Proposta de teste de avaliação

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1 Matemática A 0. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.. Considere, num referencial o.n. Oz, os planos e definidos pelas equações e. Qual das seguintes superfícies esféricas, definidas pelas respetivas equações, é tangente aos planos e? (A) z (B) z (C) z (D) z. Considere, fiado um referencial o.n. Oz, o cubo ABCDEFGH, ilustrado na figura ao lado, tal que: E F G o ponto A tem coordenadas,, 0; o vetor BG tem coordenadas,, 3. Em qual das opções seguintes estão representadas as coordenadas A D B C do ponto H (não visível na figura)? (A),, 3 (B) 3, 3, 3 (C) 3, 3, 3 (D) 0, 0, 3 3. Considere a reta r definida pela equação 3. Qual das opções seguintes define a equação vetorial de uma reta estritamente paralela à reta r? (A), 0, 3k,, kr (B) (C), 0, 3k,, kr (D), 0, 0 k 6, 3, kr,, k,, kr

3 4. Seja f a função cujo gráfico está representado na figura ao lado. Seja h a função definida por h f. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função h? O (A) (B) O O (C) (D) O O 5. Para cada valor real de k, a epressão 4 P k 3 é um polinómio do quarto grau. Para que o polinómio seja divisível por 6, qual deverá ser o valor de k? (A) 3 (B) 8 (C) (D)

4 Grupo II Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. 6. Considere o polinómio 4 3 P Mostre que é uma raiz dupla do polinómio. 6.. Determine a e b, com, 6.3. Resolva a inequação P 0. a b R, de modo que P a b Apresente o resultado na forma de intervalo ou união de intervalos.. 7. Na figura está representada, em referencial o.n. O, uma circunferência de centro C, e raio 5. B D O C A Sabe-se que: os pontos A, B e D pertencem à circunferência; os pontos A e B têm coordenadas 5, e, 6, respetivamente; o ponto D pertence ao terceiro quadrante e é um dos pontos de interseção da reta 7.. Mostre que: OC com a circunferência. a) AB é um diâmetro da circunferência; b) a reta CD é a bissetriz dos quadrantes ímpares. 7.. Determine as coordenadas do ponto D Defina por uma condição a parte a sombreado da figura, incluindo a fronteira. 4

5 8. Considere, num referencial o.n. O, uma esfera S tangente às faces de um cubo ABCODEFG. z G F D E Sabe-se que: as arestas do cubo OA, OC e OG estão contidas nos semieios positivos O, O e Oz, respetivamente; o ponto E tem coordenadas 4, 4, 4 ; z 4 z 0. a esfera S pode ser definida pela inequação 8.. Defina, através de uma condição, a aresta EF. 8.. Defina por uma condição o plano mediador de EG Mostre que os vetores AF e u,, são colineares Mostre que a esfera S tem centro no ponto de coordenadas,, e raio igual a Identifique o lugar geométrico dos pontos definidos pela interseção do plano de equação z com a esfera S. A O B C 9. Considere o gráfico cartesiano da função f, de domínio 5, Indique:, representado num referencial cartesiano O. 6 3 f a) o contradomínio de f ; b) o intervalo de maior amplitude onde f é 5 O 8 crescente em sentido lato; 3 c) o conjunto dos minorantes de f ; 4 d) os máimos relativos de f e os respetivos maimizantes. 9.. Determine os zeros de f Determine o domínio da função h definida por h f. 5

6 0. Na figura está representado, num referencial o.n. O, o gráfico cartesiano da função f, f 3. 9 de domínio R, definida por f O C A 0 B Sabe-se que: os pontos A e B são pontos de interseção do gráfico de f com a reta de equação 0; os pontos O e C são pontos da interseção do gráfico de f com o eio O. 0.. Determine o contradomínio de f. 0.. Mostre que 0 e 6 são zeros de f Calcule a área do trapézio ABCO Resolva a inequação f g, sendo g 0. 9 FIM COTAÇÕES Grupo I Total Grupo II a) 7..b) a) 9..b) 9..c) 9..d) Total

7 . Centro da superfície esférica: C, 0, Raio da superfície esférica: r Proposta de resolução Grupo I Os planos tangentes à superfície esférica e paralelos aos planos coordenados são os planos de equações: e 0 0 e 0 z 3 e z Resposta: (C) H ABG,, 0,, 3,, 3. Resposta: (A) 3. Reta de equação: Vetor diretor: 6, 3 Declive:, 0, 0 k 6, 3, k R 3 (igual ao da reta r) 6 As retas têm o mesmo declive, logo são paralelas. Como o ponto 0, 0 não pertence à reta r então as retas são estritamente paralelas. Resposta: (B) 4. O gráfico de h é a imagem do gráfico de f pela translação de vetor u, 0 translação de vetor v0,. Resposta: (C) 5. Aplicando o teorema do resto: 4 k P Resposta: (D) 89k k k k 9 3 seguida da GRUPO II 6.. é uma raiz dupla do polinómio (ou raiz de multiplicidade ) se e só se é o maior número natural para o qual eiste um polinómio Q tal que Por aplicação da Regra de Ruffini: P Q. Assim, P 4 4 uma raiz dupla de P. e, consequentemente, é 7

8 6.. Recorrendo à alínea anterior tem-se que: P, ou seja, a e b ou a e b P Resposta:,, a) M, AB b) ou seja M, Sabe-se que A e B pertencem à circunferência e, um diâmetro da circunferência. m CD 0 e 0, 0 pertence à reta CD. 0 AB C é o ponto médio de Então, a reta CD tem equação: (bissetriz dos quadrantes ímpares). 7.. O ponto D é o ponto de interseção da reta CD com a circunferência de centro, e raio AB. Assim AB é Como D pertence ao terceiro quadrante: 5 5 D, 7.3. Reta BC : 6 4 m 3 4 b b b b Equação da reta BC: Condição: 8

9 8.. 4z Seja,, P z um ponto pertencente ao plano mediador de EG PE PG z z Por eemplo, AF F A 0, 4, 4 4, 0, 0 4, 4, 4 Como 4, 4, 4 8,,, ou seja, se AF 8u, então AF e u são colineares z z 4 0 z 4 4 4z 8 0 z z 4 Assim, o centro tem coordenadas,, e o raio é A interseção da esfera S com o plano z, pode ser definida por: z z 4 z 4 z 4 z 3 Trata-se do círculo de centro,, e raio 3 contido no plano de equação z. 9.. a) D 4 3, 6 b) 5, c), 4 f d) Máimos relativos: 3 Maimizantes: todos os pontos pertencentes a, 9

10 9.. Por observação do gráfico cartesiano, um dos zeros é Para determinar o outro zero recorre-se à equação reduzida da reta que passa nos pontos 3 5 m b b 3 5 b A reta de equação 5 7 interseta o eio O no ponto de abcissa dada por Assim, os zeros da função são 5 Dh 5, 8, D, f e 4. 5 f f Assim, 0 e 6 são zeros de f. 5, e, Altura do trapézio: 0 ; Base menor do trapézio: OC 6 ; Para determinar A e B resolve-se a condição: Base maior do trapézio: AB A e 3 3 6, 0 Assim, 3 3 6, 0 B. AB A Trapézio f g Então, 0 f g. Assim,, 0,. 0