GGM /11/2010 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial

Transcrição

1 GGM /11/2010 Turma M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial

2 Postulados : - Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta - Três pontos não colineares determinam um único plano. - Qualquer que seja o plano, existem infinitos pontos nesse plano e infinitos fora dele. - Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida no plano. Geometria Espacial Introdução- aula anterior Teorema 1: Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles determinam um único plano que os contém.

3 Introdução-aula anterior Teorema 2: Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as contém. Teorema 3: Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único plano que as contém.

4 Paralelismo - Posições relativas : - entre retas - entre retas e planos - entre planos - Paralelismo entre retas - Paralelismo entre retas e planos - Paralelismo entre planos

5 Paralelismo Posições relativas entre duas retas no espaço Dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou paralelas ou reversas.

6 Paralelismo Posições relativas entre duas retas no espaço Dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou paralelas ou reversas. Lembrando da aula anterior Duas retas r e s são : - concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.

7 Paralelismo Posições relativas entre duas retas no espaço Dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou paralelas ou reversas. Lembrando da aula anterior Duas retas r e s são : - concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum. - paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.

8 Paralelismo Posições relativas entre duas retas no espaço Dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou paralelas ou reversas. Lembrando da aula anterior Duas retas r e s são : - concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum. - paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum. - Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as duas retas.

9 Paralelismo Posições Relativas de uma Reta e um Plano Uma reta r e um plano α podem apresentar em comum: - Dois pontos distintos;

10 Paralelismo Posições Relativas de uma Reta e um Plano Uma reta r e um plano α podem apresentar em comum: - Dois pontos distintos (reta contida no plano); r, r r

11 Paralelismo Posições Relativas de uma Reta e um Plano Uma reta r e um plano α podem apresentar em comum: - Dois pontos distintos (reta contida no plano); - Um único ponto (reta e plano concorrentes ou reta e plano secantes) r, r r r {P}

12 Paralelismo Posições Relativas de uma Reta e um Plano Uma reta r e um plano α podem apresentar em comum: - Dois pontos distintos (reta contida no plano); - Um único ponto (reta e plano concorrentes ou reta e plano secantes) - Nenhum ponto em comum (reta e plano paralelos) r, r r r {P} r

13 Paralelismo Posições Relativas de dois Planos Dois planos podem ocupar as seguintes posições relativas: - coincidentes ( ou iguais);

14 Paralelismo Posições Relativas de dois Planos Dois planos podem ocupar as seguintes posições relativas: - coincidentes ( ou iguais); - paralelos e distintos;

15 Paralelismo Posições Relativas de dois Planos Dois planos podem ocupar as seguintes posições relativas: - coincidentes ( ou iguais); - paralelos e distintos; - secantes (ou concorrentes). r

16 Paralelismo entre retas no espaço Postulados das paralelas (postulado de Euclides)

17 Paralelismo entre retas no espaço Postulados das paralelas (postulado de Euclides) Por um ponto fora da reta existe uma única reta paralela a uma reta dada. Exercício: Faça uma figura que represente o postulado.

18 Paralelismo entre retas no espaço Postulados das paralelas (postulado de Euclides) Por um ponto fora da reta existe uma única reta paralela a uma reta dada. Exercício: Faça uma figura que represente o postulado.

19 Paralelismo entre retas no espaço Postulados das paralelas (postulado de Euclides) Por um ponto fora da reta existe uma única reta paralela a uma reta dada. Exercício: Faça uma figura que represente o postulado.

20 Paralelismo entre retas no espaço Transitividade do paralelismo de retas Teorema: Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.

21 Transitividade do paralelismo de retas Geometria Espacial Paralelismo entre retas no espaço Teorema: Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. Exercício: Faça uma figura que represente a transitividade.

22 Transitividade do paralelismo de retas Geometria Espacial Paralelismo entre retas no espaço Teorema: Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. Exercício: Faça uma figura que represente a transitividade.

23 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre retas no espaço Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um paralelogramo.

24 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre retas no espaço Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um paralelogramo.

25 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre retas no espaço Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um paralelogramo.

26 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre retas no espaço Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um paralelogramo. MP// BD e MP 1 2 BD NO // BD e NO 1 2 BD MP// NO e MP NO

27 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre reta e plano Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta contida no plano? Faça um desenho.

28 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre reta e plano Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta contida no plano? Faça um desenho. Sim, prove:

29 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre reta e plano Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta contida no plano? Faça um desenho. Sim, prove: r paralela ao plano α, e tome qualquer A contém r e A As retas r e s não se intersectam, pois s r

30 Proposição: Se uma reta não está contida no plano e é paralela a uma reta desse plano, então ela é paralela ao plano. Geometria Espacial Paralelismo entre reta e plano

31 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre reta e plano Se duas retas paralelas são dadas e uma delas é paralela a um plano, então a outra é paralela ou está contida no plano? Justifique. Exercícios: 1) Se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta paralela à reta dada, então a reta conduzida está contida no plano? Faça um desenho (pag 22 do livro) 2) Dadas duas retas reversa r e s, construa por s um plano paralelo a r. 3) Dadas duas retas reversa r e s. As retas paralelas a r, conduzidas por pontos de s, são coplanares? 4) Se uma reta r é paralela a dois planos secantes α e β, então r é paralela à reta de interseção entre α e β. Verdadeira ou Falsa? Faça um desenho.

32 Postulado da Interseção: Se dois planos distintos tem um ponto em comum, então eles têm pelo menos um outro ponto em comum. Teorema da Interseção: Se dois planos distintos tem um ponto em comum, então a interseção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto. Geometria Espacial Paralelismo entre planos e, ; e Q Q P Q Q P P, e ; e r P r r P P!,

33 Paralelismo entre planos Teorema da existência de planos paralelos: - Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos. - Se dois planos distintos são paralelos, então um deles contém duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro.

34 Exemplo: Geometria Espacial Paralelismo entre planos 1) Por um ponto P fora do plano α, construa um plano paralelo a α. 2) Se dois planos paralelos interceptam um terceiro, então as interseções são paralelas? Teorema da unicidade: Por um ponto fora de um plano passa um único plano paralelo ao plano dado.

35 Exemplo: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). a) Se dois planos distintos tem um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto. ( ) Geometria Espacial Paralelismo entre planos b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes. ( ) c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes. ( ) d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes. ( ) e) Dois planos secantes tem interseção vazia. ( )

36 Teorema dos Três Planos Secantes Teorema dos três planos secantes: (pag 14 e 15) 1) Se três planos são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas distintas, e duas dessas retas são concorrentes, então todas as três incidem num mesmo ponto. 2) Se três planos são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas distintas, e duas dessas retas são paralelas, então todas as três retas são paralelas (duas a duas). Se três planos são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas, ou essas retas passam por um mesmo ponto ou são paralelas duas a duas. Exercício: Faça figuras que representem esses resultados.

37 Exercício: Dado duas retas reversas e um ponto P. Analise as possíveis hipóteses: Caso 1: O ponto pertence a uma das retas. Caso 2: Caso 3: Geometria Espacial Duas retas reversas

38 Exercício: Geometria Espacial Duas retas reversas Dado duas retas reversas e um ponto P. Analise as possíveis hipóteses: Caso 1: O ponto pertence a uma das retas. Caso 2: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta. Caso 3: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra.

39 Exercício: Geometria Espacial Duas retas reversas Dado duas retas reversas e um ponto P. Analise as possíveis hipóteses: Caso 1: O ponto pertence a uma das retas. Caso 2: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta. Caso 3: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra

40 Exercício: Geometria Espacial Duas retas reversas Dado duas retas reversas e um ponto P. Analise as possíveis hipóteses: Caso 1: O ponto pertence a uma das retas. Caso 2: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta. Caso 3: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra

41 Exercício: Geometria Espacial Duas retas reversas Dado duas retas reversas e um ponto P. Analise as possíveis hipóteses: Caso 1: O ponto pertence a uma das retas. Caso 2: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta. Caso 3: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra

42 Exercício: Geometria Espacial Duas retas reversas Dado duas retas reversas e um ponto P. Analise as possíveis hipóteses: Caso 1: O ponto pertence a uma das retas. Caso 2: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta. Caso 3: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra

43 Exercício: Geometria Espacial Exercícios 1) Construa por um ponto P uma reta que se apóia em duas retas reversas r e s dadas. (pag 24) 2) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). ( pag 25) a) Uma reta e um plano que tem um ponto em comum são concorrentes.( ) b) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a qualquer reta do plano.( ) c) Uma reta e um plano são secantes t{em um único ponto em comum. ( ) d) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. ( ) e) Por um ponto fora do plano passam infinitas retas paralelas ao plano. ( ) f) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra a outra. ( ) g) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóie em ambas. ( ) h) Por qualquer ponto é possivel traçar uma reta que se apóia em duas retas reversas dadas. (F) Por quê?

44 Ângulo e Perpendicularismo entre retas Duas retas concorrentes, estão sempre em um mesmo plano. O ângulo entre duas retas concorrentes r e s tem como medida o menor ângulo entre os quatro determinados por r e s. Se todos os ângulos forem congruentes, dizemos que r e s são perpendiculares e que o ângulo entre o elas é 90.

45 Ângulo e Perpendicularismo entre retas o Caso r e s sejam paralelas, dizemos que o ângulo entre elas é 0. Para definir ângulo entre retas reversas, vamos recorrer a uma construção: Sejam r e s retas reversas e P um ponto qualquer. Por P trace as retas r e s paralelas a r e s respectivamente. O ângulo entre r e s é definido como o ângulo entre as retas concorrentes r e s

46 Definição: Geometria Espacial Retas Ortogonais e Perpendiculares Duas retas são ortogonais se, e somente se, são reversas e formam ângulo reto. Notação: Definição: Dizemos que duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e forma ângulo reto. Notação: Se duas retas formam um ângulo reto então elas são perpendiculares ou ortogonais.

47 Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares Definição: Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum.

48 OBS: Geometria Espacial Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano. Teorema Fundamental: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

49 Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares OBS: 1) Num plano α, há duas retas concorrentes. Se uma reta é perpendicular a uma delas e ortogonal a outra, então essa reta é perpendicular ao plano α. Faça uma figura que represente esse resultado. 2) Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. Faça uma figura que represente esse resultado. 3) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. Faça uma figura que represente esse resultado.

50 Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares Teorema das três perpendiculares: (pag 41) Se uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α não passa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta SR é perpendicular à reta b. Faça uma figura que represente esse resultado.

51 Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares Teorema das três perpendiculares: (pag 41) Se uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α não passa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta SR é perpendicular à reta b. Faça uma figura que represente esse resultado.

52 Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares Teorema das três perpendiculares: (pag 41) Se uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α não passa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta SR é perpendicular à reta b. Faça uma figura que represente esse resultado.

53 Perpendicularidade- Reta e Plano Perpendiculares Teorema das três perpendiculares: (pag 41) Se uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α não passa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta SR é perpendicular à reta b. Faça uma figura que represente esse resultado.

54 Exercícios Exercício: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). ( Veja pag 42) Resultados: Faça figuras que represente cada resultado. - Por um ponto P pode passar um único plano perpendicular a uma reta r. - Por um ponto P pode passar uma única reta perpendicular a um plano α. - Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos entre si. - Se dois planos são paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. - Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma deles é perpendicular à outra. - Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si.

55 Lista de exercícios: Fazer exercícios do livro: Fundamentos de Matemática Elementar- volume 10 Oswaldo Dolce e José Nicolau Pompeo Capítulos 2 e 3.