Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 2 Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

Transcrição

1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 4º Teste de avaliação versão1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Num referencial o.n. xoy, a interseção da recta r paralela a Ox e passando no ponto de coordenadas 1,3, com a reta s que é a bissetriz dos quadrantes ímpares é o ponto P de coordenadas (A) 1,1 (B) 1,1 (C) 3,3 (D) 3,3 z. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. H I L J As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados ou lhes são paralelas. O ponto M tem coordenadas 4,4,4. A reta IM interseta o plano xoy no ponto de coordenadas F B C G x E A O M P N Q y (A) 0,0,8 (B) 8,8,0 (C) 6,6,0 (D) 4,4,0 3. Considere, num referencial o.n. xoy, as retas: r definida por x y 6, s definida por y x 4, t definida por x y 8 e z definida por y x 3. Quais das seguintes retas se intersetam num ponto do eixo Oy? (A) r e z (B) r e s (C) z e t (D) s e t Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013

2 x 1 y 1 x 0 4. Considere a condição Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xoy, o conjunto de pontos definidos por esta condição? 5. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio ], [. Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f? (A) Tem 3 zeros (C) Tem máximo e tem mínimo Não tem máximos nem mínimos É crescente no seu domínio Não é par O contradomínio é ] 1,1[ (B) Tem exatamente dois zeros (D) É par Não tem máximos nem mínimos Tem exatamente dois zeros É crescente no seu domínio O contradomínio é ] 1,1[ Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/013

3 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato. 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem coordenadas,,0. O volume do sólido é igual a Determine a cota do ponto E. 1.. Determine uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto T e que contém o ponto C O plano OQU interseta o sólido. Determine a área da secção produzida pelo plano OQU no sólido dado. Nota: se não resolveu 1.1. pode considerar que a cota de E é 9. Na figura está representado, em referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio,7.1. Indique o contradomínio de f... Indique o conjunto solução da condição f x. Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais..3. Determine valores exatos dos zeros de f. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 01/013

4 3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas caminha a uma velocidade constante. Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina quando ela chega à escola). Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e termina quando ela chega a casa). Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e g. Numa pequena composição, apresente, para cada uma das outras duas opções, uma razão pela qual a rejeita. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 01/013

5 4. Na figura está representado um retângulo [ABCD] Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 14 cm de comprimento por 10 cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco). A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD] Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0, Mostre que a área, em x, por A x 6x 4x 70 cm, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de 4.. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa área Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira. Nota: Sempre que recorra à calculadora gráfica deve indicar todos os passos que efetuar, utilizando linguagem matemática, desenhar o(s) gráfico(s) que obteve e reproduzir a(s) tabela(s) que tenha necessidade de consultar, assinalando os valores que encontrou e que servem de resposta às perguntas colocadas.. FIM Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 01/013

6 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 01/013

7 Cotações Grupo I. ( 5 x 10 pontos ) pontos Grupo II. 150 pontos pontos pontos pontos pontos.. 40 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL.. 00 pontos Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 01/013

8 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 4º Teste de avaliação versão1 Proposta de resolução Grupo I 1. (D) Num referencial o.n. xoy, a interseção da recta r paralela a Ox e passando no ponto de coordenadas 1,3, com a reta s que é a bissetriz dos quadrantes ímpares é o ponto P de coordenadas 3,3 4 P: (3, 3) 5 -. (B) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. z As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados ou lhes são paralelas. O ponto M tem coordenadas 4,4,4. G H I L J N A reta IM interseta o plano xoy no ponto de coordenadas F E M 8,8,0, basta imaginar um outro cubo simétrico do cubo de aresta [PM] em relação a essa aresta. B C x A O P Q y 3. (A) Consideremos, num referencial o.n. xoy, as retas: r definida por x y 6, s definida por y x 4, t definida por x y 8 e z definida por y x 3. Comecemos por escrever cada equação na forma reduzida para podermos reconhecer a ordenada na origem de cada uma: r definida por 1 y x 3, s definida por y x 4, t definida por y x 4 e z definida por y x 3. Assim as retas que se intersetam num ponto do eixo Oy são r e z que têm a mesma ordenada na origem. x 1 y 1 x 0 4. (C) Considere a condição Na figura está representado, em referencial o.n. xoy, o conjunto de pontos definidos por esta condição que reconhecemos porque a circunferência tem de passar pela origem que não acontece em (A) e tem centro no ponto de coordenadas (-1,1) que não acontece em D. (B) está rejeitado porque não satisfaz x 0. Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 01/013

9 5. (A)Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio ], [. Das opções dadas estão três afirmações verdadeiras acerca da função f em (A) Tem 3 zeros Não tem máximos nem mínimos Não é par Grupo II 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem coordenadas,,0. O volume do sólido é igual a Determinemos a cota do ponto E. Comecemos por reconhecer que a base da pirâmide tem área igual a metade da área da face do cubo. Então, sabendo que o volume total é 10 calculemos a altura da pirâmide que nos dá a cota de E: 3 h h 10 h A cota de E é Determinemos uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto T,0, e que contém o ponto C 1,,0. Calculemos o raio r Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 01/013

10 Uma equação da superfície esférica x y z 9 E 1.3. O plano OQU interseta o sólido. Determinemos a área da secção produzida pelo plano OQU no sólido dado A O 3 Q. Na figura está representado, em referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio,7 S U.1. O contradomínio de f é [-1,3].. Indique o conjunto solução da condição f x. Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais. f x x, 1 1, 4.3. Determine valores exatos dos zeros de f. f tem 3 zeros dois de fácil leitura - e 1 e um terceiro que é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que podemos considerar definida pelos pontos de coordenadas (3,-1) e (4,). A reta terá então declive 3, calculemos a ordenada na origem 34 b b 10. A função seria então definida pela condição y 3x 10 que tem como zero Os zeros de f são então 10, 1 e x 10 3x 10 x 3 3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas caminha a uma velocidade constante. Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina quando ela chega à escola). Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 01/013

11 Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e termina quando ela chega a casa). Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e g. O gráfico correto é o (B) pois elas iniciam ambas a viagem com uma distância zero, razão que nos leva a rejeitar o gráfico (C). Além disso percorrem ambas a mesma distância o que nos leva a rejeitar o gráfico (A). 4. Na figura está representado um retângulo [ABCD] Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 14 cm de comprimento por 10 cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco). A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD] Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0, Mostre que a área, em x, por A x 6x 4x 70 cm, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de A parte em metal constituída por 4 quadrados com lado x e dois triângulos iguais com base 14 - x e altura igual a 5 x ou seja metade de 10 x. Então a área pedida é: 14 x5 x A x 4x 4x 70 14x 10x x 6x 4x 70 Professora: Rosa Canelas 11 Ano Letivo 01/013

12 4.. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa área. A área da parte em metal é mínima quando x é cm e a área dessa parte é 46 cm Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira. A área em madeira será dada por B x x 4x x 4x As áreas são iguais quando as curvas se intersetarem ou seja quando x = 4 cm. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013

13 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 4º Teste de avaliação versão1 - Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos D B A C A Grupo II (150 pontos) pontos pontos Reconhecer que área base da pirâmide é metade da área da face do cubo 5 Calcular a cota de E pontos Identificar as coordenadas de T e de C.. 4 Calcular o raio 5 Equação da superfície esférica pontos Identificar a secção. 5 Identificar as medidas do retângulo.. 5 Identificar as medidas do triângulo... 5 Calcular a área pontos pontos.. 15 pontos pontos Identificar os zeros inteiros. 5 Escrever a equação da reta. 6 Calcular o zero pontos Identificar o gráfico correto. 5 Apresentar uma razão para rejeitar (A). 5 Apresentar uma razão para rejeitar (C). 5 Professora: Rosa Canelas 13 Ano Letivo 01/013

14 Composição organizada e sem erros pontos pontos Identificar as medidas. 5 Fazer os cálculos pontos Apresentar o gráfico com tudo.. 10 Dar a resposta pontos Encontrar a função que dá a área em madeira 5 Encontrar a interseção das duas curvas 5 Apresentar o gráfico 5 TOTAL 00 pontos Professora: Rosa Canelas 14 Ano Letivo 01/013