Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. 5º Teste de avaliação versão B.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos º Teste de avaliação versão B Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Um saco contém cinco cartões numerados de a. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartões e alinha-os, da esquerda para a direita pela ordem de saída, de maneira a formar um número de cinco algarismos. Qual é a probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par? (A) C A (B) C! 3! (C) A (D) 3!!. Considere a função f, de domínio IR, definida por: ( ) n Considere a sucessão de termo geral un = n Qual é o valor de ( ) n lim f u n +? ( ) ln se < f = se (A) (B) 0 (C) (D) + 3. De uma função g, de domínio IR, sabe-se que a reta de equação y = é assíntota do seu gráfico. g Das seguintes opções, indique a que corresponde a lim (A) (B) (C) (D) 0 ( )? Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

2 3 4. Para um certo valor de k, seja a função f definida por: f ( ) = k 3. No referencial o.n. Oy, da figura, está representada a função f, segunda derivada da função f. Qual dos seguintes valores pode ser o valor de k? (A) 0 (B) (C) (D) 3. A figura é constituída por um triângulo retângulo e por um quarto de círculo com m de raio. Sabe-se que: BCD = α (radianos) com π α 0,. Qual das epressões representa o perímetro da figura, em função de α? (A) 4π + + senα tgα (B) cos α + + π + senα (C) + senα + π + cos α (D) π sen α tgα Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto.. Uma máquina produz sistemas de segurança. A cada sistema de segurança produzido é-lhe atribuído um código constituído por uma sequência de cinco dígitos. Por eemplo, a um dos sistemas foi-lhe atribuído o código: 007. O computador que gere a atribuição de códigos está programado para que não haja repetição de códigos... Qual é o número máimo de códigos que é possível atribuir nas condições indicadas?.. Admita que é gerado um código de forma aleatória. Qual é a probabilidade de esse código ter os algarismos das etremidades iguais e diferentes dos restantes? Apresente o resultado em percentagem com arredondamento às centésimas. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

3 . Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por: + 3 ( ) = e g( ) = 3 f 4.. Resolva a condição g( ) > g( 4).. Mostre, por via analítica, que: f ( ) =.3. Resolva, analiticamente, a condição f ( ) = g( ) 3. Considere a função f, real de variável real, definida por: f ( ) = ln 3.. Determine, caso eistam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a ordenada é metade da abcissa. 3.. A função f tem um etremo absoluto. Determine o valor desse etremo. e 3.3. A reta de equação y = + é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determine as coordenadas desse ponto. 4. [ABCD] é um trapézio isósceles; os lados [AD] e [BC] são paralelos. Tem-se que: AB = BC = CD =. AD. π π Seja α a amplitude do ângulo ABC α, 3 e f sen sen ( ) = ( ) π π 4.. Mostre que, para qualquer α, 3, a área do trapézio é igual a f ( α ). π 4.. Determine f e interprete geometricamente o valor obtido, caraterizando o quadrilátero que se obtém para π α =. Questão total Cotação Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 0/0

4 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 0/0

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos º Teste de avaliação versão B Proposta de resolução Grupo I. (D) Um saco contém cinco cartões numerados de a. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartões e alinha-os, da esquerda para a direita pela ordem de saída, de maneira a formar um número de cinco algarismos. A probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par é 3!!. (C) Consideremos a função f, de domínio IR, definida por: ( ) ( ) ln se < f = se n Consideremos a sucessão de termo geral un = que tende para por valores menores n n que porque un = =. n n O valor de ( ) n lim f u n + + é. Trata-se de calcular lim ln( ) ln( 0 ) = = 3. (D) De uma função g, de domínio IR, sabe-se que a reta de equação y = é assíntota do seu gráfico. lim ( ) g corresponde ao declive da assíntota ou seja ( ) g lim = (C) Para um certo valor de k, seja a função f definida por: f ( ) = k 3. No referencial o.n. Oy, da figura, está representada a função f, segunda derivada da função f. Como f ( ) = 3k 6 e ( ) ser o único valor positivo. f = 6k 6 o valor de k só pode ser por Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

6 . (B) A figura é constituída por um triângulo retângulo e por um quarto de círculo com m de raio. Sabe-se que: BCD = α (radianos) com π α 0,. O perímetro da figura, em função de α é dado por cos α + + π + pois: senα a medida do arco AD é π 4 AB =, = π cosα = tgα BC = BC = BC = BC tgα senα senα cos α = senα CD = donde o perímetro da figura é CD sen α cosα cos α + Logo P = π P = + π + senα senα senα Grupo II. Uma máquina produz sistemas de segurança. A cada sistema de segurança produzido é-lhe atribuído um código constituído por uma sequência de cinco dígitos. Por eemplo, a um dos sistemas foi-lhe atribuído o código: 007. O computador que gere a atribuição de códigos está programado para que não haja repetição de códigos... O número máimo de códigos que é possível atribuir nas condições indicadas é 0 = Admitamos que é gerado um código de forma aleatória. A probabilidade de esse código ter os algarismos das etremidades iguais e diferentes dos restantes é dada, em percentagem com arredondamento às centésimas, por P = = 0,079 = 7,9% 0. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por:.. Resolvamos a condição + 3 ( ) = e g( ) = 3 f g( ) > g( 4) 3 > 3 3 > 3 < < 4 A solução é S = ],4[ Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 0/0

7 .. Mostremos, por via analítica, que: f ( ) = + f ( ) = = = =.3. Resolvamos, analiticamente, a condição f ( ) = g( ) + = = 4 = = + = = A solução é S = { } 3. Consideremos a função f, real de variável real, definida por: f ( ) = ln 3.. Determinemos, caso eistam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a ordenada é metade da abcissa. y = ou seja ln = ln = 0 ln = 0 = 0 ln = > 0 ln = = e = = e e As coordenadas do ponto são, e 4 e 3.. A função f tem um etremo absoluto. Determinemos o valor desse etremo. Comecemos por calcular a derivada da função f: f ( ) = ln + ln ln ln = + = Calculemos os zeros da derivada: f ( ) = 0 ln = 0 ln = = e = = e e Estudemos o sinal da derivada: f ( ) > 0 ln > 0 ln > > e < < e e 0 ( ) e f f ( ) ր M ց + O etremo da função é um máimo igual a f ln ln e e = = = e e e e Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 0/0

8 e 3.3. A reta de equação y = + é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determinemos as coordenadas desse ponto começando por igualar a derivada ao declive e desta reta: ln = ln = = e = e = e e e Calculemos a ordenada: f ln = = e As coordenadas do ponto de tangencia é e e P, 4. [ABCD] é um trapézio isósceles; os lados [AD] e [BC] são paralelos. Tem-se que: A D AB = BC = CD =. AD. π π Seja α a amplitude do ângulo ABC α, 3 e f sen sen ( ) = ( ) π π 4.. Mostremos que, para qualquer α, 3, a área do trapézio é igual a f ( α ). B α E C Calculemos AE base menor mede cos α Calculemos então a área = senα e BE = cos α. Então a base maior mede, a altura mede senα e a + cosα A = senα A = ( cosα) senα A = senα senα cos α A = senα senαcos α A = senα sen( α ) 4.. Determinemos π π f = sen sen π = O quadrilátero que se obtém para π como concluímos ao calcular f = π α = é um quadrado de lado pelo que a sua área é Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 0/0

9 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos º Teste de avaliação versão B Critérios de classificação Grupo I (0 pontos) Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 3 4 D C D C B Grupo II (0 pontos) Nº de casos favoráveis Nº de casos possíveis 3 Probabilidade na forma pedida > 3 Resolver a inequação 0... Concluir que = = = = Resolver a equação y = 3 ln = Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 0/0 3

10 Resolver a equação 7 Calcular a ordenada e dar as coordenadas Calcular a derivada Calcular os zeros da derivada Fazer a tabela de sinal da derivada Calcular o máimo 3.3. Igualar a derivada a 3 Resolver a equação Calcular a ordenada Apresentar as coordenadas Concluir que B = Calcular altura = senα 3 Calcular b = cos α Calcular a área 3 Utilizar a fórmula de sen( α ) Obter a epressão pedida Identificar o quadrilátero que se obtém 8 π Calcular f Concluir 7 Total 00 Professora: Rosa Canelas 0 Ano Letivo 0/0