TESTE GLOBAL 11.º ANO

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1 TESTE GLOBAL º ANO NOME: Nº: TURMA: ANO LETIVO: / AVALIAÇÃO: PROFESSOR: ENC EDUCAÇÃO: DURAÇÃO DO TESTE: 90 MINUTOS O teste é constituído por dois grupos O Grupo I é constituído por itens de escolha múltipla e o Grupo II é constituído por itens de construção GRUPO I Este grupo é constituído por itens de escolha múltipla Para cada item, seleciona a opção correta Considera, num referencial ortonormado Oyz, o plano α, definido por z 0, e a reta r,, y, z 0,0,0 k,,, k definida por Qual é a interseção da reta r com o plano? (A) É o ponto de coordenadas 0,, (C) É o conjunto vazio (B) É o ponto coordenadas 0,0,0 (D) É a reta r Adaptado de Teste Intermédio de Matemática A, º ano, 00 Na figura ao lado está representada a circunferência trigonométrica Sabe-se que: o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; o ponto B pertence ao eio O ; o ponto C tem coordenadas,0 ; o ponto D pertence à semirreta OA ; os segmentos de reta AB e CD são paralelos ao eio Oy ; Seja a amplitude do ângulo COD 0, Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados

2 Qual das epressões seguintes dá a área do quadrilátero ABCD, representado a sombreado, em função de? (A) tan sin cos (C) tan sin cos tan sin cos (B) (D) sin cos tan Banco de itens do Ensino Secundário, IAVE Seja a um número real Considera a sucessão u n definida por Qual é o terceiro termo desta sucessão? u a un un, n (A) 6a 4 (B) 9a 4 (C) 6a 4 (D) 9a 4 Banco de itens do Ensino Secundário, IAVE 4 Seja f a função, de domínio, representada graficamente no referencial da figura, e seja u uma lim f u sucessão tal que n Qual das epressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão u? n n (A) (C) n n (B) n (D) n Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados

3 5 Considera a função f, cujo gráfico está representado na figura Qual das afirmações é verdadeira? (A) lim f b a (B) lim f b a (C) lim 0 f (D) lim a f 6 Um ponto Q desloca-se na reta numérica r, de acordo com a função posição definida por p t t, com 0, 0 t, em segundos Qual é a abcissa do ponto em que se localiza Q no final do deslocamento? (A) (B) (C) 0 (D) 9 7 No referencial da figura ao lado está o gráfico da função f ' (função derivada de uma função f ) Qual das afirmações é verdadeira? (A) f 4 f (B) f 4 f (C) f 4 f 5 (D) f 4 f Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados

4 8 A reta de equação y 6 0 é assíntota oblíqua ao gráfico de uma função f, de domínio Seja g a função de domínio definida por g f O gráfico de g tem uma assíntota horizontal Qual das equações seguintes define essa assíntota? (A) y (B) y (C) y (D) y GRUPO II Este grupo é constituído por itens de construção Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias 9 Considera a função f, real de variável real, definida por gráfico de f no ponto de abcissa 4 f 5 e a reta r, tangente ao Determina as coordenadas do ponto do gráfico de f cuja respetiva reta tangente é perpendicular a r g 0 Indica o domínio de g 0 Estuda a função g quanto à eistência de assíntotas ao seu gráfico 0 Seja g a função real de variável real definida por Considera, num referencial on Oyz, a superfície esférica E, de equação y z 4 Para um certo valor de pertencente ao intervalo 0,, o ponto P, de coordenadas tan, sin, cos, pertence à superfície esférica E Determina os valores numéricos das coordenadas do ponto P Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 4

5 Um livro vai ser impresso em folhas retangulares A zona de impressão ocupa 40 cm de área, na parte central de cada folha São deiadas margens como se mostra na figura seguinte Seja o comprimento da folha e y a altura, ambos em centímetros Mostra que a área total de uma folha, é dada, em cm, em função de, por: A 8 4 Justifica que o domínio da função A, atendendo ao conteto do problema, é o intervalo, Determina as dimensões eatas de cada folha, para que a sua área seja de 60 cm 4 Calcula o comprimento da folha () de modo que a sua área total seja a menor possível Apresenta o valor em centímetros, arredondado às décimas Calcula, caso eistam: 4 lim 4 lim Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 5

6 4 Considera, em referencial ortonormado Oyz, o ponto P 0,4, 4 Seja o plano que contém o ponto P e é perpendicular à reta de equação vetorial, y, z 0,, k,0,, k Determina a área da figura que resulta da interseção do plano com a esfera definida pela condição y z Sugestão: 4 determina uma equação do plano ; mostra que o centro da esfera pertence ao plano ; atendendo ao ponto anterior, determina a área da interseção resultante 4 Admite que um ponto Q se desloca ao longo do semieio positivo Oz, nunca coincidindo com a origem O do referencial Seja f a função que faz corresponder à cota z do ponto Q o perímetro do triângulo OPQ f z z 5 z 6z 5 a Mostra que b Determina a cota do ponto Q de modo que o perímetro do triângulo OPQ seja igual a 6 c Mostra que f é uma função estritamente crescente e interpreta esse facto no conteto da situação Adaptado de Teste Intermédio de Matemática A, º ano, 007 FIM Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 6

7 RESOLUÇÕES GRUPO I Um vetor normal ao plano é n,0, ; um vetor diretor da reta r é,, r ; n r 0 0; logo, o vetor normal ao plano é perpendicular ao vetor diretor da reta, pelo que a reta é paralela ao plano ou está contida no plano; portanto, a interseção é o conjunto vazio ou a reta r Substituindo as coordenadas de um ponto da reta, por eemplo, 0,0,0, na equação do plano, obtém-se uma proposição verdadeira Logo, a reta está contida no plano Opção correta: (D) A A ABCD OCD A OBA OB cos ; BA sin ; OC ; CD tan Portanto: A ABCD tan sin cos tan sin cos Opção correta: (B) u a ; u u a Opção correta: (B) u u a 9a 4 ; 4 lim f u lim f a ; portanto, n a u n, tendo-se n Opção correta: (C) 5 lim f b é falso, porque lim a a f b b ; lim f a b é falso, porque lim a f b b ; Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 7

8 lim 0 f é verdadeiro; lim a f é falso, porque Opção correta: (C) lim e porque a f b lim a f b 6 p0 0 9 Opção correta: (D) 7 Da análise do gráfico da derivada de f, conclui-se que f é estritamente crescente em 0,6, uma vez que, nesse intervalo, f 0 Opção correta: (D) 8 y 6 0 y 6 y, portanto, lim f lim g lim lim ; logo, y é equação da assíntota horizontal ao f f f lim gráfico de g Opção correta: (C) Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 8

9 GRUPO II 9 Determinemos a epressão da derivada da função f : f 5 f 4 é o valor é o declive da reta r no ponto de abcissa 4 : m f de uma reta perpendicular a r é r 4 85 Assim, o declive Determinemos agora as coordenadas do ponto do gráfico de f cuja reta tangente tem declive : 4 7 f ; 6 f Coordenadas pedidas: 7 8, 9 0 D : 0 \, g 0 Como a função é contínua em \,, caso eistam assíntotas verticais, terão equações ou Confirmemos: lim g lim e lim g lim, o que confirma que 0 0 é a equação de uma assíntota vertical (bilateral) lim g lim e lim g lim 0 0 equação de uma assíntota vertical (bilateral) Quanto a assíntotas não verticais:, o que confirma que é a lim g lim lim 0 ; portanto, a reta de equação y 0 é a assíntota horizontal ao gráfico de g quando e quando, pelo que o gráfico não admite mais assíntotas Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 9

10 Se o ponto Ptan,sin, cos pertence à superfície esférica, as respetivas coordenadas devem satisfazer a equação da superfície esférica Portanto: tan sin cos 4 tan sin cos 4 tan 4 tan tan ; ora, como 0, arctan Assim, sin e, então tan 0 e, portanto, tan e 5 cos Concluindo, tem-se P 5,, A y Para escrevermos a área da folha em função de, temos de escrever em função de y, o que podemos fazer a partir da área da zona de impressão: y 4 40 y 4 y 4 (para ) Então, A y 4 4 As dimensões da zona de impressão são dadas por e y 4 ; por isso, tem de ser 0 e Ou seja,, D A y Se 5, y 4 4 ; se 8, 5 5 cm por 4 cm ou 8 cm por 0 cm 40 y 4 0 ; então, as dimensões eatas são 8 Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados 0

11 4 Vamos calcular o minimizante da função: f ND 0 + Monotonia e etremos de f ND Mín Conclui-se que 6 5 6, 4 4 muda de sinal em ; por isso, vamos calcular os limites laterais: lim lim lim lim ; lim lim lim lim ; Como os limites laterais são diferentes, concluímos que não eiste lim 4 0 lim lim lim 0 Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados

12 4 Como o plano é perpendicular à reta, um vetor diretor da reta é um vetor normal do plano; por eemplo, o vetor de coordenadas,0, ; assim, sabendo-se que o plano contém o ponto P 0,4,, obtêm-se uma equação do plano: z 0 z 6 O centro da esfera tem coordenadas,,4 ; substituindo na equação do plano obtém-se , o que mostra que o centro da esfera pertence ao plano Como o centro da esfera pertence ao plano, a região resultante da interseção do plano e da esfera é um círculo com o raio da esfera ; portanto, a área pedida é 4 a OQ z ; PQ 4 z 6 z z 6z 5 OP ; f z z 5 z 6z 5 Então, f b z 6 z 5 z 6z 5 6 z 6z 5 z z 6z 5 z z z z z z z Verificando, obtém-se f 6 6, pelo que a cota do ponto Q é 6 z6 z c f z z z z z 6z 5 z 6z 5 z z f z 0 0 z z 6z 5 z 6z 5 z 6z 5 0 z z z z Portanto, f não tem zeros Assim, como é contínua em negativa; verifica-se que é sempre positiva, calculando z é sempre positiva ou sempre f para qualquer z, donde se conclui que f é estritamente crescente No conteto do problema, isto significa que quanto maior é a cota do ponto Q maior é o perímetro do triângulo OPQ FIM Raiz Editora, 07 Todos os direitos reservados