Lista 3.2: Retas - Planos e Distâncias PARTE 1: RETAS. 1. Verificar se os pontos P 1 (5, 5,6) e P 2 (4, 1,12) pertencem à reta r : x 3 1 = y + 1

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1 Curso:Licenciatura em Matemática Professor: Luis Gustavo Longen Lista 3.: Retas - Planos e Distâncias PARTE 1: RETAS 1. Verificar se os pontos P 1 (5, 5,6) e P (4, 1,1) pertencem à reta r : x 3 1 = y + 1 z.. Determinar o ponto da reta r : x = t + t z = 1 t que tem abcissa 4. x = 1 t 3. Determinar m e n para que o ponto P (3,m,n) pertença à reta s : y = 3 t z = 4 + t = 4. Determinar os pontos da reta r : x 3 = y ; (c) cota 1. = z que têm (a) abcissa 5; ordenada 5. O ponto P (,y,z) pertence à reta determinada por A(3, 1,4) e B(4, 3, 1). Calcular P. 6. Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0, 3) e tem a direção do vetor v = i + 4 j + 5 k. 7. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de pontos: (a) A(1,,3) e B(3, 1, 1) A( 1,,3) e B(, 1,3) 8. Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos pontos P 1 ( 1,0,3) e P (1,,7). 9. Mostrar que os pontos A( 1, 4, 3), B(, 1, 3) e C (4, 1, 7) são colineares. 10. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3,m,1), B(1,1, 1) e C (,10, 4) pertençam à mesma reta? 11. Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: x + 1 (a) 3 = z 3 4 y = 1 x = y z = 3 1

2 x = t (c) y = 1 z = t (d) z = 1 y = x (e) z = 3 + x (f) x = y = z 1. Determinar as equações das seguintes retas: (a) reta que passa por A(1,,4) e é paralela ao eixo dos x; reta que passa por B(3,,1) e é perpendicular ao plano xoz; (c) reta que passa por A(,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo ao eixo dos x e dos y; (d) reta que passa por A(4, 1,) e tem direção do vetor i j ; (e) reta que passa pelos pontos M (, 3,4) e N (, 1,3). 13. Representar graficamente as retas cujas equações são: x = 1 + t (a) y = t z = 9 3t (c) x = 4 + t z = 5 5t y = 3x + 6 z = x + 4 x = 1 + t t (d) z = t y = x (e) z = 3 (f) z = x (g) z = y (h) y = 4 x = 3 (i) z = Determinar o ângulo entre as seguintes retas: x = t (a) r : y = t e s : x 4 = y + 6 = z 1 z = 3 4t

3 y = x 1 r : z = x + x = 1 + t (c) r : y = t z = 5 3t e s : y 3 = z ; x = e s : (d) r : x 4 = y 1 = z + 1 e s : x = 0 y = 0 x = 1 y = z Determinar o valor de n para que seja de 30 o o ângulo entre as retas r : x 4 = y = z 3 y = nx + 5 e s : z = x 16. Calcular o valor de n para que seja de 30 o y = nx + 5 o ângulo que a reta r : z = x 3 forma com o eixo dos y. x = 1 + t 17. A reta r : y = t forma um ângulo de 60 o com a reta determinada pelos pontos z = 3 t A(3, 1, ) e B(4, 0, m). Calcular o valor de m. 18. Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: x = 3t (a) r : + t e s : x = y 1 m ; z = 6 z = 4 r : x = 3t z = mt e s : x 4 6 = z 1 5 ; y = 7 x = + t 19. A reta r passa pelo ponto A(1,,1) e é paralela à reta s : y = 3t z = t r, determinar m e n.. Se P ( 3,m,n) 0. Quais as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto A(,1,0) e é paralela à reta r : x = y 4 = z 1? 1. A reta que passa pelos pontos A(,5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada por C (3, 1, 1) e D (0, y, z). Determinar o ponto D. y = mx + 3. A reta r : z = x 1 Calcular o valor de m. é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(,m,m). 3. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas y = x + 3 (a) r : z = 3x 1 e s : x 1 = y 1 = z m 3

4 r : x = 1 e s : y = 4x m z = x (c) r : x m m = y 4 3 ; z = 6 e s : y = 3x + 4 z = x 4. Calcular o ponto de interseção das retas (a) r : x 1 z = x + 1 e s : r : x = y 3 = z 5 4 e s : y = 4x z = 3x x = 5 + t y = t z = 7 t y = x 3 (c) r : z = 4x 10 e s : x = y 7 3 = z 1 7 y = 5 (d) r : z = 4x + 1 e s : x 1 = z 5 3 ; y = 5 5. Dadas as retas r : y 3 = z + 1 y = x ; x =, s : z = x 3 e h : + t y = 1 3t z = t, determinar: (a) o ponto de interseção de s e h; o ângulo entre r e s. 6. Em que ponto a reta que passa por A(,3,4) e B(1,0, ) intercepta o plano xy? x = + 3t y = x Sejam as retas r : y = 4 + 5t e s : z = x z = mt 3 (a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes; determinar, para o valor de m, o ponto de interseção de r e s. 8. Estabalecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,,1) e é simultaneamente ortogonal às retas r : y = x + 1 z = 1 e s : z = x 3 9. Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas r : x = y 1 = z 3 x 1 e s : z = x Determinar as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(,0, 1) e é simultaneamente ortogonal à reta r : y 3 = z + 1 ; x = 1 e ao eixo dos y Estabelecer as equações paramétricas da reta qua passa pelo ponto de interseção das retas r : x = y + 1 = z x = 1 y 3 e s : e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s. z = + y 4

5 3. A reta r : x 1 = y a b = z é paralela à reta que passa pelo ponto A( 1,0,0) e é simultaneamente ortogonal às retas r 1 : y = t + 3 e r :. Calcular a e b. x = t y = x z = x z = 3t Dados os pontos P 1 (7, 1,3) e P (3,0, 1), determinar: (a) o ponto P, que divide o segmento P 1 P na razão 3 ; o ponto Q, que divide o segmento P 1 P ao meio. 34. O ponto P (9,14,7) divide o segmento P 1 P na razão 3. Determinar P, sabendo que P 1 (1,4,3). 35. Seja o triângulo de vértices A(1,0, ), B(, 1, 6) e C ( 4,5,). Estabelecer as equações paramétricas da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 5

6 Respostas: 1. Apenas P 1. (4,1,5) 3. m =, n = 5 4. (5,, ), ( 7,4,10), (, 1 ),1 5. P (,1,9) 6. y = x 8 e z = 5 x (a) y = x 5 z = x + 5 y = x + 1 z = 3 8. x = 1 z 5 e y = 1 z m = (a) y = z = 4 z = 1 (c) x = (d) z = x = y (a) 60 o 30 o (c) 30 o ( (d) θ = arc cos 48 3) 11 (e) x = y + 1 = z ou ± (a) m = 10 e n = 5 0. y = 4x + 9 e z = x 1. D (0,1,0). 1 ou 3 3. (a) 4 7 (c) 3 4. (a) (1,,3) (4,3,9) (c) (,1, ) (d) (1, 5,5) 6

7 ( ) 3 5. (a) (,4, 1) θ = arc cos 6 ( ) ,1,0 7. (a) m = ( 1, 1, ) t 8. y = z = 1 t 9. x = z y = y = 0 z = 1 x = + t y = 1 5t z = 3t 3. a = 14 b = (a) P (15, 3,33) 34. P ( 3, 1,1) x = 1 + t 35. y = t z = PARTE : PLANOS E DISTÂNCIAS 1. Mostrar que o ponto P 1 (,,3) é equidistante dos pontos P (1,4, ) e P 3 (3,7,5).. Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto equidistante de A(1,1,4) e B( 6,6,4). 3. Calcular: x = 1 t (a) a distância do ponto P (1,,3) à reta r : y = t z = t a distância do ponto P (1,,3) a cada um dos eixos coordenados. 4. Seja o triângulo ABC de vértices A( 3,1,4), B( 4, 1,0) e C ( 4,3,5). Calcular a medida da altura relativa ao lado BC. 5. Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos: x = 0 (a) r : y = z e s : z = x r passa pelos pontos A(1,0,1) e B( 1, 1,0) e s pelos pontos C (0,1, ) e D (1,1,1). 7

8 (c) r : y = e s : x = 1 t (d) r : y = + 3t z = t (e) r : x = y = z e s : x = 1 y = 4 e s: eixo dos x y = x + 1 z = x 3 6. Determinar a distância do ponto P (, 1,) a cada um dos planos: (a) π : x y z + 3 = 0 π : x + y + z = 0 (c) π : x + 7. Achar a distância do ponto P (, 3,5) ao plano π : 3x + y + 6z = Achar a distância da origem a cada um dos planos (a) π : 3x 4y + 0 = 0 x = h + t π : y = 1 + 3h t z = t 9. Dado o tetraedro de vértices A(1,,1), B(, 1,1), C (0, 1, 1) e D (3,1,0), calcular a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC. 10. Escrever as equacoes dos planos paralelos ao plano π : 3x y 6z 5 = 0 que distam 5 unidades da origem. 11. Calcular a distância entre os planos paralelos: (a) π 1 : x + y + z 5 = 0 e π : x + y + z 3 = 0 π 1 : x z + 1 = 0 e π : 3x 6z 8 = 0 1. Determinar a distância da reta r : (a) ao plano xoz ao plano yoz (c) ao eixo dos z (d) ao plano π : x + y 1 = 0 y = 4 8

9 Respostas: 1. d (P 1,P ) = 30 = d (P 1,P 3 ). (0,7,0) 3. (a) 13, 10, (a) (c) (d) 10 (e) (a) (c) (a) x y 6z ± 35 = (a) (a) 4 3 (c) 5 (d) 5 9