Novo Espaço Matemática A, 10.º ano Proposta de teste de avaliação [janeiro 2019]

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1 Proposta de teste de avaliação [janeiro 09] Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.. Em qual dos seguintes referenciais o.n. pode estar representada a circunferência de equação x y x y 6 9 0? (A) (B) (C) (D). No referencial da figura estão representadas duas retas, r e s, os pontos A 0, e B k, m, k, m, e a circunferência centrada na origem e que passa por A. Sabe-se que: as retas r e s são paralelas; a equação reduzida da reta s é a reta r passa pelo ponto A. y x ;.. Os valores de k e m para os quais B é o ponto de interseção da reta s com o eixo das abcissas são: (A) (C) k e m (B) k e m 0 (D) 9 k e 9 m k e m Representa, através de uma condição, o conjunto dos pontos da região sombreada da figura.

2 Proposta de teste de avaliação [janeiro 09]. Em relação a um referencial o.n. O, i, j, considera a reta r definida pela seguinte equação vetorial: x, y,, k, k A equação reduzida da reta r é: 6 (A) y 6x (B) y x (C) y 6x 8 (D) y x. Dado um referencial o.n., considera os pontos A, 8, P m, 8 9m, m, e o vetor, u., B,, C e.. Determina as coordenadas do vetor v, colinear com u, de sentido oposto e com norma 8... Determina o valor de m de modo que AP BC... A reta AC pode ser representada através de uma das seguintes equações vetoriais. Identifica-a. (A) x, y, k,, k (B),, 8, x y k, k (C) x, y, k, 8, k (D),,, x y k, k. Na figura, em referencial o.n. Oxy, estão representados os pontos A,, B,, a circunferência de diâmetro [AB] e centro C e as retas r e s. Sabe-se que: a reta r é a mediatriz de [AB] ; os pontos D e E são os pontos de interseção de r com cada um dos eixos coordenados... Representa, através de uma condição, a reta s, sabendo que passa por C e é paralela ao eixo das abcissas... Determina as coordenadas dos pontos D e E... Representa a reta AB através da equação reduzida.

3 Proposta de teste de avaliação [janeiro 09] 6. Considera a pirâmide quadrangular regular [OABCV] representada na figura, à qual foi aplicado um referencial o.n. Oxyz. Os pontos A e C pertencem, respetivamente, aos eixos Ox e Oy, tal como a figura sugere. Sabe-se que os pontos A e V têm de coordenadas, 0, 0 e,, 8, respetivamente. 6.. Qual das seguintes expressões representa a medida do perímetro do triângulo [ABV]? (A) 0 (B) (C) (D) Seja M o ponto médio de [BV]. Uma equação do plano paralelo ao plano coordenado xoz e que passa por M é: (A) y (B) x (C) z (D) y 6.. Determina o ponto de interseção da reta AV com o plano coordenado yoz. 6.. Determina uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta [AV] e identifica o ponto onde interseta o eixo das cotas.. Considera o paralelogramo [ABCD] representado no referencial o.n. O, i, j da figura. Sabe-se que as coordenadas dos pontos A, B e C são, respetivamente, Determina as coordenadas:.. do ponto D ;,,,., e.. do ponto E, sabendo que é o ponto de interseção da reta CD com o eixo das ordenadas. FIM Cotações Questões Total Pontos

4 Proposta de resolução [janeiro 09]. x y x y x x y y x y x y é a equação da circunferência de centro, e raio. Opção correta (B)... O ponto B é a interseção da reta s com o eixo Ox. 0 x x x 9 Assim, B,0, pelo que: 9 k k 9 9 m 0 m Opção correta.. Equação da circunferência: (B) x y Equação da reta s: y x Equação da reta r: y x Região sombreada: x y y x y x x y y x y x. Declive da reta r : m 6 Então, a equação reduzida da reta é do tipo y 6x b. Atendendo a que, é um ponto pertencente à reta, então: 6 b 0 b b 8 Equação reduzida da reta: y 6x 8 Opção correta (C) y 6x 8

5 Proposta de resolução [janeiro 09]... v ku, k v 8 k u 8 k k k k Como k 0, conclui-se que Então, 8 k. 8 v,,. v,.. AP P A m, 8 9m 8 m, 9m BC C B, m m m AP BC m 9m m m m 9 m.. AC C A, Declive da reta AC : As opções (A) e (D) são as únicas com declive Equação da reta AC : y x b. Como a reta AC passa no ponto C, então y x. O ponto (, ) pertence à reta b b, pelo que y x e o ponto (, ) não pertence. x, y, k,, k Opção correta (A)

6 Proposta de resolução [janeiro 09]... C é o ponto médio de [AB]. C,, Equação da reta s : y.. Seja o ponto P x, y. y AP BP x y x y x 6x 9 y 0y x x y y 6y 8x 9 9 y x é a equação reduzida da reta r. 6 Coordenadas do ponto D : Se y 0, tem-se x x x D 9,0 8 Coordenadas do ponto E : 9 D,0 e 8.. AB B A, E 0, E 0, Declive da reta AB : Uma equação da reta AB é do tipo y x b e passa pelo ponto A. b b y x

7 Proposta de resolução [janeiro 09] y x A, 0, 0 e V,, 8 OA AB VA AB BV VA 6 6 Opção correta (B),, 0 V,, B e 0 8 M. Então,,,,, Opção correta (A) y 6.. Uma equação vetorial da reta AV: x, y, z,0,0 k,,8, k x, y, z A k AV, k O ponto de interseção da reta AV com o plano yoz é o ponto da reta AV de coordenadas 0, yz,. 0, y, z,0,0 k,,8, k k 0 k Daqui resulta: k 0 y y 8k 0 z z 6 O ponto pedido tem coordenadas 0,, Seja,, P x y z e PA PV. x y 0 z 0 x y z 8 x 8x 6 y z x x y y z 6z 6 8x x y 6z x y 6z 6 0 x y z 0 Equação do plano mediador de [AV]: x y z 0 A interseção do plano com o eixo Oz é um ponto do tipo 0,0, z. 0 0 z z, logo as coordenadas do ponto de interseção são 0, 0,.

8 Proposta de resolução [janeiro 09] 0, 0,... D A BC,,,, D,.. O declive da reta CD é igual ao declive da reta AB. AB B A, Declive da reta AB : Equação reduzida da reta CD : C, é um ponto da reta. y x b b b O ponto E tem coordenadas 0, 0,.