GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Transcrição

1 GEOMETRIA DE POSIÇÃO 1- Conceitos primitivos 1.1- Ponto Não possui dimensão. Representado por letras maiúsculas. A B C Reta É unidimensional, possuindo comprimento infinito. Não possui largura ou espessura. Representada por letras minúsculas. s t r 1.3- Plano É bidimensional, possuindo largura e comprimento infinitos. Não possui espessura. Representado por letras minúsculas do alfabeto grego Espaço É tridimensional, possuindo três dimensões infinitas. É o nosso mundo físico. Representa o conjunto de todos os pontos no espaço. 2- Postulados ou Axiomas e Teorema 2.1- Postulados São proposições aceitas como verdadeiras, muito embora não admitam uma demonstração formal. São inspiradas na experiência, observação e intuição Teoremas São as proposições que podem ser demonstradas Postulados da Reta P1) Por um ponto passam infinitas retas. E estas formam um chamado feixe de retas concorrentes.

2 P2) Numa reta bem como fora dela passam infinitos pontos r P3) Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. P4) Um ponto qualquer de uma reta a divide em duas semi-retas Postulados do Plano P1) Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. P2) Toda reta que tem dois pontos distintos, num plano, fica inteiramente contida no plano. P3) Por três pontos não situados na mesma reta passa um plano e somente um. P4) Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi-planos. 1 2 P5) Um plano divide o espaço em duas regiões que podemos denominar semi-espaços.

3 P6) Por uma reta do espaço passam infinitos planos. 3- Determinação do Plano Um plano fica determinado de quatro maneiras distintas Três pontos distintos não-colineares Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta 3.3- Duas retas distintas concorrentes 3.4- Duas retas paralelas distintas 4- Posições relativas de duas retas Duas retas no espaço podem ser: coplanares ou reversas Retas coplanares- Duas retas são coplanares quando estão contidas num mesmo plano. Elas podem ser: concorrentes, paralelas ou coincidentes. a) Concorrentes Duas retas r e s são concorrentes quando t6em um único ponto em comum, isto é, r s = {P}. b) Paralelas Duas retas coplanares r e s são paralelas quando não têm ponto em comum, isto é: r s =

4 c) Coincidentes Duas retas r e s são coincidentes quando têm todos os seus pontos comuns Retas Reversas Duas retas r e s são reversas quando não existe um plano que contenha ambas. É claro que r s =. Casos particulares: 1) retas perpendiculares: r s 2) retas ortogonais: r s Observações: 1) Quando o ângulo formado por duas retas reversas r e s é 90º, dizemos que r e s são ortogonais. Caso contrário são não-ortogonais. 2) Tanto as retas perpendiculares como as ortogonais formam ângulos de 90º; a diferença entre elas é que as perpendiculares são coplanares e as ortogonais, não. Postulado de Euclides ou das retas paralelas - Por um ponto fora de uma reta, passa uma única reta paralela á reta dada. 5- Posições relativas de uma reta e um plano 5.1- Reta contida no plano A reta tem dois pontos em comum com o plano.

5 5.2- Reta concorrente ou incidente (secante) com o plano A reta tem um único ponto em comum com o plano Reta paralela ao plano A reta não tem um ponto em comum com o plano. T1) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. T2) Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. 6- Posições relativas de dois planos 6.1- Planos coincidentes Dois planos são coincidentes ou iguais quando têm todos os pontos comuns Planos concorrentes ou secantes Dois planos são concorrentes ou secantes quando têm uma única reta em comum Planos paralelos distintos Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto comum. T3) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela ao outro. T4) Se dois planos distintos são paralelos, então qualquer reta concorrente com um deles também é concorrente com o outro. T5) Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.

6 7- Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta concorrente com um plano é perpendicular ao plano quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto de intersecção T6) Se uma reta r é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de.. T7) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 8- Perpendicularismo entre Planos Dois planos são perpendiculares entre si quando um deles contém uma reta perpendicular ao outro. T8) Se uma reta é perpendicular a um plano, então todo plano que a contém é perpendicular ao primeiro plano. OBS: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.