2 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de 2014

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1 a Lista de Eercícios de MAT4 Escola Politécnica o semestre de 4. Determine u tal que u = e u é ortogonal a v = (,, ) e a w = (, 4, 6). Dos u s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor (,, )?. Determine a projeção do vetor w na direção do vetor v nos casos: (a) w = (,, ), v = (,, ); (b) w = (,, ), v = (,, ).. Decomponha w = (,, ) como soma de dois vetores w e w, sendo w paralelo ao vetor (,, ) e w ortogonal a este último. 4. Decomponha w = (,, ) como soma de dois vetores w e w, sendo w, (,, ), (,, ) coplanares e w ortogonal a estes dois últimos.. Em cada caso, ou demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um eemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens, d, v e w representam vetores. (a) Se v w = então v = ou w = (b) Se v e w são ortogonais, então 8 v e w também são ortogonais. (c) Se v é ortogonal a w, então v é paralelo a w. (d) Se a projeção proj d v =, então v =. (e) Se proj d v = então v é ortogonal a d. (f) Se v é paralelo a d, então proj d v = v. (g) proj d v = proj d v. (h) proj d v = proj d v. (i) proj d ( u + v) = proj d u + proj d v. (j) proj u+ v ( d) = proj u d + proj v d. 6. Calcule o momento em relação ao ponto O da força f = (,, 4), aplicada ao ponto P tal que OP = (,, ) (esse momento é igual a OP f).. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule AB AC. 8. Calcule a área do triângulo ABC, sendo AC = (,, ) e AB = (,, ). 9. Resolva o sistema: { ( ı + j + 4 k) = 9, ( ı + j k) = ı + k.. Determine tal que ( ı + k) = ( ı + j k) e = 6.. Sabe-se que é ortogonal a (,, ) e a (,, ), tem norma e, sendo θ a medida do ângulo entre e (,, ), tem-se cos θ >. Determine.. Prove que se u e v não são colineares e w u = w v = então w =. Interprete esse resultado geometricamente.. Seja u. Prove que se u v = e u v = então v =. Interprete esse resultado geometricamente.

2 4. Dados os seguintes conjuntos ordenados de vetores, determine se os vetores são coplanares, uma base positiva ou uma base negativa. (a) {(,, ), (,, ), (,, )}. (b) {(,, ), (,, ), (,, )}. (c) {(,, ), (,, ), (,, )}. (d) {(,, ), (,, ), (,, )}. (e) {(,, ), (,, ), (,, )}. (f) {(,, ), (,, ), (,, )}.. Suponha que o conjunto ordenado { u, v, w} é uma base positiva. Qual a relação entre os números reais a, b, c, se o conjunto ordenado {a u, b v, c w} é uma base positiva? 6. Calcule a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB em função de AB e BC.. Sendo u = 6, v = e v u =, calcule u v sabendo-se que u e v formam um ângulo obtuso. 8. Seja v = ( a + α b) ( a + b), α IR, onde a =, b = e θ = π 4 é o ângulo entre a e b. Calcule α para que tenhamos v =. 9. Seja M o ponto de encontro das diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD. Sendo BM = (,, ) e AC = (,, ), calcule a área do paralelograma ABCD e a distância do ponto M à reta AB.. Seja O um ponto. Considere os pontos R, S, T tais que OR = (,, 9), OS = (4, 6, 9) e OT = (t+, t, ). Determine a menor área possível para o triângulo RST, onde t percorre IR.. Sejam AB = (,, ) e CB = (,, ). (a) Mostre que o triângulo ABC é retángulo. (b) Determine proj AB. BC (c) Calcule o comprimento da altura relativa à hipotenusa do triângulo retángulo ABC.. Dados a = (,, ), b = (,, ), c = (,, ), determine o vetor unitário u tal que u é ortogonal a c, proj a u = (,, ) e u b >. Determine os vetores v de norma 8, sabendo que o ângulo entre v e a é π radianos e que os vetores a, c, v são coplanares.. Consideremos os vetores = (,, ), v = (,, 4), u = (,, ) e a = (,, ). Calcule o volume do tetraedro ABCD e a altura relativa à base determinada por AB e AC, sabendo-se que AB = proj v, AC =, AC// u, AC u < e (proj a AB) AC = BD. 4. A medida em radianos do ângulo entre u e v é π 6 v =, w = 4, determine [ u, v, w]. e w é ortogonal a u e a v. Sendo u =,. O objetivo deste eercício é resolver a equação: u = v, ( ) onde u e v são dados. (a) Estudemos a equação homogênea u =. Nesse caso dê o conjunto de todas as soluções. (b) Mostre que se é uma solução de ( ), então é uma solução de ( ) se e somente se eiste λ IR tal que = + λ u. (c) Mostre que se u v, ( ) não tem solução. (d) Suponha agora u v =. Determine k IR para que = k u v seja solução de ( ).

3 (e) Dê o conjunto de todas as soluções de ( ). 6. São dados os pontos A = (, 6, ), B = (,, ) e C = (4,, 6). (a) Escreva equações vetorial e paramétrica para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma simétrica (se eistir). O ponto D = (,, 4) pertence a essa reta? (b) Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo. (c) Escreva uma equação paramétrica da mediana relativa ao vértice C do triângulo.. Dados os pontos A=(,,) e B=(,,), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de P B seja o triplo do comprimento de P A. 8. Escreva uma equação paramétrica para a reta r que passa pelo ponto A=(,,-) e: (a) é paralela à reta s : = y 4 = + 6 (b) é paralela à reta que passa pelos pontos B= (,,4) e C=(,,). 9. Escreva equações geral e paramétrica para os planos descritos abaio: (a) π passa por A = (,, ) e B = (,, ) e é paralelo ao vetor v = (,, ). (b) π passa por A = (,, ) e B = (,, ) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (,, ) e D = (,, ). (c) π passa pelos pontos A = (,, ), B = (,, ) e C = (,, ).. Sejam P = (4,, ) e r : X = (, 4, ) + λ(,, ) (a) Mostre que P / r. (b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.. Decomponha o vetor v = (,, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X = (,, ) + λ(,, ) + µ(,, ) e outra paralela à reta X = (,, ) + ν(,, ).. Um paralelogramo de vêrtices A, B, C e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r : X = (,, ) + λ(, 4, ), e os outros dois paralelos ao plano π : + y + =. Sabendo-se que A = (,, ) e D = (,, ), determine os vértices B e C.. Estude a posição relativa das retas r e s nos casos: { y + = (a) r : X = (,, ) + λ(,, ) s : + y = (b) r : { y = + y = s : { y + = + y = 4. Estude a posição relativa da reta r e do plano π nos casos: (a) r : X = (,, ) + λ(,, ) π : y =. (b) π : X = (, /, ) + λ(, /, ) + µ(,, ) r :. Verifique se os planos π e π são iguais nos casos: { y + = + y = (a) π : X = (,, )+λ(,, )+µ(, 4, 6), π : X = (,, )+λ(,, )+µ(,, 4) (b) π : y + + =, π : 6y =. 6. Verifique se a reta r está contida no plano π nos casos: (a) r : X = (,, ) + λ(,, ) e π : + y + = ;

4 (b) π : X = (, 4, ) + λ(,, ) + µ(,, ) e r é a reta que passa pelos pontos A = (,, ) e B = (,, ).. Obtenha uma equação vetorial para as retas (caso eistam) que passam pelo ponto P, são paralelas ou contidas no plano π e são concorrentes com a reta r nos seguintes casos (interprete geometricamente): (a) P = (,, ), π : + y =, r : X = (,, ) + λ(,, ); (b) P = (,, ), π : y =, r : X = (,, ) + λ(,, ); (c) P = (,, ), π : y =, r : X = (,, ) + λ(,, ). 8. Dados os pontos A=(,,), B=(,,) e C=(,,), obtenha equações paramétricas das bissetries interna e eterna do triângulo ABC, relativas ao vértice C. 9. Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por A = (,, ) e B = (,, ). 4. Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos: (a) π passa pelos pontos A = (,, ), B = (,, ) e C = (,, ); = + α (b) π tem equações paramétricas y = α + β = α β 4. Considere os planos π : = y, π : =, π : = e seja π 4 o plano determinado pelas retas: { = r : X = (,, ) + λ(,, ) e s : + y = Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule o seu volume. 4. Determine a projeção ortogonal: (a) do ponto P = (4,, ) sobre o plano π : 4y + = (b) da reta r : + = y + = sobre o plano π : y + = = + λ (c) da origem sobre a reta intersecão dos planos π : + y + = e π : y = + µ = + λ + µ 4. Ache o vértice B de um triângulo retângulo ABC sabendo que: (a) A = (,, ) e a cota de C é maior do que a de A; (b) a hipotenusa AC é ortogonal ao plano + y =, e mede ; (c) o lado AB é ortogonal ao plano y =. 44. Um cubo tem diagonal AB e uma de suas faces está contida no plano π : y =. Determine seus vértices, dados A = (,, ) e B = (,, ). 4. Um heágono regular ABCDEF está contido no plano π : +y + =. Sendo A = (,, ) e D = (,, ) dois vértices diametralmente apostos, determine os outros quatro. 46. Considere as retas r : X = (,, ) + λ(,, ) e s : X = (,, ) + λ(,, ). Mostre que r e s sâo retas reversas. Encontre o ponto da reta s mais próimo do ponto A = (,, ). Encontre dois pontos P r e Q S cuja distância seja a menor possível. 4. Decomponha o vetor v = (, 4, ) numa soma v = v + v onde v é paralelo ao plano = λ π : y = = λ µ e v é ortogonal a π.

5 48. Considere os planos π : y + 4 = e π : + y + =. (a) Mostre que π e π são concorrentes; (b) Ache uma equação vetorial da reta s = π π ; (c) Ache uma equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P = (,, ) e é perpendicular a reta s. 49. Considere as retas r e s dadas por: r : X = (,, )+λ(,, ) e s : X = (,, )+µ(,, ). (a) Mostre que r e s são retas reversas; (b) Dê uma equação geral para os planos π e π tais que r π, s π e π é paralelo a π. (c) Calcule a menor distância possível entre um ponto de r e um ponto de s.. Encontre as equações paramétricas para a reta: (a) Que passa por P (, 6, ) e é perpendicular à reta y = + t. (b) Que passa por P (,, ) e é perpendicular à reta y = + t. (c) De intersecção dos planos + y = e + y = 4.. Encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas e os pontos onde ela é atingida. (a) y = + t e y = + t. (b) y = 6 + t. Encontre a equação para o plano: e y = (a) Que passa por A(,, ) e é perpendicular à reta + t y =. + t (b) Que passa por P (,, ) e é paralelo ao plano determinado pelos pontos A(,, ), B(,, ) e C(,, ). (c) Que contém A(,, ) e a reta y = + t (d) Que contém as retas y = + t 4 e (e) Que é equidistante dos pontos A(,, ) e B(,, 9). y = 8 + t.. Em cada caso, ou demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um eemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens, d, v e w representam vetores. (a) Se uma reta é paralela a um plano, ela nunca intercepta o plano. (b) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto. (c) Se o plano a + by + c = k passa pela origem, então k =. (d) Todo plano tem eatamente uma equação da forma a + by + c = k. (e) Se duas retas não se interceptam, elas não estão ambas contidas em um mesmo plano. (f) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano. (g) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos. (h) Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano..

6 a Lista de Eercícios de MAT4 Respostas Escola Politécnica o semestre de 4. u = (,, ) ou u = (,, ); ângulo agudo; (,, ).. a) 6 (,, ) b) 9 (,, ). w = (,, ) 9 e w = (,, ) 4. w = (,, ) e w = (,, ). (a) falsa, (b) verdadeira, (c) falsa, (d) falsa, (e) verdadeira, (f) verdadeira, (g) falsa, (h) verdadeira, (i) verdadeira, (j) falsa. 6. (,, 4) = (,, ). = (,, ). = (,, ) 4. (a) base negativa. (b) base positiva. (c) base negativa. (d) coplanares. (e) base positiva. (f) coplanares.. abc >. 6.. AB AC AB 8. α = ou α = 9. área = 4, distância =.. proj BC AB = (,, ), altura =. u = (,, ), v = (,, ) ou v = (,, ). volume = 8, altura = 8 4.

7 . (a) = λ u, λ IR. (b) De fato, se é solução de u = v, como u = v, resulta, por substração, que ( ) u =. Logo eiste λ IR tal que = λ u. Reciprocamente, se = + λ u é fácil verificar que é solução de ( ). (c) Sabemos que u é sempre perpendicular a u. perpendicular a u, ou seja u v =. (d) k = / u (e) Se u v, não tem solução. Se u v =, é o conjunto dos da forma = u v + λ u, λ IR. u Logo se ( ) tem solução, v deve ser 6. (a) X = (4,, 6) + λ(,, ); λ IR D não pertence à reta. (b) basta verificar que { AB, AC} é L.I. = + λ (c) y = 4 λ = 4λ λ IR. P = ( 4, 4, 4 ) ou P = (,, ). 8. = λ y = 4λ = + 8λ λ IR = + λ y = λ = λ λ IR. = + µ 9. (a) y = + λ + µ = λ, = + λ + µ (b) y = λ + µ = + λ + µ, = λ (c) y = λ + µ = λ + µ,. (b) 8 + 6y 9 =. λ, µ IR λ, µ IR λ, µ IR. v = (,, 4) + (,, ).. C = (,, ) ( e B =,, )., y =, y =,, y + 4 =.. (a) Paralelas distintas, (b) Concorrentes em P = (,, ). 4 (a) r e π são transversais em P = (,, ), (b) r está contida em π. (a) Sim, (b) Não. 6 (a) Sim, (b) Não. (a) X = (,, ) + λ(,, ), (b) Há infinitas soluções, (c) Não eiste solução.

8 = λ 8. Bissetri interna : y = λ = 9. =. 4. (a) (,, ), (b) (,, ) = + λ λ IR Bissetri eterna : y = λ = λ IR 4. Determinam um tetraedro de volume (a) ( 8, 6, ), (b) X = (,, ) + λ(8,, ), (c) 4. (, 4, 4 ). 44. (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). (,, ). 4. (,, ), (,, ), (,, ( ),,, ). 46. (,, ) ( 4, P =,, ) e Q = ( 6, 6, ) (, 4, ) = (,, ) + (, 4, ). 48. (b) X = (,, ) + λ(,, ), λ IR, (c) X = (,, ) + λ (, 4, 4), λ IR. 49. (b) π : y + =, π : y + =, (c) 6.. (a) y = 6 +t t (b). (a) 4 4. Pontos ( 9 4, 6 4, 4 ), (, 4, ). (b) y = +t 6 4. Pontos (, 9,. (c) y ), (,, ).. (a) 4y =. (b) 4 + y + = 4. (c) y + =. (d) 6 + 8y =. (e) y + = 4.. (a) Verdadeiro (se a reta não está contida no plano). (b) Falso. (c) Verdadeiro. (d) Falso. (e) Falso. (f) Falso. (g) Verdadeiro. (h) Verdadeiro. =