Teste de avaliação (Versão B) Grupo I

Transcrição

1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação (Versão B) Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta não respondida, anulada ou com resposta errada vale 0 (zero) pontos.. A secção produzida pelo plano que passa nos pontos M, N e G (M e N são pontos médios das arestas a que pertencem) é (A) Um triângulo equilátero (B) Um paralelogramo (C) Um trapézio (D) Um triângulo rectângulo. 2. De um triângulo equilátero sabemos que o lado mede 4. Podemos afirmar que a sua área mede: (A) 6 (B) 4 3 (C) 3 (D) Num referencial o.n. ( O, x, y ) a recta vertical que passa no ponto de coordenadas ( 2, 3) tem equação: (A) x = 3 (B) y = 2 (C) x = 2 (D) y = 3 4. Considere, num referencial o.n. Oxyz: a esfera E definida pela condição ( ) ( ) ( ) - a recta r de equação ( x, y,z) = (,2,3 ) + k ( 2,0, ),k x + y 2 + z 3 36 PROFESSORA: Rosa Canelas

2 A intersecção da recta r com a esfera E é um segmento de recta. O comprimento desse segmento de recta é: (A) 8 (C) 2 (B) 0 (D) Supondo que XY = PQ. Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira (A) XY PQ (B) XQ = PY (C) XQ PY (D) [ XYQP ] é um paralelogramo Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. O gráfico da figura representa a variação da temperatura num determinado local ao longo de um período de 48 horas... Que variáveis estão relacionadas através deste gráfico? Qual é a variável independente e qual é a variável dependente?.2. Justifique que a relação entre as variáveis representada pelo gráfico é uma função..3. Indique o domínio e o contradomínio da função..4. Qual foi a temperatura máxima em cada dia e a que horas se fez sentir essa temperatura em cada dia?.5. Construa uma tabela de monotonia e extremos desta função..6. A que horas foi nula a temperatura em cada dia?.7. Construa uma tabela de variação de sinal da função. PROFESSORA: Rosa Canelas 2

3 2. Considere o referencial xoy da figura. Nele, a circunferência de centro C é tangente ao eixo dos xx no ponto de abcissa x =. Os pontos A de coordenadas (2, 0) e C de coordenadas (, -3) pertencem à recta t Indique uma equação cartesiana que sirva para definir o y t eixo Ox Escreva uma equação vectorial que sirva para definir o eixo Oy Mostre que a equação reduzida da recta t é y = 3x A 5 x 2.4. Represente analiticamente o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira C(,-3) 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice V da pirâmide pertence ao semi-eixo positivo Oz. A base da pirâmide está contida no plano xoy. A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas ( 2,2,0 ) 3.. Indique as coordenadas dos pontos P, R e S Sabendo que na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual a 32, mostre que o vértice V tem coordenadas ( 0,0,6 ) Volume da pirâmide = Área da base Altura Escreva uma equação vectorial da recta VQ e justifique que a intersecção de [QV] com o plano de equação z = 3 é o ponto M,,3 ( ) Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano de equação z = 3 PROFESSORA: Rosa Canelas 3

4 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas 4

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação proposta de resolução (Versão B) Grupo I. (C) A secção produzida pelo plano que passa nos pontos M, N e G (M e N são pontos médios das arestas a que pertencem) é o trapézio isósceles [MNGD]. A E M B N F 2. (B) De um triângulo equilátero sabemos que o lado mede 4. Podemos afirmar que a sua área mede 4 3, porque da figura D H C G resulta por aplicação do Teorema de Pitágoras que h + 2 = 4 h = 2 h= 2 3 e por aplicação da fórmula que dá a área de um triângulo resulta que h A = A = (C) Num referencial o.n. ( O,x,y ) a recta vertical que passa no ponto de coordenadas ( 2, 3) tem equação x = 2 porque se a recta é vertical todos os pontos têm a mesma abcissa. 4. (C) Considere, num referencial o.n. Oxyz: a esfera E definida pela condição ( x ) + ( y 2) + ( z 3) 36 - a recta r de equação ( x, y,z) = (,2,3 ) + k ( 2,0, ),k A intersecção da recta r com a esfera E é um segmento de recta. O comprimento desse segmento de recta é 2 porque a recta passa no centro da esfera intersectando-a segundo um segmento de comprimento igual ao diâmetro da esfera, que tendo raio 6 tem diâmetro 2. Y 5. (D) Supondo que XY = PQ. A afirmação que é necessariamente verdadeira é [ XYQP ] é um paralelogramo. X Q P PROFESSORA: Rosa Canelas 5

6 Grupo II. O gráfico da figura representa a variação da temperatura num determinado local ao longo de um período de 48 horas... As variáveis relacionadas são o tempo e a temperatura, sendo a primeira a independente e a segunda a dependente..2. A relação entre as variáveis representada pelo gráfico é uma função porque a cada valor do tempo corresponde um e um só valor para a temperatura..3. O domínio desta função é o conjunto D = [0,48]. O contradomínio é o conjunto D' = [ 2,6]..4. A temperatura máxima no primeiro dia é 5ºC atingida às 4 horas e no segundo dia é 6ºC atingida às 6 h do segundo dia..5. Construa uma tabela de monotonia e extremos desta função. t (h) temp (ºC) M m M m M m.6. A temperatura foi nula às 2 h às 6 h e às 24 h do º dia e às 6 h e às 24h do segundo dia..7. Uma tabela de variação de sinal da função é: t (h) temp (ºC) Consideremos o referencial xoy da figura. Nele, a circunferência de centro C é tangente ao eixo dos xx no ponto de abcissa x =. Os pontos A de coordenadas (2, 4 2 y t 0) e C de coordenadas (, -3) pertencem à recta t. 2 A 2.. Uma equação cartesiana que sirva para definir o eixo 5 x Ox é y = Uma equação vectorial que sirva para definir o eixo Oy é ( x, y) = ( 0,0 ) + k ( 0, ), k -2-4 C(,-3) -6 PROFESSORA: Rosa Canelas 6

7 2.3. Mostremos que a equação reduzida da recta t é y = 3x 6. a recta t passa nos pontos A(2,0) e C(,-3) Dos dois pontos podemos definir o vector AC de coordenadas AC = C A =, 3 2, 0 =, 3 ( ) ( ) ( ) 3 e concluir que o declive é m= = 3. Substituindo na equação y = 3x + b as coordenadas x e y pela abcissa e pela ordenada de um dos pontos da recta podemos concluir que 0 = b b = 6. Finalmente como já sabemos o declive e a ordenada na origem podemos escrever a equação da recta y = 3x 6 como queríamos demonstrar Representemos analiticamente o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira. Observando a figura verificamos que o conjunto de pontos que temos de representar analiticamente é constituído por duas regiões Comecemos por identificar as fronteiras duma o Eixo Ox com equação y = 0 o Recta t com equação y = 3x 6 Esta região situada acima do eixo Ox e abaixo da recta t representa-se por y 0 y 3x 6 Identifiquemos as fronteiras da outra região o Eixo Oy com equação x = x + y+ 3 = 9 o Circunferência com centro em C e raio 3 com equação ( ) ( ) Esta região situada à esquerda do eixo Oy e dentro da circunferência de centro C e raio representa-se por ( ) ( ) x 0 x + y+ 3 9.O conjunto de pontos que queremos definir composto pelas duas regiões representa-se pela condição: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) y 0 y 3x 6 x 0 x + y Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice V da pirâmide pertence ao semi-eixo positivo Oz. A base da pirâmide está contida no plano xoy. A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas ( 2,2,0 ) PROFESSORA: Rosa Canelas 7

8 3.. As coordenadas dos pontos P, R e S são P( 2, 2,0), R( 2,2,0) e S( 2, 2,0) 3.2. Sabendo que na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual a 32, mostremos que o vértice V tem coordenadas ( 0,0,6 ) Volume da pirâmide = Área da base Altura 3 A base da pirâmide é quadrada e tem lado 4, logo a sua área é 6. Sabendo nós o volume e a área da base podemos determinar a altura que é a cota do 32 3 vértice V. 32 = 6 a a = a = Se a altura da pirâmide é 6 as coordenadas de V são ( 0,0,6 ) como queríamos demonstrar Para escrevermos uma equação vectorial da recta VQ começamos por calcular as VQ = Q V = 2,2,0 0,0,6 = 2,2, 6 e podemos então coordenadas do vector ( ) ( ) ( ) escrever uma equação vectorial da recta VQ: ( x, y,z) = ( 0,0,6 ) + k ( 2,2, 6 ), k. Para justificarmos que a intersecção de [QV] com o plano de equação z = 3 é o ponto M(,,3 ). Vamos determinar o ponto da recta VQ de cota 3. x = 2k x = 2k x = x, y,3 = 0,0,6 + k 2,2, 6 x, y,3 = 2k,2k,6 6k y = 2k y = 2k y = 3 6 6k = k = k = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Concluímos assim que o ponto de intersecção com o plano de equação z = 3 é o ponto M,,3 ( ) Determinemos a área da secção produzida na pirâmide pelo plano de equação z = 3. Ora a secção é um quadrado com um vértice em M pelo que o lado do quadrado que é a secção mede 2 e a sua área é 4. PROFESSORA: Rosa Canelas 8