G é o encontro das medianas. Mediana é a semireta que parte a partir de um vértice e corta o lado oposto na metade. Propriedade: AG = 2GD BG = 2GE CG = 2GF 2- Incentro: 7) I é o centro da circunferência inscrita no triângulo. E também é o encontro das bissetrizes internas do triângulo ABC. Bissetrizes internas: AD, CF, BE. 3- Circuncentro: 6ª Aula Pontos Notáveis de um Triângulo 1- Baricentro: O ponto O é o encontro das três mediatrizes do triângulo ABC, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. 4- ortocentro: H é o encontro das alturas no triângulo ABC. Alturas: AD, CF, BE. 16

15 da 5- Triângulo retângulo: Na quarta aula, vimos que a medida de um ângulo inscrito numa circunferência SEMPRE é a metade do seu arco correspondente. Como o diâmetro forma um arco de 180º, então qualquer triângulo que podemos formar (como na figura) será retângulo, com a hipotenusa sendo o diâmetro. 2) EXERCÍCIO DE AULA: Associar os nomes: a) baricentro b) incentro c) circuncentro d) ortocentro com as seguintes expressões correspondentes, relativas a um triângulo. IIIIIIIVVVI- ( ) Centro da circunferência inscrita. ( ) Ponto equidistante dos vértices. ( ) Ponto de encontro das Medianas. ( ) Centro da circunferência circunscrita. ( ) Ponto de encontro das retas suportes das alturas. ( ) Ponto que divide cada mediana numa razão de 2 para 1. 3) 4) EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 5) 17

16 Observe que, na figura anterior, podemos imaginar o triângulo ABC diminuiu de tamanho de maneira proporcional e se transformou no outro triângulo EFG. Temos assim um triângulo parecido, mas não igual. O lado EF é correspondente e homólogo ao lado AC, assim com os lados AB com EG ou BC com GF. Nos triângulos ABC e EFG, temos: 6) e, onde K é a razão se semelhança entre os triângulos. 7ª Aula Triângulos Semelhantes 1- Introdução: Um triângulo é semelhante a outro quando, como diz o próprio nome, parecido. Analogamente um carrinho de brinquedo em miniatura é semelhante ao seu original (em tamanho real), pois é parecido. Assim podemos afirmar que existe uma diferença que é a proporção entre os carrinhos. Portanto semelhante não significa absolutamente igual, apenas parecido ou proporcional. 2- Definição: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos têm, respectivamente, as medidas e os seus lados correspondentes têm medidas proporcionais (formam razões iguais). A G E 3- Observações: 1) Em dois triângulos semelhantes, a razão K é a razão de dois elementos lineares correspondentes quaisquer. Ou seja, qualquer medida (seja ela altura, lado, que não seja relacionado diretamente com o ângulo) é proporcional segundo a razão K. B A H AH altura relativa ao vértice A BM mediana relativa ao vértice B EI altura relativa ao vértice E GN mediana relativa ao vértice G Então temos os ângulos: E as relações: M C G I F N E B C F Atenção! As relações SEMPRE devem ser com os elementos lineares correspondentes, ou seja: altura com altura; mediana com mediana; lado com lado... 18

17 2) Para indicar que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo EFG usamos o seguinte símbolo ~ : ABC ~ EGF ~ lê-se é semelhante a. 3) Dois triângulos de K=1 são congruentes ( iguais ). EXERCÍCIOS DE AULA: 1- No ABC da figura, DE BC. Sendo AB=15cm, AC = 12cm, BC = 21cm e BD = 5cm, o segmento DE, em cm, mede: 4- Identificação de Triângulos Semelhantes: Para concluir-se que dois triângulos são semelhantes, não é necessário verificar se os seus ângulos internos têm respectivamente as mesmas medidas e se os seus lados são proporcionais. Porém existe uma regra prática utilizada na verificação de triângulos semelhantes: SEMPRE que dois triângulos possuírem dois ângulos internos respectivamente de mesma medida, ENTÃO ELES SÃO SEMELHANTES. Concluído que são semelhantes (pela regra prática ou não), todos os elementos lineares são proporcionais pela definição. Exemplos: a)10 b)10,5 c)12 d)12,5 e)14 2- O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Sendo DE perpendicular ao lado BC, AB = 10cm, AC = 18cm e DE = 5cm, o segmento CE, em cm, mede: a) 9 b)10/3 c)8 d)11/4 e)10 19

18 EXERCÍCIOS EM CASA: 3) 1) 4) 2) 5) 20

19 8ª Aula Triângulos Semelhantes (continuação) EXERCÍCIOS DE AULA: EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 1- (FUVEST) Dados: MBC = BAC AB = 3 BC = 2 AC = 4 Então MC = a) 3,5 b) 2 c) 1,5 d) 1 e) 0,5 2- A figura mostra um retângulo DEFG inscrito num triângulo ABC. Se a base FG do retângulo é o dobro da altura EF, então o perímetro desse retângulo é: 2) a) 3 b) 5 c) 12 d) 18 e) 30 21

20 3) 5) 4) 22

21 Repostas dos EXERCÍCIOS EM CASA 1ª aula 1- a) 50º b) 30º c) 18º d) 5º 2- a) 130º b) 120º c) 80º d) 45º 3- a) 36º b) 10º c) 26º d) 2º e) 30º f) 15º 4- a) 30º b) 36º c) 30º d)50º 5- A 6- A 2ª aula 1- a) 50º b) 26º c) 30º d) 60º e) 40º f) 50º g) 18 h) 30º 2- a) 20º b) 60º c) 40º d) 10º 3- a) 40º b) 20º c) 30º 4- C 5- D 6- A 7ª aula 1- a) 3cm b) 6cm c) 1/3 2- a) 12cm b) 3cm c) 6cm 3- E 4- D 5- C 8ª aula 1- D 2- D 3- A 4- A 5- B 3ª aula 1- a) 60º b) 50º c) 110º 2- a) 540º b) 720º c) 900º d)1440º e) 3600º 3- a) 60º e 120º b) 90º e 90º c) 108º e 72º d) 120º e 60º e) 135º e 45º f) 144º e 36º 4- E 5- C 6- B 4ª aula 1- a) 120º b) 40º c) 60º d) 80º e) 30º f) 50º 2- a) 55º b) 60º c) 60º d) 70º e) 60º f) 30º 3- B 4- A 5- a) 50º b) 35º 6- C 5ª aula 1- a) V b) V c) F d) V e) V f) F g) V h) F i) F j) V 2- E 3- D 4- x=60º e y=120º 5- D 6ª aula 1- C 2- a) 4 b) 2 c) 3 d) 4,5 3- D A 23