Revisão de Círculos. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

Transcrição

1 Revisão de Círculos Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

2 Definição Circunferência é uma figura geométrica formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixado no plano. O ponto fixado é chamado centro da circunferência, a distância de qualquer ponto da circunferência ao centro da circunferência é chamada raio da circunferência. Também chamamos de raio a qualquer segmento que liga o centro a um ponto da circunferência. r C C é o centro r é o raio 2

3 Uma circunferência divide o plano em duas regiões: interior da circunferência e exterior da circunferência. Dizemos que um ponto está no interior de uma circunferência se a distância desse ponto ao centro da circunferência for menor que o raio. Se essa distância for maior do que o raio, o ponto está no exterior da circunferência. 3

4 Definição Círculo é a reunião de uma circunferência com seu interior. O centro e raio do círculo são o centro e raio da circunferência que o define. C r C é o centro r é o raio 4

5 Definição Qualquer segmento ligando dois pontos de uma circunferência é chamado corda. Uma corda que passa pelo centro é chamada de diâmetro. B D A AB é uma corda CD é um diâmetro C 5

6 Arcos e medidas de arcos Considere um ângulo BÂC e com centro em A, trace uma circunferência de raio qualquer. BÂC divide a circunferência em dois arcos. Quais são eles? B B 1 Notação para os arcos: Y A X B1XC1 e B1YC1 C 1 C 6

7 Definição Dado um ângulo agudo BÂC e uma circunferência centrada em A, a medida do menor arco determinado por BÂC é a mesma medida de BÂC e a medida do maior arco determinado por BÂC é 360-m(BÂC). 7

8 Posições relativas entre retas e circunferências Dados uma reta r e um circunferência no plano, existem três possibilidades: r não intersecta (r é exterior a ), r intersecta em dois pontos (r é secante a ), r intersecta em apenas um ponto (r é tangente a ). 8

9 Considere agora um círculo de centro no ponto O, um ponto A pertencente a e o segmento OA que liga o centro do círculo ao ponto A. Seja r a reta que passa por A e é perpendicular ao segmento OA. É possível mostrar que r é tangente ao círculo. Dica: Tomando qualquer ponto B sobre r, veremos que o lado OB do triângulo OAB é o oposto ao maior ângulo  (já que OAB é reto em A). Assim OB é maior que OA. Como OA é a medida do raio da circunferência, então B está no exterior da circunferência. 9

10 Na verdade, é possível mostrar que: Uma reta passando por A é tangente a se, e somente se, é perpendicular a OA. 10

11 Posição relativa entre circunferências Dadas duas circunferências, temos as seguintes possibilidades: elas não se intersectam; 11

12 Posição relativa entre circunferências e l a s s e i n t e r s e c t a m e m d o i s p o n t o s (circunferências secantes); Neste caso: é possível mostrar que a reta que liga os dois centros O e O é a mediatriz do segmento determinado pelos pontos de interseção das circunferências. 12

13 Posição relativa entre circunferências elas se intersectam em um ponto (tangentes). 13

14 Caso as circunferências sejam tangentes exteriormente, então o ponto de encontro entre elas pertence ao segmento OO e a reta perpendicular à reta OO no ponto de encontro é tangente aos dois círculos (este fato pode ser demonstrado). 14

15 Caso as circunferências sejam tangentes interiormente, então o ponto de encontro entre elas, O e O são colineares e a reta tangente a uma das circunferências no ponto de encontro é também tangente à outra. 15

16 Ângulos centrais e inscritos Definição: um ângulo central de uma circunferência é um ângulo com vértice no centro da circunferência. Definição: Um ângulo inscrito é um ângulo com vértice sobre a circunferência e cujos lados são semirretas tangentes ou secantes à circunferência. 16

17 Ângulos centrais e inscritos Dado um ângulo inscrito BÂC de uma circunferência, o arco de circunferência contida na união do interior com o lados de BÂC é chamado arco subentendido por BÂC. Pode-se dizer também que BÂC subentende tal arco. 17

18 Ângulos centrais e inscritos Proposição: A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele subentende. Demonstração: 7 casos: 18

19 Prontos para os exercícios? Lista? 19