UFRJ - Instituto de Matemática

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1 UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras ou falsas, justificando rigorosamente as suas respostas. (a) Seja f : ], + [ R. Afirmar que f não tende a quando tende a + é equivalente a afirmar que f(). lim + (b) Se f : ]a, b[ R R é diferenciável e estritamente crescente, então sua derivada é estritamente positiva. (c) Se f : D R R é diferenciável e sua derivada é estritamente positiva, então f é crescente. (d) Eiste um reta r R, passando pela origem, tal que todos os pontos pertencentes a r têm ambas as coordenadas racionais. (e) Eiste um reta r R, passando pela origem, tal que nenhum ponto pertencente a r têm ambas as coordenadas racionais. Questão. Considere os pontos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e E(,, ). Sejam r a reta que contém A e B e Π o plano que contém A, B e C. (a) Determine o ponto H, de interseção de Π com a reta s, que é perpendicular a Π e passa por E. (b) Determine a equação do plano Θ, que contém o ponto H e é perpendicular a r. (c) Qual é a relação entre os planos Π e Θ? E entre o plano Θ e a reta s? Questão. Sejam A, B, C, D R tais que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. (a) Que condição devem satisfazer as coordenadas de A, B, C e D? (b) Que condições devem satisfazer as coordenadas de um ponto P R para que P esteja no interior do paralelogramo ABCD. (c) Que condições devem satisfazer as coordenadas de um ponto P R para que P esteja no interior do triângulo ABC. Questão 4. Seja Q o quadrado de vértices nos pontos A (, ), A (, ), A (, ) e A 4 (, ). Considere C, C, C, C e C 4 cinco círculos distintos e de mesmo raio r, contidos no interior de Q, de forma que:. cada círculo C, C, C e C 4 é simultaneamente tangente a dois lados consecutivos de Q;. o círculo C tem centro na origem e é tangente a todos os outros círculos C, C, C e C 4. Faça um esboço representando a situação e determine r. Questão 5. Considere a função s : R R dada por s() = sen (). (a) Mostre que o gráfico de s fica limitado entre duas retas, que tocam o gráfico em infinitos pontos. Determine esses pontos. (b) Determine os valores de em que s é diferenciável e encontre a função s. (c) Os máimos locais da função s ocorrem para os mesmos valores de que os máimos locais da função seno? Justifique a sua resposta.

2 Questão 6. As figuras abaio representam os gráficos de duas funções f e g. A reta a é tangente ao gráfico de f no ponto (, ). As retas b e c são tangentes ao gráfico de g nos pontos (, ) e (, ), respectivamente. Os trechos do gráfico de f correspondentes a < e a < < são segmentos de reta. Determine, se possível, os valores da derivada da função f g nos pontos = e =. Justifique sua resposta. a y y y = f() 4 b 4 y = g() c 4 4 Questão 7. Considere a função h : R \ {} R definida por: h() = gráfico de h indicando (caso eistam): ln. Faça um esboço do (a) os limites lim h() e lim h() ; + (b) os limites lim h() e lim h() ; + (c) as assíntotas horizontais e verticais de h ; (d) os máimos e mínimos locais e absolutos de h ; (e) os intervalos em que h é crescente e os intervalos em que h é decrescente; (f) os pontos de infleão de h ; (g) os intervalos em que a concavidade de h é voltada para cima e os intervalos em que a concavidade de h é voltada para baio. Questão 8. Considere a função ϕ : R R definida por ϕ() = gráfico de ϕ no intervalo ] π, π[. Questão 9. sen ( t ) dt. Faça um esboço do (a) Enuncie a definição de convergência de seqüências de números reais e interprete esta definição geometricamente. (b) Considere ( n ) n N uma seqüência de números reais. Suponha que eista R com a seguinte propriedade: ε > eistem infinitos índices n tais que n < ε. Podemos afirmar que é o limite de ( n )? Questão. Considere as seguintes seqüências de números reais: a n = α é um número real maior que. k= k e b n = k=, em que k α (a) Sabemos que (a n ) é divergente. Mostre que (a n ) é monótona. A seqüência (a n ) é limitada? Justifique sua resposta. (b) A seqüência (b n ) é monótona? E limitada? Justifique sua resposta. (c) O que podemos concluir sobre a seqüência (b n ) com base no item anterior?

3 UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Gabarito Questão. (a) Falso. Contra-eemplo: f : ], + [ R, f() = sen. Temos que f não tende a quando tende +, mas não é correto afirmar que lim f(), + uma vez que este limite não eiste. (b) Falso. Contra-eemplo: f : ], [ R, f() =. Temos que f é diferenciável e estritamente crescente, mas f () =. (c) Falso. Questão. Questão. Contra-eemplo: f : ], [ ], [ R, f() = Temos que f () =, mas f não é crescente. { + se < < se < <. (d) Falso. Suponhamos que eistisse tal reta r. Tomemos um ponto (, y ) r. Então, y Q. Como r passa pela origem, então (π, π y ) r. Mas isso implicaria π Q, o que é uma contradição. (e) Verdadeiro. Tomemos, por eemplo, r a reta de equação y =. Dado (, y) r, temos que Q y Q. (a) Os três pontos A, B, C verificam a propriedade z =. Portanto, a equação do plano Π é z =. Como a reta s é perpendicular ao plano Π e este é paralelo ao plano y, então, a reta s é paralela ao eio z. Como esta reta passa pelo ponto E(,, ), o ponto H de interseção do plano Π com a reta s tem por coordenadas H(,, ). (b) O plano Θ contem o ponto H e tem por vetor normal AB = (,, ) (,, ) = (,, ). Logo, um ponto P pertence a Θ se e somente se (, y, z + ) (,, ) =. Daí, segue que a equação de Θ é dada por HP AB =, ou seja, y =. (c) Como Θ r e r Π, então Θ Π. Temos que s e Θ são ambos perpendiculares a Π. Como além disso H s e H Θ, então s Θ. (a) Sejam A = ( A, y A ), B = ( B, y B ), C = ( C, y C ), D = ( D, y D ). Então, se ABCD é um paralelogramo, os vetores BA e CD são iguais, ou seja: ( A B, y A y B ) = ( D C, y D y C ). Logo: A + C = B + D y A + y C = y B + y D Por outro lado, se a condição acima é verdadeira para as coordenadas de A, B, C e D, então os vetores AB e DC, bem como os vetores AD e BC são iguais, e portanto ABCD é um paralelogramo.

4 (b) O ponto P estará no interior do paralelogramo quando BP for uma combinação linear de BA e BC, com os coeficientes positivos e não maiores do que. Caso contrário, estará na fronteira desse paralelogramo, ou fora dele. Portanto: B = ( B + a ( A B ) + b ( C B ), y B + a (y A y B ) + b (y C y B )) em que < a, b <. (c) Eaminando a epressão e figura acima, vemos que: P estará sobre a diagonal AC se a+b =,. e estará no interior do triângulo ABC quando < a + b <. Questão 4. Observando a figura, consideremos T, o ponto em que o círculo C tangencia o lado A A. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo T O A, vemos que: O A = r Como OO = OO = r e O A = O A = r, então a diagonal do quadrado Q é dada por: A y A A A = O A + OO = ( + ) r Como o lado de Q é igual a A A =, segue que: ( + ) r = O O O O O 4 Logo: Questão 5. r = + = A A 4 (a) Como sen, então sen. Como a união dos gráficos de y = e y = coincide com as retas y = e y =, temos que o gráfico de s fica limitado entre essa duas retas. O gráfico toca a reta y = nos valores de em que sen =, isto é, nos pontos = π + k π, com k Z. Analogamente, o gráfico toca a reta y = nos valores de em que sen =, isto é, nos pontos = π + k π, com k Z. (b) Temos que s é dada por: s() = { sen se sen se < Assim, s é diferenciável para e s () = sen + cos se > s () = sen cos se <. Para determinar se s é diferenciável em, devemos verificar se eiste o limite com h da epressão: s(h) s() h = h sen (h) h = { sen se > sen se <

5 Assim, ambos os limites laterais da epressão acima eistem e são iguais a. Segue que s é diferenciável em e s () =. Então s é diferenciável R: s () = { sen + cos se sen cos se < (c) Se é um ponto de máimo da função seno, temos que cos = e sen =. Segue que, nestes pontos, temos s () = ±. Portanto, estes não podem ser pontos de máimo de s. Questão 6. Como g possui reta tangente em =, podemos afirmar que g é diferenciável neste ponto. Como g( ) = e o trecho correspondente ao gráfico de f neste ponto é um segmento de reta, podemos afirmar também que f é diferenciável em g( ). Pela Regra da Cadeia, segue que f g é diferenciável em = e (f g) ( ) = f (g( )) g ( ) = f () g ( ). Além disso, g ( ) é a inclinação de b e f () é a inclinação da reta que liga os pontos (, ) e (, ). Assim: Logo, (f g) ( ) =. g ( ) = ( ) = f () = ( ) = De forma análoga, temos que g é diferenciável em =. No entanto, f não é diferenciável em g( ) =, pois no gráfico de g encontram-se neste ponto dois segmentos de reta com inclinações diferentes. Assim, não podemos determinar se f g é diferenciável em com os dados do problema. ln ln Questão 7. Em primeiro lugar, observamos que h( ) = = = h(). Isto é, h é ( ) ímpar, portanto seu gráfico é simétrico em relação à origem. Assim, basta analisá-lo para >. (a) Quando +, temos que ln( ) e (positivamente). Segue que: Como h é ímpar, então: lim h() = + lim h() = + (b) Quando +, temos que ln( ) e tendem ambos a +. Logo, podemos usar a Regra de L Hospital: lim h() = + Como h é ímpar, então: lim ln( ) = lim + + = lim + lim h() = = (c) Como lim h() = lim h() =, então h tem uma única assíntota horizontal em y =. + + h() =, então h tem uma assíntota vertical em =. Como lim h() = + e lim Como não há outros valores de para os quais h tenda a ±, então está é a única assíntota vertical de h. (d) Para >, a derivada de h é dada por: h () = ln( ) 6 = ln( ) 4

6 Logo, para >, a única raiz de h é o ponto = e. Além disso, h () > para ( ) < < e e h () < para > e. Segue que (, h( )) = e, 9 e é um ponto de máimo local de h. Como lim h() = +, este máimo não pode ser absoluto. ) Como h é ímpar, segue que (, h( )) = ( e, 9 e é um ponto de mínimo local de h, que não é mínimo absoluto. A função não admite outros pontos de máimo ou mínimo locais ou absolutos. ] ] [ [ (e) Do item anterior, temos que h é crescente em h é ímpar, temos ainda que h é crescente em (f) Para >, a derivada segunda de h é dada por:, e [ e, h () = 4 ( ln( )) 4 8 = e decrescente em e, + [ e decrescente em 4 ln( ) 7 5 ], e. Como ]. Logo, para >, a única raiz de h é o ponto = e 7. Além disso, h () < para < < e 7 e h () > para > e 7. Segue que = e 7 é um ponto de infleão de h. Como h é ímpar, segue que 4 = e 7 é outro ponto de infleão de h. ] ] (g) Do item anterior, temos que h tem concavidade voltada para baio em, e 7 e para cima [ [ em e 7, +. Como h é ímpar, temos ainda que h tem concavidade voltada para cima [ [ ] ] em e 7, e para baio em, e 7. Dos ítens anteriores, podemos concluir que o gráfico de h tem o seguinte aspecto y - -4 Questão 8. Temos que ϕ() = e que, como sen (t ) é uma função par, então: ϕ( ) = sen ( t ) dt = sen ( ( t) ) dt = sen ( ( t) ) dt Logo, ϕ é ímpar, portanto seu gráfico é simétrico em relação à origem. Assim, basta analisá-lo para >. Segue do Teorema Fundamental do Cálculo que a derivada de ϕ é dada por: ϕ () = sen ( )

7 Então, ϕ () = se e somente se = k π, com k Z, ou seja, = ± k π, com k N. Assim, para < 4 π, as raízes de ϕ são: =, = π, = π e, = π. A derivada segunda de ϕ é dada por: ϕ () = cos ( ) Logo, ϕ ( ) =, ϕ ( ) = π, ϕ ( ) = π e, ϕ ( ) = π. Segue que e são pontos de máimo local e que é um ponto de mínimo local. Logo, e são pontos de mínimo local e que é um ponto de máimo local. Como ϕ () > para < < π e para π < <, temos que ϕ é crescente em ] π, π[. Logo, = é um ponto de infleão de ϕ. Temos ainda que, ϕ () = se e somente se = π + k π, com k Z, isto é, = ± π + k π, com k N. Logo, os pontos de infleão de ϕ, para 4 π < 4 π são (além de = ): 4 = π, 5 = 5 π, 6 = 7 π O gráfico de ϕ tem portanto o seguinte aspecto. e os simétricos destes pontos Questão 9. (a) Uma seqüência de número reais ( n ) n N converge para R se: ε > n N n n < ε Geometricamente, esta definição significa que, dado uma raio ε positivo tão pequeno quanto se queira, é possível encontrar um índice n suficientemente grande a partir do qual todos os termos da seqüência distarão de menos que o raio ε dado. (b) Neste caso, não podemos afirmar que é o limite de n. Consideremos, como contra-eemplo, a seqüência: n = { /n se n é par se n é impar Seja =. Dado ε >, seja n o menor número par maior que. Então, para todo número ε par n n, temos: n = n n < ε

8 Questão. (a) Dados m, n N tais que m < n, temos: a n a m = k= m k k = k= k=m+ k > Portanto a m < a n. Segue que (a n ) é monótona crescente. A seqüencia (a n ) não pode ser limitada, pois, caso o fosse, como é monótona, seria convergente. (b) Analogamente ao item anterior, dados m, n N tais que m < n, temos: b n b m = k= k m α k = α k= k=m+ k α > Portanto b m < b n. Segue que (b n ) é monótona crescente. Para verificar que (b n ) é limitada, dado n N, tomemos p N tal que p seja a menor potência de maior que n. Então: b n = k p α k k= ( α k= = + + ) ( + α α 4 + α 5 + α 6 + ) ( ) α 7 α ( p ) ( α ( p ) α < + + ) ( + α α 4 + α 4 + α 4 + ) ( ) α 4 α ( p ) α ( p ) α < α α p ( p ) α = + + α α ( p ) α p p = ( k ) = ( ) k α α k= k= A seqüência obtida acima é uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é e a razão é r =. Como α >, então r <. Logo, esta a soma desta progressão é convergente α para = α α. Logo: α p ( ) k b n < < α n N α α k= Então (b n ) é limitada superiormente. (c) Como (b n ) é monótona crescente e limitada superiormente por, podemos concluir α α que (b n ) é convergente e que seu limite é menor ou igual a α. α