Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Considere os seguintes conjuntos de números reais. 1 x x + 1 = R : 1 A x e B = { x R : x x} Indique qual dos conjuntos representa o conjunto A B. (A) [ 1, 0] [, + [ (B) ] 1, 0[ ], + [ (C) ], 1[ ] 0, [ (D) ], 1] [ 0, ] ( ab. Dados a e b, números reais positivos, pode-se concluir que )1 b a é: (A) 6 ab (B) 6 a b (C) ab (D) a b. Considere a elipse E cuja equação cartesiana é x y + = 1 e as proposições: 5 4 p : A elipse E interseta a reta r de equação ( x, y) = ( 5, ) + k ( 0, 1 ), k R, num só ponto. q : As coordenadas dos focos da elipse E são ( 5, 0 ) e ( 5, 0) Qual das proposições é falsa?. (A) p q (B) p q (C) p q (D) p q 4. Considere os pontos A (, 1) e ( 4, ) B e o vetor u ( k, k + 4) Indique, dos seguintes, um valor de k para o qual o vetor u é colinear com o vetor AB. (A) k = (B) k = (C) k = 4 (D) k = 4. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página

3 5. Num plano munido de um referencial ortonormado xoy, considere a equação: = 0 x y x y O centro C e o raio r da circunferência são: (A) C (, 1 ) e r = (B) C ( ) (C) C (, 1 ) e r = (D) C ( ), 1 e r =, 1 e r = Grupo II Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. 1. Sejam, e p q r três proposições tais que ( p q) ( r p) Determine, justificando, o valor lógico: 1.1. das proposições p, q e r ; 1.. da proposição ( p q) r. é falsa.. Considere o polinómio P( x) definido por: ( ) 5 4 P x = x + x x 1.1. Verifique se 1 é uma das raízes de P( x ) e indique a sua multiplicidade... Determine as outras raízes e fatorize o polinómio P( x )... Resolva a inequação P( x) 0. Apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.. Considere, num referencial ortonormado xoy, os pontos A ( 1, ) e (, ) u ( 1, 5). Calcule as coordenadas de:.1. y, sendo AB = y u ;.. um vetor colinear com AB, de sentido contrário e de norma 10. B e o vetor Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página

4 4. Considere o referencial ortonormado xoy seguinte. Sabe-se que: o ponto P ( 4, 1) é o ponto de interseção das retas t e r ; a reta r passa pelo ponto C (, ) ; a equação vetorial da reta r é do tipo ( ) ( ) a equação reduzida da reta t é do tipo 4.1. Determine: x, y =, + ku, k R ; y = mx um vetor diretor da reta r e o declive da reta t ; a condição que representa a área sombreada. 4.. Mostre que uma equação da circunferência de diâmetro [ PC ] é: ( x ) ( y ) = 1 5. Na figura está representada uma elipse num referencial ortonormado xoy. A elipse tem centro na origem do referencial. Sabendo que: F 1 e F são focos da elipse; A e B são os pontos de interseção da elipse com o eixo das abcissas; P é um ponto da elipse tal que a reta PF é paralela ao C e eixo Oy; D são os pontos de interseção da elipse com o eixo das ordenadas; PF1 PF 1 Determine: C. + = e ( 0, ) 5.1. a equação reduzida da elipse; 5.. as coordenadas dos vértices da elipse; 5.. a distância focal da elipse; 5.4. a medida da área do triângulo [ F1 PF ]. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 4

5 6. Considere, num referencial ortonormado xoy, os pontos A(, a ), ( 1, ) em que a e b são constantes reais Prove que se a = b =, então a reta AB interseta a elipse de equação num só ponto. B b e (, ) 6.. Prove que se o ponto médio do segmento [ AB ], M, pertence à bissetriz dos P a b, x y + = quadrantes ímpares, então P pertence à circunferência de centro na origem e de raio. FIM COTAÇÕES Grupo I Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 5

6 Proposta de resolução Grupo I 1. 1 x x x x + 6 4x x x x x 1 7 x [ 1, + [ x x x x x( x ) 0 0 x ], 0] [, + [ A B =? ( ) C.A. x x = 0 x = 0 x = 0 + x x 0 + P( x ) [ 1, 0] [, [ A B = + ], 1[ ] 0, [ A B = Resposta: (C). ( ) 1 ab = ab = a b = 6 ab 6 ab b a Resposta: (A) ab x y. A elipse E cuja equação cartesiana é + = 1 tem 5 4 ( 5, 0 ), ( 5, 0), ( 0, ) e ( 0, ). a = 5 e b = 4. Assim, os vértices são A distância focal é c e sendo c = a b, então c = 5 4 c = ± 1. Os focos desta elipse têm coordenadas ( 1, 0) e ( 1, 0 ), pelo que se conclui que a proposição q é falsa. A reta de equação vetorial ( ) ( ) ( ) x, y = 5, + k 0, 1, k R é a reta de equação cartesiana x = 5. Esta reta interseta a elipse no vértice ( 5, 0 ) e apenas neste ponto por ser perpendicular ao eixo Ox. Daqui se conclui que a proposição p é verdadeira. ( p q ) ( V F) ( V V) V ( p q ) ( ) ( ) V F F V V ( p q ) ( V F) F ( p q ) ( ) ( ) Resposta: (C) V F F V V Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 6

7 4. AB = B A = ( 4, ) (, 1) = ( 1, 1). Se u é colinear com AB, então: k k + 4 ± = k k 4 = 0 k = k = 4 k = A resposta é k = 4. Resposta: (C) 5. x y x y ( x x ) ( y y ) ( x ) ( y ) = = = C (, 1) e r = Resposta: (C) 1.1. ( p q) ( r p) F Grupo II Para a disjunção ser falsa, F F F. Assim, 1 Se a implicação p q F 1 e r p F. p q é falsa, então p é verdadeira e q é falsa ( V F) Se r p é falsa, como p é verdadeira, então Conclui-se, assim, que p é verdadeira, q é falsa e r é verdadeira. 1.. ( p q) r ( ) V F V F F V. r é falsa, ou seja, r é verdadeira.. ( ) 5 4 P x x x x = é raiz de P( x ) O resto não é 0. A multiplicidade da raiz 1 é. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 7

8 .. Pela alínea.1., P( x) ( x 1) ( x x x 1) Se x x x = tiver raízes inteiras, estas poderão ser 1 e 1. Contudo, já vimos que 1 não é raiz, pelo que resta verificar para é raiz é P( x ). Assim, P( x) ( x 1) ( x 1)( x 1) = + +. x + 1 = 0 x = 1 é impossível, logo P( x ) não tem mais raízes reais. As raízes de P( x) são 1 (multiplicidade ) e 1 (raiz simples)... P( x) ( x ) ( x )( x ) x + 1 = 0 x = 1 ; x 1 = 0 x = 1 e x + 1 = 0 impossível x x x x P( x ) Solução: x { 1} [ 1, + [. A( 1, ), B (, ) e u ( 1, 5).1. AB = B A = (, ) ( 1, ) = (, 1), 1 = 1, 5, 1 + 1, 5 = y ( ) y ( ) ( ) ( ) 4 4 y = 4, 4 y =, y =,.. Seja v um vetor colinear com AB. v = k AB v = k, k ( ) ( ) ( ) v = 10 k + k = 10 9k + k = 10 10k = 10 k 10 = 10 k = 10 ( ) k = k = 10 k = Então, v = ( 10, 10 ) v = ( 10, 10 ) Como v tem sentido contrário ao vetor AB., = ( 10, 10) v. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 8

9 r : x, y =, + ku, k R ( ) ( ) Como os pontos C e P pertencem à reta r, então o vetor diretor pode ser CP. CP = P C = 4, 1, = 6, 4 Assim, u = CP = ( 6, 4) ( ) ( ) ( ) (por exemplo) Sabemos que a reta t passa pelo ponto P ( 4, 1) e como a sua equação reduzida é 1 1 = 4m + = 8m + 8m = m = 8 Assim, o declive da reta t é x > 1 y > 1 x + y 1 x + y 4 y x + y x 8 C.A. ( ) ( ) ( ) x, y =, + k 6,4, k R y = mx + : x + k = x = + 6k 6 x + y + 5 = x + 4 = y + 9 y = x y = x 5 y = x y = + 4k + y 6 4 k = ( ) ( ) Ponto médio de [PC]: M =, =, = ( 1, 1) 1 1 ( ) 1 r PC r r = = = r = 5 r = 1 r = 1 A circunferência tem centro M ( 1, 1) e raio r = 1, pelo que a sua equação é: ( x ) ( y ) = PF1 + PF = 1 significa que a = 1. Logo, a = 6. Como C ( 0, ), então b =. Assim, a equação reduzida da elipse é: 5.. A( 6, 0 ), B( 6, 0 ), C ( 0, ) e D( 0, ) 5.. A distância focal é c. x y x y + = 1 + = c a b c c c c = = 6 9 = 7 = ± 7 = ± c = = 6 A distância focal é 6. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 9

10 5.4. F1 (, 0 ) e F (, 0) x y P pertence à elipse de equação + = 1, logo: 6 9 ( ) y y = 1 + = 4y = y = 9 y = ± y = ± 4 Como P 1.º Q, então P,. 6 F F PF 18 9 = = = = 4 1 A A A A A, a, B 1, b, P a, b ; a, b R 6. ( ) ( ) ( ) 6.1. a b = =, então A (, ) e ( 1, ) B. A reta AB tem de equação y = mx + b. m = m = 0 1 Logo, a reta AB tem de equação y =. Um ponto da reta AB é ( x, ), pelo que: x x 4 x = 1 + = 1 = 1 1 x = 0 x = 0 A interseção da reta AB com a elipse só tem um único ponto que tem coordenadas ( 0, ). 6.. Seja M o ponto médio de [ AB ], então: + 1 4, a + b, a + b, a + M = M = M b A equação da bissetriz dos quadrantes ímpares é y = x. Se M pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então: a + b = a + b = 4 A circunferência de centro em ( 0, 0 ) e raio é definida por x + y = 4 : Assim, como P( a, b ), então P pertence à circunferência de centro em ( 0, 0 ) e raio se a + b = 4. Portanto, se o ponto médio do segmento [ AB] pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então o ponto P pertence à circunferência de centro na origem e de raio. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 10