FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 1

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Emanuel Aragão Branco
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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 4.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/03/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /6 Versão

Temos (B) v, (A) v, v, (D) v 4, (C) moa Assim, qualquer vetor com a direção de OA é da forma k temos v, Para ; Para k temos v k,m k,, k 0. v,. opção A (0).

2 . No referencial ortonormado Oxy da figura do lado Ad 7p37 está representado um trapézio retângulo de bases [OA] e [CB]. Sabe-se ainda que: o ponto B tem coordenadas 44, ; a reta OA tem equação reduzida y x. (0).. Indique, justificando, qual dos seguintes é um vetor diretor da reta OA. Temos (B) v, (A) v, v, (D) v 4, (C) moa Assim, qualquer vetor com a direção de OA é da forma k temos v, Para ; Para k temos v k,m k,, k 0. v,. opção A (0).. Diga, justificando, qual das equações seguintes não representa a reta CB. (A) 4 x y 4 (B) x,y 4, 4 k,, k (C) y x (D) x y 4 0 Como [OA] e [BC] são as bases do trapézio, sabemos que as retas OA e CB são paralelas. v, v,. é um vetor diretor de CB, tal como Assim, Portanto, uma equação vetorial de CB é 4 4 x,y, k,, k opção B x4 y4 Uma equação cartesiana de CB é 4 x 4 y opção A não representa CB Uma equação geral da reta CB é 4 x 8 y x y 4 0 opção D A equação reduzida da reta CB é yx 4 y x opção C ().3. Sabendo que OA, determine as coordenadas do ponto A. Como OA tem equação y x, qualquer ponto desta reta tem coordenadas da forma x, x. Assim, OA A O A x, x OA x x x 4 4 x x x x x 444 x x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /6 Versão

3 4 4 Como xa 0, temos x e y 4 Portanto, o ponto A tem coordenadas,. ().4. Justifique que existe um número real k tal que OA kbc e determine o valor de k. k : OA kbc é uma proposição verdadeira, pois os vetores OA e BC são colineares visto que são definidos pelas bases do trapézio. 4 Temos OA A O, e BC C B 0, 4, 4 4, Portanto, OA k BC 4 4, k, 4 4, k, k k k k k k k, Logo 4 Ou, OA k BC 4 6 k k k 0 Só interessa a solução negativa porque os vetores têm o mesmo sentido. 6 k. Considere, num referencial Oxyz, a superfície esférica de centro no ponto C,, 3 que passa na origem do referencial. (0).. Escreva a equação reduzida da superfície esférica. Como a superfície esférica passa na origem o seu raio é r Assim, CO. r A equação da superfície é ou seja, x y z x y z 3 4, 3 4 e ().. Determine os valores de a para os quais a interseção da superfície esférica com o plano de equação x a é uma circunferência de raio. Ad 7p79 CA Descubramos a equação de tal circunferência: 3 4 a y z 3 4 x a a r, temos 4 a Como 4 a x y z x a y z a x a a 9 a 9 a 3 a 4 a Portanto, há dois valores para a, a 4 e a. ().3. Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica e paralelos ao plano xoz. O plano xoz tem equação y 0. Assim, qualquer plano paralelo a este tem equação da forma y b. Portanto, os planos paralelos a xoz e tangentes à superfície são do tipo Como a superfície esférica tem centro C,, 3 são y 4 e y 4. y yc r. e raio r 4, as equações de tais planos Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 3/6 Versão

4 (0).4. O plano coordenado yoz é o plano mediador de [CD]. Diga, justificando, quais são as coordenadas do ponto D. (A) (C),, 3 (B),, 3,, 3 (D),, 3 O plano yoz tem equação x 0. Assim, M 0,, 3 é o ponto médio do segmento [CD], pelo que 3 simétrico de C,, 3 D,,, uma vez que é em relação ao plano yoz. opção B 3. No referencial ortonormado Oxyz da figura do lado está representado o cubo ABCDEFGH. Sabe-se que: a face [ABCD] está contida no plano xoy e a origem do referencial é o centro desta face; os vértices A, B, C e D pertencem aos eixos coordenados; o ponto I está no eixo Oz e na face [EFGH]; o cubo tem 6 unidades cúbicas de volume. () 3.. Mostre que AB e indique as coordenadas dos vértices A, B, C e D. Como V cubo 6 temos 3 a 6, sendo a AB = aresta do cubo Portanto, a 3 6 = 3 4 = 3 3 = = = Como [OAB] é um triângulo retângulo isósceles, temos x x x 4 x 4 x Assim, as coordenadas dos vértices A e B são A 00,, e 0 0 B,,. (0) 3.. Diga, justificando, qual é a equação do plano EFG. (A) z (B) z (C) x y (D) y Como a aresta do cubo tem unidades e a face [ABCD] está no plano xoy, então a face [EFGH] está no plano z, pois é paralelo ao plano z 0 Opção B Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/6 Versão

5 () 3.3. Identifique o conjunto dos pontos do espaço definidos por cada uma das condições: (A) x y 0 reta CG, paralela a Oz. (B) x y z 4 esfera de centro 0 0 I,, e raio (C) x,y,z 0,, 0 k 0, 0,, k 0 semirreta BF, com origem em 0 0 B,,. (0) 3.4. Escreva o sistema de equações paramétricas da reta que passa em I e é paralela ao eixo Oy. Qualquer vetor paralelo ao eixo Oy tem coordenadas do tipo y k 0,, 0, k \ 0 Assim, sendo 0 0 I,, e v 0,, 0 x00k x 0 y 0 k,k y k,k z 0k z. o sistema de equações paramétricas da reta pedida é 4. Na figura seguinte está representada uma pirâmide quadrangular regular [ABCDE]. () 4.. Sendo P e Q os pontos médios das arestas [AE] e [BE], respetivamente, utilizando cálculo vetorial, prove que as retas AB e PQ são paralelas. Usando vetores, as retas AB e PQ são paralelas se e só se os vetores AB e PQ são colineares, isto é, se k : AB kpq. Temos AB AE EB e PQ PE EQ Mas AE AP PE PE PE PE tal como EB EQ Assim, AB AE EB PE EQ PE EQ PQ Portanto, AB PQ, ou seja, AB e PQ são colineares, logo as retas AB e PQ são paralelas. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /6 Versão

6 Suponha agora que fixado um referencial ortonormado Oxyz, tem-se:, BC 400,, e BA 0, 0, 4 B 3,,. Ad 6 e 7 p34 p3 (0) 4.. Determine uma equação vetorial da reta BD. Já temos um ponto da reta, B 3,, Um vetor diretor de BD é BD. Pela regra do paralelogramo, temos BD BA BC. Precisamos de um vetor diretor. = 0, 0, 4 4, 0, 0 = 4, 0, 4 Assim, uma equação vetorial de BD é x,y,z,, k,,, k (0) 4.3. A reta BE interseta o plano xoy no ponto E. Sendo 3 3 x,y,z,, k,,, k, uma equação vetorial de BE, indique, justificando, quais são as coordenadas do ponto E. (A) 00 (C) 0,, (B),,,, (D) 0,, 8 O plano xoy tem equação z 0. Assim, as coordenadas de E são da forma a,b, 0. Como E a,b, 0 é um ponto da reta de equação 3 3 substituindo vem a,b, 0 3,, k, 3, a,b, 0 3 k, 3k, k a 3k a 3 b 3k b 3 0 k k E,, 0 Opção C Portanto, () 4.4. Calcule o volume da pirâmide. Temos Volume pirâmide Ab h. 3 Ab Área quadrado ABCD BA. Em que a b k h EF, sendo F o centro da base, ponto médio de [BD]. BA Assim, x,y,z,, k,,, k, F B BD,,,,,,,,,, EF Portanto, Volume ABCDE u.v. 3 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/6 Versão

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